Exercices corrigés - Propriétés métriques des courbes planes

On a $x'(t)=-3\cos^2 t\sin t$ et $y'(t)=3\sin^2 t \cos t$, de sorte que $$x'(t)^2+y'(t)^2=9\cos^2t\sin^2t(\cos^2t+\sin^2t)=9\cos^2t\sin^2t.$$ D'après la formule du cours, la longueur de l'astroïde est donc égale à $$\int_0^{2\pi}\sqrt{9\cos^2t\sin^2t}dt=3\int_0^{2\pi}|\cos t\sin t|dt=12\int_0^{\pi/2}\cos t\sin tdt=6\int_0^{\pi/2}\sin(2t)dt=6.$$

On a $x'(t)=1-\cos t$, $y'(t)=\sin t$ de sorte que $$x'(t)^2+y'(t)^2=2-2\cos t=4\sin^2(t/2).$$ Pour $t\in[0,2\pi]$, $t/2\in[0,\pi]$ et donc $\sin(t/2)\geq 0$. On en déduit que la longueur de l'arche de cycloïde est : $$\int_0^{2\pi}2\sin(t/2)dt=8.$$

La courbe $\theta\mapsto(1+\cos\theta)e^{i\theta}$ est $2\pi$-périodique, et $2\pi$ est la plus petite période possible. D'après la formule du cours, la longueur de la cardioide est : \begin{eqnarray*} \int_0^{2\pi}\sqrt {\rho'(\theta)^2+\rho(\theta)^2}d\theta &=&\int_0^{2\pi}\sqrt{2(1+\cos\theta)}d\theta\\ &=&2\int_0^{2\pi}\sqrt{\cos^2(\theta/2)}d\theta\\ &=&2\int_0^\pi\cos(\theta/2)d\theta-2\int_\pi^{2\pi}\cos(\theta/2)d\theta\\ &=&8. \end{eqnarray*}

Il n'est pas nécessaire d'étudier toute la courbe, mais il faut néanmoins déterminer son point double. On cherche donc $s\neq t$ tel que $x(s)=x(t)$ et $y(s)=y(t)$. On doit donc résoudre le système $$\left\{ \begin{array}{rcl} 3t^2-1&=&3s^2-1\\ 3t^3-t&=&3s^3-s. \end{array} \right.$$ On multiplie par $t$ la première ligne, et on lui retranche la deuxième. On trouve l'équation $$3s^2t-t-3s^3+s=0\iff (t-s)(3s^2-1)=0.$$ Puisqu'on veut $t\neq s$, on se ramène à $3s^2-1=0\iff s=\pm 1/\sqrt 3$. On obtient donc un point double obtenu pour les valeurs du paramètre valant $-1/\sqrt 3$ et $1/\sqrt 3$. La longueur de la boucle est donc : \begin{eqnarray*} \int_{-1/\sqrt 3}^{1/\sqrt 3}\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}dt&=&\int_{-1/\sqrt 3}^{1/\sqrt 3}(9t^2+1)dt\\ &=&2\left[3t^3+t\right]_0^{1/\sqrt 3}\\ &=&\frac{4\sqrt 3}3. \end{eqnarray*}

On va commencer par paramétrer l'ellipse. On a en effet $$x^2+4y^2=4a^2\iff \left(\frac{x}{2a}\right)^2+\left(\frac ya\right)^2=1.$$ L'ellipse est donc paramétré par $t\mapsto (2a\cos t,a\sin t)$, $t\in[0,2\pi]$. Sa longueur est alors égale à \begin{eqnarray*} \ell_1&=&\int_0^{2\pi}\sqrt{4a^2\sin^2t+a^2\cos^2 t}dt. \end{eqnarray*} Pour calculer la longueur du trèfle, on applique simplement la formule du cours. Sachant que $\rho'(\theta)=-2a\sin(2\theta)$, on trouve $$ \ell_2=\int_0^{2\pi}\sqrt{4a^2\sin^2(2\theta)+a^2\cos^2(2\theta)}d\theta.$$ Pour prouver que les deux intégrales sont égales, on fait le changement de variables $t=2\theta$ dans $\ell_2$, et on trouve \begin{eqnarray*} \ell_2&=&\frac12 \int_0^{4\pi} \sqrt{4a^2 \sin^2(t)+a^2\cos^2(t)}dt\\ &=&\int_0^{2\pi}\sqrt{4a^2 \sin^2(t)+a^2\cos^2(t)}dt\\ &=&\ell_1. \end{eqnarray*}

Il y a un problème pour déterminer les bornes entre lesquelles intégrer pour déterminer la longueur de la courbe. En particulier, les points $\theta$ et $\theta+2\pi$ ne donnent pas le même point sur la courbe. L'idée est de poser $f(\theta)=e^{i\theta}\cos^3(\theta/3)$ et de déterminer la plus petite période de cette fonction (qui est le paramétrage de la courbe). $f$ est $3\pi$-périodique. Sa plus petite période est donc de la forme $3\pi/n$, où $n$ est un entier. Mais $f(\theta)$ a pour argument $\theta$ modulo $\pi$. Si $3\pi/n$ est une période de $f$, ce doit être un multiple de $\pi$, et donc $n=1$ ou $n=3$. Mais $n=3$ est exclu (comparer $f(0)$ et $f(\pi)$ par exemple). On détermine donc la longueur de la courbe en intégrant entre $0$ et $3\pi$. De plus, on a $$\rho'(\theta)=-\sin(\theta/3)\cos^2(\theta/3)$$ ce qui entraine $$\frac{ds}{d\theta}=\sqrt{\sin^2(\theta/3)\cos^4(\theta/3)+\cos^6(\theta/3)}=\cos^2(\theta/3).$$ On en déduit que la longueur de la courbe est \begin{eqnarray*} \int_0^{3\pi}\cos^2(\theta/3)d\theta&=&3\int_0^\pi \cos^2 u du\\ &=&3\int_0^\pi \frac{1+\cos 2u}{2}du\\ &=&\frac{3\pi}2. \end{eqnarray*}

On cherche un paramétrage $t\mapsto f(t)$ du cercle tel que $\|f'(t)\|=1$ pour tout réel $t$. On peut en deviner un, ou bien utiliser l'abscisse curviligne. En effet, $g:t\mapsto (R\cos t,R\sin t)$ est un paramétrage du cercle. L'abscisse curviligne est une primitive de $$\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}=R,$$ soit par exemple $s(t)=Rt$. On en déduit $s^{-1}(t)=R/t$, et un paramétrage normal est donné par $f=g\circ s^{-1}$, soit $g(t)=(R\cos(t/R),R\sin(t/R))$.

Le point clé est qu'on connait toujours les coordonnées du vecteur tangent (unitaire) dans la base mobile $(\vec u_\theta,\vec v_\theta)$ : elles valent $$\cos V=\frac{\rho '}{\sqrt{\rho^2+\rho'^2}}\textrm{ et }\sin V=\frac{\rho}{\sqrt{\rho^2+\rho'^2}}.$$ La détermination angulaire est donc $\theta\mapsto \theta+V$ et il faut pour chacune des courbes trouver une expression analytique de $V$ en connaissant son cosinus et son sinus.

1. Dans ce cas, on a $$\frac{ds}{d\theta}=\sqrt{\rho^2(\theta)+\rho'^2(\theta)}=\sqrt{1+a^2}e^{a\theta}.$$ D'autre part, on a $$\cos V=\frac a{\sqrt{1+a^2}}\textrm{ et }\sin V=\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}.$$ Ceci ne dépend pas de $\theta$, et donc l'angle entre $\vec T$ et $\vec U_\theta$ est constant. Notons $\alpha_0$ cette constante. Une détermination angulaire sur la courbe est donc la fonction $\theta\mapsto \alpha_0+\theta$. Le fait de ne pas connaitre $\alpha_0$ n'est pas très grave, car dans le calcul de la courbure on n'utilise que la dérivée de cette fonction. En effet, la courbure vaut $$\gamma=\frac{\frac{d\alpha}{d\theta}}{\frac{ds}{d\theta}}=\frac{e^{-a\theta}}{\sqrt{1+a^2}}.$$
2. On peut restreindre l'étude de la courbe à $\theta\in[-\pi,\pi]$ (la fonction $\theta\mapsto 1+\cos\theta$ est $2\pi$-périodique). Avec la même méthode, on trouve $$\frac{ds}{d\theta}=\sqrt{2+2\cos\theta}=2\cos(\theta/2)$$ ce qui donne $$\cos(V)=-\sin(\theta/2)\textrm{ et }\sin V=\cos(\theta/2).$$ Un choix possible de $V$ est $\frac\theta2+\pi 2$, et donc une détermination angulaire de la courbe est donnée par la fonction $\theta\mapsto \frac{3\theta}2+\pi 2$. On en déduit $$\gamma=\frac{\frac32}{2\cos(\theta/2)}=\frac{3}{4\cos(\theta/2)}.$$

Il suffit de se laisser guider par les formules du cours, la seule difficulté supplémentaire venant de l'utilisation de formules de trigonométrie hyperbolique. Posons $f(t)=(t,\cosh t)$ un paramétrage de la courbe. On a $f'(t)=(1,\sinh t)$, $f''(t)=(0,\cosh t)$, de sorte que $$\|f'(t)\|=\sqrt{1+\sinh^2 t}=\cosh t.$$ Ainsi, la longueur de l'arc de chaînette comprise entre les points d'abscisse $x_1$ et $x_2$, avec $x_1<x_2$ est $$\int_{x_1}^{x_2}\cosh tdt=\sinh(x_2)-\sinh(x_1).$$ Le repère de Frénet en $M(t)$ est donné par $$\vec T(t)=\left(\frac 1{\cosh t},\tanh(t)\right)\textrm{ et }\vec N(t)=\left(-\tanh t,\frac 1{\cosh t}\right).$$ La courbure vaut : $$\gamma(t)=\frac{\cosh t}{\cosh^{3} t}=\frac 1{\cosh^2t}.$$

1. La parabole est paramétrée par $t\mapsto (t^2/2p,t)=f(t)$. On a donc $f'(t)=(t/p,1)$ et $f''(t)=(1/p,0)$. On en déduit que, au point $M(t^2/2p,t)$, la courbure vaut $$\gamma=\frac{\det(f'(t),f''(t))}{\|f'(t)\|^3}=\frac{-1/p}{\sqrt[3]{(t^2+p^2)/p^2}}=\frac{-p^2}{(t^2+p^2)^{3/2}}.$$
2. La tangente à la parabole au point $(x_0,y_0)$ a pour équation $yy_0=p(x+x_0)$. Un vecteur directeur de la tangente en $M(t^2/2p,t)$ est donc $(1,p/t)$. Un vecteur directeur de la normale est alors $(-p/t,1)$. Autrement dit, la normale en $M$ a pour équation $$x-\frac{t^2}{2p}+\frac pt(y-t)=0.$$ La directrice ayant pour équation $x=-p/2$, on détermine facilement les coordonnées du point $N$ : $N=\left(-\frac p2,\frac{3t}{2}+\frac{t^3}{2p^2}\right)$. On en déduit $$\overrightarrow{NM}=\left(\frac{p(t^2+p^2)}{2p^2},\frac{t(t^2+p^2)}{2p^2}\right),$$ ce qui donne $$NM=\frac{(t^2+p^2)^{3/2}}{2p^2}=-1/2\gamma.$$

On peut toujours supposer qu'on a affaire à une ellipse d'équation réduite $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$$ Cette ellipse admet le paramétrage $t\mapsto (a\cos t,b\sin t)$, avec $t\in[0,2\pi]$. On a successivement $$f'(t)=(-a\sin t,b\cos t)\textrm{ et }f''(t)=(-a\cos t,-b\sin t).$$ On en déduit que $$\det(f'(t),f''(t))=ab.$$ De plus, $$\|f'(t)\|=\sqrt{a^2\sin^2 t+b^2\cos^2 t}$$ et donc la courbure vaut $$\gamma(t)=\frac{ab}{(a^2\sin^2t+b^2\cos^2t)^{3/2}}.$$ Par ailleurs, le vecteur tangent $\vec T(t)$ vaut $$\vec T(t)=\frac 1{\sqrt{a^2\cos^2+b^2\sin^2 t}}(-a\sin t,b\cos t).$$ Le vecteur normal correspondant est donc $$\vec N(t)=\frac1{\sqrt{a^2\cos^2+ b^2\sin^2 t}}(-b\cos t,-a\sin t).$$ Les coordonnées du centre de courbure $C(t)$ sont donc \begin{eqnarray*} C(t)&=&(a\cos t,b\sin t)+\frac{a^2\sin^2 t+b^2\cos^2 t}{ab}(-b\cos t,-a\sin t)\\ &=&\left(\frac{a^2-b^2}a\cos^3 t,\frac{b^2-a^2}b\sin^3 t\right). \end{eqnarray*}

On utilise un paramétrage $(I,f)$ de la courbe par abscisse curviligne. Soit $\alpha$ une détermination angulaire de la courbe, c'est-à-dire qu'en tout $s$ de $I$, on a $f'(s)=e^{i\alpha(s)}$. Les formules de Frénet entraînent que $$\frac{d\alpha}{ds}=\gamma(s)=C,$$ où $\gamma$ est la fonction courbure. En intégrant, on trouve $\alpha(s)=Cs+\alpha_0$. Quitte à effectuer une rotation du repère, on peut supposer que $\alpha_0=0$. On a alors $f'(s)=e^{iCs}$. On intègre alors, et on distingue deux cas :

• Si $C\neq 0$, on obtient $f(s)=\frac 1{iC}e^{iCs}+z_0$. On reconnait un cercle de centre d'affixe $z_0$ et de rayon $1/C$.
• Si $C=0$, alors on obtient $f(s)=s+z_0$. On reconnait la droite orientée par $\vec i$ et passant par $z_0$. Tenant compte de la rotation initiale du repère, on peut en réalité obtenir n'importe quelle droite.

Réciproquement, on vérifie facilement qu'une droite et un cercle sont à courbure constante.