$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Géométrie de l'espace

Repérage
Enoncé
L'espace $\mathbb R^3$ est muni de son repère euclidien canonique $\mathcal R=(O,I,J,K)$. On considère le nouveau repère $\mathcal R′ = (O′,I',J',K')$ où les coordonnées des points dans $\mathcal R$ sont $O'= (0, 0, 1),$ $I′ = (0, 0, 0),$ $J′ = (1, 0, 2),$ $K′ = (0, 1, 1).$
  1. Soit un point de coordonnées $X = (x, y, z)$ dans le repère $\mathcal R$. Donner ses coordonnées $X'=(x',y',z')$ dans le repère $\mathcal R′$.
  2. Donner la formule de changement de repère de $\mathcal R$ à $\mathcal R′$ sous la forme $$\begin{pmatrix} x'\\y'\\z'\end{pmatrix}=M \begin{pmatrix} x\\y\\z\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} u\\v\\w\end{pmatrix}. $$ où $M$ est une matrice $3\times 3$. Puis écrire sous la même forme la formule de changement de repère inverse, de $\mathcal R'$ à $\mathcal R$.
  3. On considère $A=(0,0,3)$, $B=(1,0,4)$ et $C=(1,1,1)$ trois points dont les coordonnées sont exprimées dans $\mathcal R$. Donner une équation du plan $ABC$ dans le repère $\mathcal R$, puis dans le repère $\mathcal R'.$
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Changement de repères abstrait [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère trois repères $\mathcal R,$ $\mathcal R'$ et $\mathcal R''$ de l'espace, $X,$ $X'$ et $X''$ les trois coordonnées respectives d'un même point $M$ dans les repères $\mathcal R,$ $\mathcal R'$ et $\mathcal R''$.
  1. Démontrer que l'on a $$X'=M_{\mathcal R'}^{\mathcal R}X+V_{\mathcal R'}^{\mathcal R}$$ où $M_{\mathcal R'}^{\mathcal R}\in GL_3(\mathbb R)$ et $V_{\mathcal R'}^{\mathcal R}\in\mathbb R^3$.
  2. Quelle formule relie les couples $(M_{\mathcal R'}^{\mathcal R},V_{\mathcal R'}^{\mathcal R}),$ $(M_{\mathcal R''}^{\mathcal R'},V_{\mathcal R''}^{\mathcal R'})$ et $(M_{\mathcal R''}^{\mathcal R},V_{\mathcal R''}^{\mathcal R})$?
Indication
Corrigé
Exercice 3 - D'un système de coordonnées à l'autre [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer les coordonnées cylindriques puis sphériques du point $M(2,2\sqrt 3,4)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
La terre étant assimilée à une sphère de rayon $R$, calculer la distance "à vol d'oiseau" entre le point $A$ de longitude $\theta_1$ et de latitude $\phi_1$ et le point $B$ de longitude $\theta_2$ et de latitude $\phi_2$. On rappelle que cette distance est donnée par la longueur de l'arc de cercle intersection de la sphère et du plan $OAB$.
Application numérique : Calculer la distance entre Paris (48deg 49min N, 2 deg 19 min E) et Buenos Aires (34 deg 40 min S, 58 deg 30 min O). On prendra $R=6378$.
Indication
Corrigé
Produit vectoriel, déterminant, produit mixte
Exercice 5 - Fabrication d'une base orthonormale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer une base orthonormale directe de l'espace dont le premier vecteur est colinéaire au vecteur $(1,2,2)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Pour quelles valeurs de $a$ les vecteurs $(1,0,a)$, $(a,1,0)$ et $(0,a,1)$ sont-ils coplanaires?
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $\vec u,\vec v$ et $\vec w$ trois vecteurs de l'espace et soit $a\in\mathbb R$. On considère l'équation vectorielle d'inconnue $\vec x$ $\quad\vec u\wedge\vec x=\vec v$.
  1. Montrer que si l'équation admet une solution, alors $\vec u$ et $\vec v$ sont orthogonaux.
    On supposera dans la suite que $\vec u$ et $\vec v$ sont orthogonaux.
  2. Déterminer toutes les solutions colinéaires à $\vec u\wedge\vec v$.
  3. En déduire toutes les solutions de l'équation.
  4. Déterminer les vecteurs solutions qui vérifient en outre $\vec x\cdot\vec w=a$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $\vec a,\vec b,\vec c,\vec d$ quatre vecteurs de l'espace. Prouver successivement les formules suivantes :
  1. $(\vec a\wedge\vec b)\wedge\vec c+(\vec b\wedge \vec c)\wedge\vec a+(\vec c\wedge\vec a)\wedge\vec b=\vec 0$;
  2. $(\vec a\wedge\vec b)\wedge(\vec c\wedge\vec d)=\left[\vec a,\vec c,\vec d\right]\vec b-\left[\vec b,\vec c,\vec d\right]\vec a$;
  3. $\left[\vec a\wedge \vec b,\vec b\wedge \vec c,\vec c\wedge\vec a\right]=\left[\vec a,\vec b,\vec c\right]^2$.
Indication
Corrigé
Droites et plans
Exercice 9 - Droite orthogonale à un plan [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer qu'une droite est orthogonale à toute droite d'un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.
Corrigé
Enoncé
Le but de l'exercice est de démontrer le théorème du toit : si $P_1$ et $P_2$ sont deux plans sécants contenant respectivement deux droites parallèles $d_1$ et $d_2$, alors la droite $d$ intersection de $P_1$ et $P_2$ est parallèle à $d_1$ et à $d_2$.
Pour cela, on note $P_3$ le plan contenant $d_1$ et $d_2$ et on suppose que $d_1$ et $d$ ne sont pas parallèles.
  1. Justifier que $d$ et $d_1$ se coupent en un point $A$.
  2. Démontrer que $A\in P_2$ et $A\in P_3$.
  3. Conclure.
Corrigé
Exercice 11 - Équation d'un plan donné par deux vecteurs directeurs [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Dans le plan muni d'un repère orthonormé, donner une équation cartésienne du plan $\mathcal P$ passant par le point $A(1,0,1)$ et dirigé par les vecteurs $\vec u(1,1,0)$ et $\vec v=(0,1,1)$.
Indication
Corrigé
Exercice 12 - D'un type d'équation à l'autre [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé.
  1. Donner une équation cartésienne du plan paramétré par $$\begin{cases} x=&1+t+2u\\ y=&2+t+u\\ z=&3u. \end{cases}$$
  2. Donner une représentation paramétrique du plan d'équation $x+2y-z-3=0$.
  3. Donner un système d'équations définissant la droite dont un paramétrage est : $$\begin{cases} x=&4t+5\\ y=&3t+1\\ z=&t+3. \end{cases}$$
  4. Déterminer une représentation paramétrique de la droite donnée par le système d'équation : $$\begin{cases} x+y-3z+1&=0\\ 2x+y-5z&=0. \end{cases}$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère $P$ d'équation $x-y+z=2$ et $P'$ d'équation $x+2y+3z=4$.
  1. Vérifier que $P$ et $P'$ ne sont pas parallèles, puis donner un système d'équations paramétriques de la droite $d$ intersection de $P$ et $P'$.
  2. Donner une équation du plan $P''$ perpendiculaire à $d$ et passant par le point $A$ de coordonnées $(1,0,-1)$.
  3. Montrer sans aucun calcul que les trois plans $P,P',P''$ sont concourants.
  4. Préciser les coordonnées du point $B$ commun à $P,P'$ et $P''$.
Indication
Corrigé
Exercice 14 - Droites et plans associés [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On donne deux droites $d$ et $d'$ de l'espace par des systèmes d'équations paramétriques dans un repère orthonormé : $$d:(x=t+1,y=2t+1,z=-t-3)\textrm{ et }d':(x=2t,y=t-4,z=3t+2).$$
  1. Est-ce que $d$ et $d'$ sont parallèles?
  2. Déterminer les équations du plan $P$ contenant $d$ et parallèle à $d'$, et du plan $P'$ contenant $d'$ et parallèle à $d$. En déduire que $d$ et $d'$ ne sont pas concourantes.
  3. Déterminer une équation du plan $P''$ passant par l'origine et orthogonal à $d$, puis en déduire les coordonnées du point $M$ intersection de $P''$ et de $d$.
  4. Montrer sans calculs que $P''$ et $P'$ ont une intersection non-vide.
Corrigé
Exercice 15 - Droites passant par et coupant... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer les droites de l'espace passant par $A(1,2,3)$ et coupant les droites $$\Delta_1\ :\ x+y+z-2=x-y-z+3=0$$ $$\Delta_2\ :\ 2(x-1)=z-3=4(y-1).$$
Indication
Corrigé
Exercice 16 - Droites définies par des contraintes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Trouver les droites passant par le point $A=(2,3,1)$, parallèles au plan $P:2x-5y+4z-1=0$ et sécantes à la droite $D:2x-y+1=z=0$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Déterminer le projeté orthogonal $H$ du point $M(u,v,w)$ sur le plan $\mathcal P$ déterminé par les trois points $A(1,2,3)$, $B(0,1,5)$ et $C(2,3,4)$.
Indication
Corrigé
Exercice 18 - Perpendiculaire commune [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer la perpendiculaire commune à $(D1)$ et $(D2)$, puis la distance de $(D1)$ à $(D2)$ lorsque
  1. $(D1)$ est la droite donnée par la représentation paramétrique $(x=3+2t,y=1+t,z=2-t)$ et $(D2)$ est la droite donnée par le système d'équations cartésiennes $(3x+2y+4z+8=0,\ x+y+z=0)$.
  2. $(D1)$ est la droite d'équation $(x+z=2,\ y=-1)$ et $(D2)$ est la droite d'équation $(y-z+1=0,\ x+y=0)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $(D_1)$ et $(D_2)$ les droites d'équation respectives : $$(D_1):\ \begin{cases} x+y&=2\\ y-2z&=3\\ \end{cases}\quad\quad\quad (D_2):\ \begin{cases} x+y+z&=1\\ x-2y+3z&=a\\ \end{cases} $$
  1. $(D_1)$ et $(D_2)$ sont-elles parallèles?
  2. Déterminer $a$ pour qu'elles soient coplanaires. Donner alors les coordonnées du point d'intersection de $(D_1)$ et $(D_2)$ et une équation du plan contenant $(D_1)$ et $(D_2)$.
Indication
Corrigé
Exercice 20 - Droite et lieux géométriques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Dans un repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j,\vec k)$, on considère les droites $\mathcal D$ et $\mathcal D'$ d'équations paramétriques respectives $$\left\{ \begin{array}{rcl} x&=&2+t\\ y&=&3-2t\\ z&=&5-t \end{array}\right.\quad t\in\mathbb R\quad\textrm{ et }\quad \left\{ \begin{array}{rcl} x&=&4-3t'\\ y&=&5-8t'\\ z&=&7-t' \end{array}\right. \quad t'\in\mathbb R.$$
  1. Les droites $\mathcal D$ et $\mathcal D'$ sont-elles coplanaires?
  2. Vérifier que le point $A(2,3,5)$ est un point de $\mathcal D$. Soit $M'$ un point quelconque de $\mathcal D'$. Quel est le lieu du point $I$, milieu de $[AM']$, lorsque $M'$ décrit la droite $\mathcal D'$.
  3. On considère un point $M$ de $\mathcal D$ et un point $M'$ de $\mathcal D'$. Quel est le lieu du milieu du segment $[MM']$ lorsque $M$ et $M'$ décrivent respectivement les droites $\mathcal D$ et $\mathcal D'$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(D)$ et $(D')$ deux droites de l'espace non-parallèles. Déterminer l'ensemble des milieux des segments $[MN]$, où $M$ décrit $(D)$ et $N$ décrit $(D')$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $A$, $B$, $C$ trois points non alignés de l'espace et $O$ un point n'appartenant pas au plan $ABC$. Soient $A'$, $B'$ et $C'$ les symétriques de $O$ par rapport aux milieux de $[BC]$, $[CA]$ et $[AB]$. Démontrer que les droites $(AA')$, $(BB')$ et $(CC')$ sont concourantes.
Indication
Corrigé
Enoncé
On considère un tétraèdre $ABCD$ et les points $S,T,U$ et $V$ définis par $$\begin{array}{lll} \overrightarrow{AS}=\frac 12\overrightarrow{AB}&\quad&\overrightarrow{DT}=\frac 12\overrightarrow{DC}\\ \overrightarrow{AU}=\frac 13\overrightarrow{AD}&\quad&\overrightarrow{BV}=\frac 13\overrightarrow{BC} \end{array}$$ Démontrer que les points $S,T,U$ et $V$ sont coplanaires.
Indication
Corrigé
Angles et distances
Exercice 24 - Distance à un plan et à une droite [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Calculer la distance
  1. du point $M(1,1,1)$ au plan $\mathcal P$ paramétré par : $$\begin{cases} x=&1+2t-t'\\ y=&1-t'\\ z=&2+t-t'. \end{cases}$$
  2. du point $M(0,2,4)$ à la droite $(D)$ d'équation : $$\begin{cases} x+y-3z+1&=0\\ 2x+y-5z&=0. \end{cases}$$
Indication
Corrigé
Exercice 25 - Angles dans un tétraèdre régulier [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $ABCDEFGH$ un cube.
  1. Montrer que $ACFH$ est un tétraèdre régulier.
  2. Calculer l'angle entre deux faces d'un tétraèdre régulier.
  3. Dans une molécule de méthane $CH_4$, calculer l'angle $HCH$, où $C$ est l'atome de carbone et les deux $H$ sont deux atomes d'hydrogène différents.
Indication
Corrigé
Enoncé
Déterminer les droites $(D)$ de l'espace faisant un angle de $60$ deg avec $(Ox)$ et $45$ deg avec $(Oy)$.
Indication
Corrigé
Sphères et cercles
Exercice 27 - Équation paramétrique d'un cercle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
A tout réel $t$, on associe le point $M(t)$ de coordonnées $x(t)=\cos t+\sqrt 3\sin t+1$, $y(t)=\cos t-\sqrt 3\sin t+1$ et $z(t)=-2\cos t+1$.
  1. Calculer $x(t)+y(t)+z(t)$.
  2. Calculer $x^2(t)+y^2(t)+z^2(t)$.
  3. En déduire que $M(t)$ est toujours élément d'un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
Indication
Corrigé
Exercice 28 - Sphère contenant deux cercles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer l'équation de la sphère contenant les cercles d'équations $\begin{cases} x^2+y^2 = 9\\ z=0\end{cases}$ et $\begin{cases} x^2+y^2 = 25\\ z=2.\end{cases}$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $A$, $B$ et $C$ trois points distincts de l'espace. Déterminer les points $M$ de l'espace pour lesquels $\overrightarrow{MA}\wedge(\overrightarrow{MB}\wedge\overrightarrow{MC})=\vec 0$.
Indication
Corrigé
Exercice 30 - Sphère circonscrite et cercle circonscrit [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $a,b,c$ trois réels non nuls, et soient $A(a,0,0)$, $B(0,b,0)$ et $C(0,0,c)$.
  1. Donner l'équation de la sphère $\mathcal S$ passant par $O$, $A$, $B$ et $C$.
  2. Donner l'équation du plan $\mathcal P$ passant par $A$, $B$ et $C$.
  3. En déduire le rayon du cercle $\mathcal C$ passant les points $A$, $B$ et $C$.
Indication
Corrigé
Exercice 31 - Plus courte distance sur la sphère [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\mathcal S$ une sphère de centre $O$ et de rayon $R>0$. Soient également deux points $A$ et $B$ de $\mathcal S$. On cherche à déterminer, parmi les arcs de cercle tracés sur la sphère et joignant $A$ et $B$, celui qui est le plus court. Soit $\mathcal C$ un tel arc de cercle, intersection du plan $\mathcal P$ et de $\mathcal S$. On note $H$ le projeté orthogonal de $O$ sur $\mathcal P$, $r$ le rayon de l'arc de cercle, $a=AB$, et $\theta$ l'angle $(\overrightarrow{HA},\overrightarrow{HB})\in[0,\pi]$.
  1. Démontrer que $\sin(\theta/2)=a/2r$.
  2. En déduire que la longueur de $\mathcal C$ est $\frac{a\theta}{2\sin(\theta/2)}$.
  3. Démontrer que $\theta\geq 2\arcsin(a/2R)$.
  4. Conclure.
Indication
Corrigé