$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Exercices corrigés - Géométrie différentielle - sous-variétés, immersion, submersion

Exercice 1 - Immersions, submersions? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Les fonctions suivantes sont-elles des immersions? des submersions?
  1. $f:\mathbb R^2\to\mathbb R^3,\ (x,y)\mapsto (x,y,0)$
  2. $f:\mathbb R^3\to\mathbb R^2,\ (x,y,z)\mapsto (y,z)$
  3. $f:\mathbb R^3\to\mathbb R,\ (x,y,z)\mapsto xy+2yz+3xz$
  4. $f:\mathbb R\to\mathbb R^2,\ t\mapsto (\sin(2t),\sin(3t))$
  5. $f:\mathbb R^3\to\mathbb R^2,\ (x,y,z)\mapsto (x^2+y^2+z^2,xy)$
  6. $f:\mathbb R^2\to\mathbb R^3,\ (x,y)\mapsto (e^x,\cos(y),\sin(y)).$
Indication
Corrigé
Sous-variétés
Enoncé
Les ensembles suivants sont-ils des sous-variétés (si c'est le cas, on précisera la dimension) :
  1. $\mathcal S_1=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3;\ z=x-2(x^2+y^2)\}$.
  2. $\mathcal S_2=\{(t,t^2);\ t\in\mathbb R\}$.
  3. $\mathcal S_3=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3;\ x^2+y^2+z^2=1\}$.
  4. $\mathcal S_4=\{(x,y)\in\mathbb R^2;\ xy=0\}$.
  5. $\mathcal S_5=\{(x,y)\in\mathbb R^2;\ x>0\textrm{ et }y\geq 0\}$.
Corrigé
Exercice 3 - Paramètre pour que ce soit une sous-variété [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour quelles valeurs de $\alpha\in\mathbb R$ l'ensemble $\mathcal C=\{(x,y)\in\mathbb R^2;\ x^2-y^2=\alpha\}$ est-il une sous-variété de $\mathbb R^2$.
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Produit de sous-variétés [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $M_1$ une sous-variété de $\mathbb R^n$ de dimension $p_1$ et $M_2$ une sous-variété de $\mathbb R^m$ de dimension $p_2$. Montrer que $$M_1\times M_2=\{a=(a_1,a_2)\in\mathbb R^{n+m};\ a_1\in M_1,\ a_2\in M_2\}$$ est une sous-variété de $\mathbb R^{n+m}$ dont on précisera la dimension.
Indication
Corrigé
Espace tangent
Exercice 5 - Plan tangent à une surface [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Montrer que l'ensemble $$S=\left\{(x,y,z)\in\mathbb R^3;\ xy+xz+2x+2y-z=0\right\}$$ définit une sous-variété de $\mathbb R^3$ de dimension 2. Déterminer le plan tangent à cette sous-variété en l'origine.
Indication
Corrigé
Enoncé
Montrer que l'ensemble $$\mathcal C=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3;\ 4xy+2xz+4y-z=xy+xz+2x-z=0\}$$ est une sous-variété de $\mathbb R^3$ dont on précisera la dimension et l'espace tangent en $(0,0,0)$.
Indication
Corrigé