$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Courbes paramétrées

Théorie générale
Exercice 1 - Du tableau de variations à la courbe [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[0,+\infty[\to\mathbb R^2$ un arc paramétré de classe $C^1$, dont le tableau de variations des fonctions coordonnées est :
Que peut-on dire, à la lecture de ce tableau, des points stationnaires? des tangentes parallèles aux axes? des branches infinies? Tracer une courbe paramétrée qui peut correspondre à ce tableau de variations.
Corrigé
Exercice 2 - De la courbe au tableau de variations [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Donner le tableau de variations de l'arc paramétré représenté ci-dessous et défini sur $\mathbb R$.
Enoncé
Étudier les branches infinies de la courbe paramétrée $t\mapsto \left(\frac{t^3}{t^2-9},\frac{t(t-2)}{t-3}\right).$
Corrigé
Exercice 4 - Recherche de point double [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer que la courbe paramétrée $t\mapsto \left(\displaystyle 2t-\frac 1{t^2},2t+t^2\right)$ possède un point double dont on donnera les coordonnées.
Indication
Corrigé
Enoncé
Déterminer une équation cartésienne de l'arc paramétré $t\mapsto \left(\frac t{1-t^4},\frac{t^3}{1-t^4}\right)$.
Indication
Corrigé
Exercice 6 - Point le plus proche de l'origine [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\overrightarrow{OM(t)}=f(t)$ une courbe paramétrée de classe $C^1$, dont tous les points sont réguliers, et ne passant pas par l'origine. Soit $t_0$ tel que la longueur $OM(t_0)$ soit minimale. Prouver que $\overrightarrow{OM(t_0)}$ est orthogonal à la tangente à la courbe en $M(t_0)$.
Indication
Corrigé
Etude locale
Enoncé
Déterminer les points d'inflexion de l'arc paramétré $t\mapsto \big( (t-2)^3,t^2-4\big)$.
Corrigé
Enoncé
Déterminer la nature au point $t=0$ des arcs paramétrés suivants : $$ \begin{array}{lll} \mathbf{1.}\ t\mapsto (t+2t^2-t^3,t+2t^2-t^7)&\quad\quad&\mathbf{2.}\ t\mapsto (-t+t^2,t^2+t^3)\\ \mathbf{3.}\ t\mapsto (-t^2-2t^3,-t^3-t^5)&\quad\quad&\mathbf{4.}\ t\mapsto (t^2+3t^3+t^4,-2t^2-6t^3+t^4). \end{array} $$
Corrigé
Tracé de courbes
Enoncé
Tracer la courbe paramétrée d'équation $t\mapsto (\cos^3 t,\sin^3 t)$.
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Lemniscate de Bernoulli [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère la courbe paramétrée $$t\mapsto \left(\frac{t}{1+t^4},\frac{t^3}{1+t^4}\right).$$
  1. Que déduit-on du changement de variables $t\mapsto 1/t$? Sur quel intervalle peut-on réduire l'étude?
  2. Construire la courbe.
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Exponentielle et fonctions trigonométriques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Tracer la courbe paramétrée d'équation $t\mapsto (\exp(\sin(2t)),\exp(\cos(t))$. On précisera en particulier le point double.
Indication
Corrigé
Enoncé
Étudier et tracer la courbe paramétrée $t\mapsto (2\cos t-\cos 2t,2\sin t-\sin 2t)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Étudier et tracer la courbe de Lissajous $t\mapsto (\sin(2t),\cos(3t))$.
Indication
Corrigé
Enoncé
On considère la courbe paramétrée $$t\mapsto \left(\frac{t}{1+t^3},\frac{t^2}{1+t^3}\right).$$
  1. Que déduit-on du changement de variables $t\mapsto 1/t$? Sur quel intervalle peut-on réduire l'étude?
  2. Construire la courbe. On étudiera ses branches infinies, et on précisera la position de la courbe par rapport à sa ou ses asymptotes.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $R>0$.
  1. Étudier et tracer la courbe paramétrée $t\mapsto (R(t-\sin t),R(1-\cos t))$.
  2. Une roue de rayon $R$ roule sans glisser à vitesse constante $R$ sur l'axe $(Ox)$. Montrer que le point de la roue qui au temps $t=0$ coïncide avec $O$ décrit une cycloïde.
Indication
Corrigé
Exercice 16 - Branches infinies et point singulier [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Étudier la courbe paramétrée suivante : $t\mapsto \left(t+\frac 1t,t+\frac 1{2t^2}\right)$, $t\in\mathbb R^*$. On étudiera en particulier la position par rapport aux asymptotes, et la tangente aux points stationnaires.
Corrigé