$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Coniques

Équations des coniques
Exercice 1 - Réduction de l'équation d'une conique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour les coniques suivantes, déterminer la nature, les éléments caractéristiques et une équation réduite : $$ \begin{array}{ll} \mathbf{1.}\ x^2-xy+y^2=1\quad&\quad\\ \mathbf{2.}\ x^2+\sqrt{3}xy+x-2=0\\ \mathbf{3.}\ 2xy-2\sqrt{2}x-1=0\quad&\quad\\ \mathbf{4.}\ \frac{x^2}4-\frac{\sqrt{3}}2xy+\frac34y^2-(1+3\sqrt 3)x-(3-\sqrt 3)y+13=0 \end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Une conique à paramètres [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\mathcal C$ la conique d'équation $$x^2+2axy+y^2+4x-a^2=0.$$
  1. Déterminer, suivant la valeur de $a$, le type de $\mathcal C$.
  2. Dans le cas où $\mathcal C$ est une parabole, déterminer le paramètre, le foyer et la directrice.
  3. Déterminer pour quelle(s) valeur(s) de $a$ la conique $\mathcal C$ est un cercle, dont on donnera le centre et le rayon.
  4. Déterminer pour quelle(s) valeur(s) de $a$ la conique $\mathcal C$ est la réunion de deux droites.
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Ensemble des sommets d'une famille d'ellipse [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer l'ensemble des centres, des sommets et des foyers des ellipses d'équation $$\lambda x^2+y^2-2x=0,$$ lorsque $\lambda$ décrit $\mathbb R^*_+$.
Indication
Corrigé
Exercice 4 - En coordonnées polaires [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer la nature, l'excentricité et les sommets des coniques suivantes : $$\begin{array}{lll} \mathbf{1.}\ \rho(\theta)=\frac{1}{2+\cos\theta}&\quad&\mathbf{2.}\ \rho(\theta)=\frac{1}{2-\cos\theta}\\ \mathbf{3.}\ \rho(\theta)=\frac{1}{1+\sin\theta}&\quad&\mathbf{4.}\ \rho(\theta)=\frac{1}{1+\cos\theta+\sin\theta}. \end{array}$$
Indication
Corrigé
Propriétés géométriques
Exercice 5 - Projections orthogonales sur les axes d'une hyperbole [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Un point $M$ d'une hyperbole $\mathcal H$ est projeté orthogonalement en les points $H$ et $H'$ sur les axes de $\mathcal H$. Prouver que le produit $MH\times MH'$ est constant.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $\mathcal P$ une parabole de foyer $F$ et de directrice $D$.
  1. Soit $M$ un point de $\mathcal P$ et $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur la directrice $D$. Démontrer que la tangente à la parabole en $M$ est la médiatrice de $[FH]$.
  2. Soit $\Delta$ la demi-droite issue de $M$ et parallèle à $(Ox)$. Soit $\vec N$ un vecteur normal rentrant à la parabole en $M$, c'est-à-dire un vecteur orthogonal à la tangente en $M$ et dirigé vers l'intérieur de la parabole. Démontrer que les angles $(\overrightarrow{MI},\vec N)$ et $(\vec N, \overrightarrow{MF})$ sont égaux. Application?
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Triangle inscrit dans une ellipse [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\mathcal E$ une ellipse de centre $O$, et soient $M,P$ deux points de $\mathcal E$ tels que la tangente à l'ellipse en $P$ est parallèle à la droite $(OM)$. Montrer que l'aire du triangle $MOP$ ne dépend pas de la position de $M$ et de $P$ sur l'ellipse.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $\mathcal E$ l'ellipse d'équation $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ et soit $\mathcal E'$ l'ellipse d'équation $\frac{x^2}{4a^2}+\frac{y^2}{4b^2}=1$.
  1. Démontrer que la droite $D$ d'équation $ux+vy+w=0$ est tangente à l'ellipse $\mathcal E$ si et seulement si ses coefficients vérifient l'équation $a^2u^2+b^2v^2-w^2=0$ et $w\neq 0$.
  2. Soit $A(2\cos a,2\sin a)$ et $B(2\cos b,2\sin b)$ deux points distincts de l'ellipse $\mathcal E'$. Démontrer que la droite $(AB)$ est tangente à $\mathcal E$ si et seulement si $a-b=2\pi/3\ [2\pi]$ ou $a-b=-2\pi/3\ [2\pi]$.
  3. Soient $M,P,Q$ trois points distincts de $\mathcal E'$ tels que $(MP)$ et $(MQ)$ sont tangentes à $\mathcal E$. Démontrer que la droite $(PQ)$ est tangente à $\mathcal E$.
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Cercle orthoptique d'une ellipse [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\mathcal E$ l'ellipse d'équation $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$$
  1. Soit $m$ un réel. Déterminer les droites de coefficient directeur $m$ qui sont tangentes à $\mathcal E$.
  2. A quelle condition les droites $y=mx+p$ et $y=m'x+p'$ sont elles perpendiculaires?
  3. En déduire que le lieu des points du plan par lesquels passent deux tangentes à $\mathcal E$ qui sont perpendiculaires est un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
Indication
Corrigé
Lieux géométriques
Exercice 10 - Carré des distances aux trois côtés d'un triangle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Dans le plan muni du repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$, on considère les points $A(1,0)$ et $B(1,0)$. On désigne par $\mathcal E$ l'ensemble des points du plan dont la somme des carrés aux trois côtés du triangle $OAB$ est égale à $1/3$.
  1. Démontrer que $\mathcal E$ est une ellipse dont on donnera une équation réduite.
  2. Montrer que l'ellipse $\mathcal E$ est tangente aux droites $(OA)$ et $(OB)$.
  3. Donner une représentation paramétrique de $\mathcal E$ dans le repère $(O,\vec i,\vec j)$.
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Lieu des centres d'un cercle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $a>0$ un réel. On munit le plan d'un repère orthonormé. Déterminer le lieu des centres des cercles tangents à $(Oy)$ et coupant l'axe $(Ox)$ en deux points $M$ et $M'$ tels que $MM'=a$.
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Carré et produit de distances... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $A$ et $B$ deux points distincts du plan et soit $I$ le milieu de $[AB]$. Déterminer le lieu des points $M$ du plan tels que $MI^2=MA\times MB$.
Indication
Corrigé