$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - L'anneau $\mathbb Z/n\mathbb Z$

Exercice 1 - Inversibles de $\mathbb Z/n\mathbb Z$. [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Est-ce que $\overline{18}$ est inversible dans $\mathbb Z/49\mathbb Z$? Si oui, quel est son inverse?
  2. Est-ce que $\overline{42}$ est inversible dans $\mathbb Z/135\mathbb Z$? Si oui, quel est son inverse?
Corrigé
Enoncé
Résoudre, dans $\mathbb Z/37\mathbb Z$, les équations ou systèmes d'équations suivants :
  1. $\bar 7y=\bar 2$.
  2. $\left\{\begin{array}{rcl} \bar 3x+\bar 7y&=&\bar 3\\ \bar 6x-\bar 7y&=&\bar 0 \end{array}\right.$
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Contre-exemple au théorème chinois [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Les groupes $\mathbb Z/8\mathbb Z$, $(\mathbb Z/2\mathbb Z)\times(\mathbb Z/4\mathbb Z)$ et $(\mathbb Z/2\mathbb Z)^3$ sont-ils isomorphes?
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $n\geq 1$ et $G$ un groupe. Soit $f:\mathbb Z/n\mathbb Z\to G$ un morphisme de groupes.
  1. Démontrer que $f$ est complètement caractérisé par $f(\bar 1)$.
  2. Existe-t-il des éléments d'ordre 3 dans $\mathbb Z/2\mathbb Z\times \mathbb Z/4\mathbb Z$? En déduire les morphismes de groupe de $\mathbb Z/3\mathbb Z$ dans $\mathbb Z/2\mathbb Z\times \mathbb Z/4\mathbb Z$.
  3. On suppose maintenant que $f$ est un morphisme de groupes de $\mathbb Z/18\mathbb Z$ dans $\mathbb Z/15\mathbb Z$. Quels sont les ordres possibles de $f(\bar 1)$? En déduire tous les morphismes de groupe de $\mathbb Z/18\mathbb Z$ dans $\mathbb Z/15\mathbb Z$.
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Équations du second degré [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre
  1. $x^2+x+\overline 7=\overline 0$ dans $\mathbb Z/13\mathbb Z$.
  2. $x^2-\overline 4x+\overline 3=\overline 0$ dans $\mathbb Z/12\mathbb Z$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Pour $n\geq 1$ un entier, on définit l'\emph{indicateur d'Euler} de $n$ par : $$\phi(n)=\textrm{card}\{1\leq k\leq n;\ k\textrm{ est premier avec }n\}.$$
  1. Calculer $\phi(p)$ lorsque $p$ est un nombre premier.
  2. Calculer $\phi(p^\alpha)$, où $p$ est premier et $\alpha\geq 1$.
  3. Que signifie $\phi(n)$ pour l'anneau $\mathbb Z/n\mathbb Z$?
  4. En déduire que si $n\wedge m=1$, alors $\phi(nm)=\phi(n)\phi(m)$.
  5. Déduire des questions précédentes une formule pour calculer $\phi(n)$ pour tout entier $n$.
    1. Soit $d$ un diviseur de $n$. On pose $$A_d=\left\{1\leq k\leq n;\ k\wedge n=d\right\}.$$ Quel est le cardinal de $A_d$?
    2. En déduire que $n=\sum_{d|n}\phi(d).$
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Carrés de $\mathbb Z/p\mathbb Z$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $p$ un nombre premier impair. On rappelle que le groupe $G=(\mathbb Z/p\mathbb Z)^*$ est cyclique, c'est-à-dire qu'il existe $x_0\in G$ tel que $\{x_0^s;\ s\geq 0\}=G$.
  1. Soit $x\in G$. Que vaut $x^{p-1}$?
  2. En déduire que si $k$ est un carré dans $\mathbb Z/p\mathbb Z$, ie s'il existe $l$ tel que $k=l^2$, alors $k^{\frac{p-1}{2}}=1$.
  3. Prouver la réciproque.
  4. Soit $x\in G$. Que peut valoir $x^{(p-1)/2}$?
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Ordre d'élements dans le groupe des inversibles de Z/nZ et divisibilité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Le but de cet exercice est de montrer qu'il n'existe pas d'entier $n\geq 2$ tel que $n$ divise $2^n-1$. On raisonne par l'absurde et on supposons qu'un tel entier $n$ existe. On note $p$ le plus petit diviseur premier de $n$.
  1. Montrer que $p>2$.
  2. On note $m$ l'ordre de la classe de 2 dans $(\mathbb Z/p\mathbb Z)^*$.
    1. Montrer que $m|p-1$.
    2. Montrer que $m|n$.
    3. Conclure.
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Test de primalité de Miller-Rabin [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $p$ un nombre premier impair que l'on écrit sous la forme $p=2^s\times d+1$. Soit $a\in\{1,\dots, p-1\}$. On définit une suite $(b_i)$ en posant $$b_{i}=a^{d\times 2^i}.$$
  1. Question prélimaire : Montrer que dans $\mathbb Z/p\mathbb Z$, l'équation $x^2=1$ entraine $x=1$ ou $x=-1$.
  2. Montrer que $b_{s}\equiv 1\ [p]$.
  3. On suppose que $b_0$ n'est pas congru à 1 modulo $p$. Montrer l'existence de $i\in\{0,\dots,s-1\}$ tel que $b_i\equiv -1\ [p]$.
  4. En déduire un test de non-primalité d'un entier.
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Carrés de $\mathbb Z/n\mathbb Z$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Dans cet exercice, on s'intéresse au nombre de solutions de l'équation $x^2=1$ dans $\mathbb Z/n\mathbb Z$, où $n\geq 2$.
  1. Quel est le nombre de solutions pour $n=p^\alpha$, où $\alpha\geq 1$ et $p$ est un nombre premier impair?
  2. Quel est le nombre de solutions pour $n=2,4$?
  3. Quel est le nombre de solutions pour $n=2^\alpha$, $\alpha\geq 3$?
  4. Quel est le nombre de solutions pour une valeur quelconque de $n$?
Indication
Corrigé
Enoncé
Le but de cet exercice est de démontrer le théorème de Wilson : un entier $n\geq 2$ est premier si et seulement si $(n-1)!\equiv -1\ [n]$.
  1. Soit $p\geq 2$ premier. Combien de solutions l'équation $x^2=1$ admet-elle de solutions dans $\mathbb Z/p\mathbb Z$?
  2. Soit $p\geq 2$ premier. Montrer que $(p-1)!=-1\ [p]$.
  3. Soit $n\geq 2$ un entier tel que $n$ divise $(n-1)!+1$. Montrer que pour tout $a\in\{1,\dots,n-1\}$, $a$ est inversible dans $(\mathbb Z/n\mathbb Z,\times)$. En déduire que $n$ est premier.
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Un groupe d'inversibles non cyclique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\geq 3$ un entier.
  1. Soit $a$ un entier impair. Montrer que $a^{2^{n-2}}\equiv 1\ [2^n]$.
  2. Le groupe $\Big(\mathbb Z/(2^n\mathbb Z)\Big)^*$ est-il cyclique?
Indication
Corrigé
Exercice 13 - Application à la résolution d'une équation diophantienne [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Dresser la liste des cubes dans $\mathbb Z/13\mathbb Z$;
  2. Soient $x,y,z\in\mathbb Z$ tels que $5x^3+11y^3+13z^3=0$. Montrer que $13$ divise $x,y$ et $z$.
  3. L'équation $5x^3+11y^3+13z^3=0$ admet-elle des solutions non nulles dans $\mathbb Z^3$?
Indication
Corrigé
Exercice 14 - Sous-groupes de $(\mathbb Z/20\mathbb Z)^*$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $G=(\mathbb Z/20\mathbb Z)^*$ le groupe des éléments inversibles de $\mathbb Z/20\mathbb Z$.
  1. Donner la liste de tous les éléments de $G$.
  2. Pour tout $a\in G$, déterminer le sous groupe $<a>$ engendré par $a$.
  3. Déterminer un ensemble minimal de générateurs de $(G,\cdot)$.
  4. $ (G, \cdot)$ est-il un groupe cyclique ?
  5. Déterminer tous les sous-groupes de $G$ et, pour chaque sous-groupe, préciser un ensemble de générateurs.
  6. Parmi les sous-groupes de $(G,\cdot)$, lesquels sont isomorphes à un groupe additif $(\mathbb Z/m\mathbb Z,+)$?
Indication
Corrigé