$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Zéros des fonctions holomorphes, théorème de Rouché

Théorème des zéros isolés
Exercice 1 - Produit de deux fonctions holomorphes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $f,g$ deux fonctions holomorphes sur l'ouvert connexe $\Omega$. On suppose que $fg=0$. Démontrer que $f=0$ ou $g=0$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $U=D(0,1)$.
  1. Existe-t-il des fonctions holomorphes $f$ dans $U$ vérifiant pour $n\geq 2$ l'une ou l'autre des relations suivantes? Si oui, les déterminer.
    1. $f\left(\frac 1n\right)=\frac{1}{n^2}$;
    2. $f\left(\frac1{2n}\right)=f\left(\frac{1}{2n+1}\right)=\frac1n$;
  2. Soit $a>1$ un réel, et $p$ un entier naturel.
    1. Quelle est la limite de la suite $\frac{n^p}{a^n}$?
    2. Soit une fonction holomorphe $f$ dans $U$ telle que $f\left(\frac 1n\right)=\frac1{a^n}$ pour tout $n\geq 1$. Que vaut $f(0)$?
    3. Une telle fonction existe-t-elle?
  3. Existe-t-il une fonction $f$ holomorphe dans $U$ telle que $n^{-5/2}\leq f(1/n)\leq 2n^{-5/2}$.
Indication
Corrigé
Enoncé
On considère la fonction $\sin$ définie sur $\mathbb C$ par la formule $\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$.
  1. Justifier que $\sin$ est une fonction holomorphe sur $\mathbb C$.
  2. Pour quelles valeurs de $z\in\mathbb C$ a-t-on $\sin(z)=0$?
  3. Montrer que la fonction $f$ définie par $f(z)=\sin\left(\frac{\pi}{1-z}\right)$ est holomorphe sur le disque ouvert $D(0,1)$. Quels sont les zéros de $f$ sur ce disque? Est-ce contradictoire avec le principe des zéros isolés?
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $f,g$ deux fonctions holomorphes sur un ouvert connexe $U$ et qui ne s'annulent pas dans $U$. On suppose qu'il existe une suite $(a_n)$ d'élements de $U$, deux à deux distincts, qui converge vers $a\in U$, et telle que $$f(a_n)g'(a_n)=f'(a_n)g(a_n)\textrm{pour tout entier $n$}.$$ Prouver qu'il existe $c\in\mathbb C$ tel que $f=cg$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $h$ une fonction holomorphe sur l'ouvert $U$ dont la dérivée ne s'annule pas, et soit $f$ une fonction holomorphe sur l'ouvert $h(U)$. On pose $g=f\circ h$; $g$ est une fonction holomorphe sur $U$. Soient $m\geq 1$, $a\in U$ et $b=h(a)$. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
  1. $b$ est un zéro d'ordre $m$ de $f$;
  2. $a$ est un zéro d'ordre $m$ de $g$.
Indication
Corrigé
Exercice 6 - En un point, une des dérivées s'annule [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Dans cet exercice, on admettra que l'ensemble $K=\overline{D(0,1)}$ ne peut pas s'écrire $K=\bigcup_n K_n$, où chaque $K_n$ est fini. Soit $f$ une fonction holomorphe sur $\mathbb C$. On suppose que pour tout $z\in K$, il existe $n_z\in\mathbb N$ tel que $f^{(n_z)}(z)=0$.
  1. Pour tout $n\in\mathbb N$, on pose $E_n=\big\{z\in K;\ f^{(n)}(z)=0\big\}$. Démontrer qu'il existe un entier $N$ tel que $E_N$ contient une infinité d'éléments.
  2. En déduire que $E_N$ possède un point d'accumulation.
  3. Montrer que $f$ est un polynôme.
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Annulation dans un compact [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ holomorphe dans un ouvert connexe $\mathcal U$, non identiquement nulle, et soit $K$ un compact contenu dans $\mathcal U$. On note $$Z=\{z\in K;\ f(z)=0\}.$$
  1. Démontrer que $Z$ est un compact de $\mathbb C$.
  2. En déduire que $Z$ est fini.
Indication
Corrigé
Théorème de Rouché
Exercice 8 - Localisation des zéros d'un polynôme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f(z)=z^5+5z^3+z-2$. Montrer que $f$ a trois de ses zéros dans le disque $D(0,1)$, et tous ses zéros dans le disque $D(0,3)$.
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Localisations successives des zéros [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère le polynôme $P(z)=z^4+6z+3$.
  1. Démontrer que $P$ admet ses 4 racines dans le disque $D(0,2)$.
  2. Démontrer que $P$ admet une seule racine dans le disque $D(0,1)$.
  3. Démontrer que $P$ n'admet pas de racines dans le disque $D(0,1/3)$.
  4. Soit $a$ la racine de $P$ dans le disque $D(0,1)$. Démontrer que $$2i\pi a=\int_{C(0,1)}\frac{4z^3+6}{z^4+6z+3}zdz.$$
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Polynôme à coefficient dominant de module 1 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $P(z)=z^n+a_1 z^{n-1}+\dots+a_n$, $a_j\in\mathbb C$. Montrer qu'il existe un point $c$ de module 1 tel que $|P(c)|\geq 1$.
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Une équation avec l'exponentielle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\lambda\in\mathbb C$ tel que $\Re e(\lambda)>1$. Montrer que l'équation $e^{-z}+z-\lambda=0$ a une racine et une seule dans le demi-plan $\Re e(z)>0$.
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Théorème de d'Alembert [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
En utilisant le théorème de Rouché, démontrer le théorème de d'Alembert.
Indication
Corrigé
Exercice 13 - L'image contient le disque unité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $D$ le disque unité et $f:\overline D\to\mathbb C$ continue sur $\overline D$ et holomorphe dans $D$. On suppose que $f$ n'est pas constante et que $|f(z)|=1$ si $|z|=1$.
  1. Démontrer que $f$ s'annule dans $D$.
  2. Démontrer que $D\subset f(D)$.
Indication
Corrigé