$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Logarithme, racine carré

Déterminations
Enoncé
Soit $\Omega=\{z=x+iy;\ |xy|<1\}$ et soit $f:\Omega\to\mathbb C^*$. Montrer qu'il existe une fonction $g$ holomorphe dans $\Omega$ tel que $g^2=f$.
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Détermination continue [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $k$ un entier supérieur ou égal à 2. Démontrer qu'il n'existe pas de fonction continue définie sur le cercle unité $\mathbb T$ telle que, pour tout $z\in\mathbb T$, $\big(g(z)\big)^k=z$.
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Racine $n$-ième d'un polynôme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $K$ un compact connexe de $\mathbb C$ tel que $\Omega=\mathbb C\backslash K$ est connexe. On fixe $a$ et $b$ deux points de $K$.
  1. Soit $\gamma$ un chemin fermé $C^1$ par morceaux contenu dans $\Omega$. Montrer que la fonction $\textrm{Ind}_\gamma$ est constante sur $K$. En déduire que la fonction $f(z)=\frac{1}{z-a}-\frac{1}{z-b}$ admet une primitive dans $\Omega$.
  2. Soit $F$ une primitive de $f$ dans $\Omega$. Montrer qu'il existe $\lambda\in\mathbb C$ telle que l'on ait $$\frac{z-a}{z-b}\exp(-F(z))=\lambda\textrm{ pour tout }z\in\Omega.$$ En déduire qu'il existe une fonction $g$ holomorphe dans $\Omega$ telle que l'on ait $$\frac{z-a}{z-b}=\exp(g(z))\textrm{ pour tout }z\in\Omega.$$
  3. Soit $n\geq 2$. Montrer qu'il existe une fonction holomorphe dans $\Omega$ notée $h$ telle que l'on ait $$\frac{z-a}{z-b}=\big(h(z)\big)^n\textrm{ pour tout }z\in\Omega.$$
  4. Soit $P$ un polynôme de degré $n\geq 2$, de racines distinctes ou confondues $a_j$, $1\leq j\leq n$, appartenant à $K$. Montrer qu'il existe une fonction holomorphe dans $\Omega$ notée $r$ telle que l'on ait $$\big(r(z)\big)^n=P(z)\textrm{ pour tout }z\in\Omega.$$
Indication
Corrigé