$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Suites, séries et intégrales de fonctions holomorphes

Suites et séries
Enoncé
Montrer que la formule suivant définit une fonction holomorphe dans un domaine à préciser : $$\zeta(s)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^s}.$$
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Suites de fonctions holomorphes ne s'annulant pas [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\Omega$ un ouvert connexe de $\mathbb C$ et soit $(f_n)$ une suite de fonctions holomorphes dans $\Omega$ qui converge uniformément sur les compacts de $\Omega$ vers $f$, qui est donc holomorphe. On suppose que les $(f_n)$ ne s'annulent pas sur $\Omega$ et on veut prouver que ou bien $f$ ne s'annule pas, ou bien $f$ est identiquement nulle. On suppose $f$ non-identiquement nulle et on fixe $a\in\Omega$.
  1. Justifier l'existence d'un réel $r>0$ tel que $\overline{D}(a,r)\subset\Omega$ et $f$ ne s'annule pas sur le bord du disque $D(a,r)$ (on pourra utiliser le principe des zéros isolés).
  2. Justifier l'existence de $\veps>0$ tel que, pour tout $z\in\partial D(a,r)$, $|f(z)|\geq\varepsilon.$
  3. Justifier l'existence de $N\in\mathbb N$ tel que, pour tout $n\geq N$ et tout $z\in\partial D(a,r)$, $|f_n(z)|\geq \varepsilon/2$.
  4. En déduire que $|f_n(a)|\geq\veps/2$.
  5. Conclure.
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Convergence uniforme non triviale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Montrer que la série de fonctions méromorphes $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{z-n}$$ converge uniformément sur tout compact de $\mathbb C$.
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Un développement en série [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Le but de l'exercice est de démontrer la formule suivante : $$\forall z\in\mathbb C\backslash\pi\mathbb Z,\ \sum_{n\in\mathbb Z}\frac{1}{(z-n)^2}=\left(\frac{\pi}{\sin(\pi z)}\right)^2.$$
  1. Question préliminaire : montrer que, pour $z=x+iy$, on a $$|\sin z|^2=\sin^2(x)+\textrm{sh}^2y.$$
  2. Montrer que la série $f(z)=\sum_{n\in \mathbb Z}1/(z-n)^2$ converge normalement sur tout compact de $\mathbb C$. En déduire que $f$ définit une fonction méromorphe sur $\mathbb C$ dont les pôles sont en $\mathbb Z$.
  3. On pose $g(z)=\left(\frac{\pi}{\sin(\pi z)}\right)^2$. Montrer que $f$ et $g$ ont même partie singulière en 0. En déduire que $h=f-g$ se prolonge une fonction entière.
  4. Montrer que $h$ est bornée sur sur l'ensemble $\{0\leq\Re e(z)\leq 1;\ |\Im m(z)|>1\}$. En déduire que $h$ est constante, puis, en étudiant $\lim_{y\to+\infty}h(iy)$, que $h=0$.
  5. Montrer que $\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}.$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $U$ un ouvert de $\mathbb C$ et $(f_n)$ une suite de fonctions holomorphes qui converge simplement sur $U$ vers $f$. On suppose que la suite $(f_n)$ est uniformément bornée, c'est-à-dire qu'il existe une constante $C$ telle que, pour tout $z$ de $U$ et tout $n\geq 0$, on a $|f_n(z)|\leq C$.
  1. Montrer que $f$ est holomorphe.
  2. On fixe $K$ un compact de $U$ et $z_0\in K$, $r>0$ tel que $D(z_0,r)\subset U$. Montrer qu'il existe une constante $M>0$ telle que, pour tout $z\in D(z_0,r/2)$, on a $$|f_n(z)-f_m(z)|\leq M \int_{C(z_0,r)}|f_n(w)-f_m(w)|dw,$$ où $C(z_0,r)$ est le cercle de centre $z_0$ et de rayon $r>0$.
  3. En déduire que, pour tout $\veps>0$, il existe $p:=p(z_0)$ tel que, pour tout $n,m\geq p(z_0)$, on a $$\sup_{z\in D(z_0,r/2)}|f_n(z)-f_m(z)|\leq \veps.$$
  4. Conclure que $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $K$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $\Omega$ un ouvert de $\mathbb C$ et $H$ l'ensemble des fonctions holomorphes $f:\Omega\to\mathbb C$ de carré intégrale : $\int_{\Omega}|f(x+iy)|^2dxdy<+\infty$. Pour $f,g\in H$, on pose $$\langle f,g\rangle=\int_\Omega f\overline g\textrm{ et }\|f\|=\sqrt{\langle f,f\rangle}.$$
  1. Montrer que l'on définit ainsi un produit scalaire hermitien sur $H$.
  2. Soit $w\in \Omega$. Prouver que $$|f(w)|\leq \frac{1}{d(w,\partial \Omega)\sqrt \pi}\|f\|.$$
  3. Soit $K$ un compact de $\Omega$. Prouver que $$\sup_{w\in K} |f(w)|\leq \frac{1}{d(K,\partial \Omega)\sqrt \pi}\|f\|.$$
  4. En déduire que $H$ est un espace de Hilbert.
Indication
Corrigé
Intégrales à paramètres
Enoncé
Montrer que la formule suivante définit une fonction holomorphe dans un domaine à préciser : $$\Gamma(z)=\int_0^{+\infty}t^{z-1}e^{-t}dt.$$
Corrigé
Exercice 8 - Transformée de Fourier [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ une fonction continue à support compact. On pose, pour $z\in\mathbb C$, $\hat{f}(z)=\int_{\mathbb R}f(x)e^{zx}dx$. Montrer que $\hat{f}$ est une fonction entière. Que dire d'une fonction continue à support compact dont la transformée de Fourier est à support compact?
Indication
Corrigé
Produits infinis
Enoncé
On considère le produit infini $$f(z)=\prod_{n=0}^{+\infty}\left(1+z^{2^n}\right).$$
  1. Prouver que ce produit converge normalement sur tout compact du disque unité $D$.
  2. Montrer que, pour tout $z\in D$, on a $f(z^2)=f(z)/(1+z)$.
  3. En déduire que $f(z)=1/(1-z)$ pour tout $z$ de $D$.
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Zéros des fonctions holomorphes bornées [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(a_n)$ une suite de points du disque unité $D$ vérifiant la condition $\sum_{n\geq 1}(1-|a_n|)<+\infty$. Le but de l'exercice est de construire une fonction $f:D\to\mathbb C$ holomorphe, vérifiant $|f(z)|\leq 1$ si $z\in D$, et dont les zéros dans $D$ sont exactement les $(a_n)$. Pour $n\geq 0$ et $z\neq 1/\overline{a_n}$, on pose $$b_n(z)=\frac{|a_n|}{a_n}\times\frac{a_n-z}{1-\overline{a_n}z},$$ avec la convention $\frac{|0|}0=1$.
  1. Vérifier que, si $u$ et $v$ sont deux nombres complexes tels que $\bar uv\neq 1$, alors $$1-\left|\frac{u-v}{1-\bar u v}\right|^2=\frac{(1-|u|^2)(1-|v|^2)}{|1-\bar u v|^2}.$$
  2. En déduire que $|b_n(z)|<1$ si $z\in D$, pour tout $n\geq 0$.
  3. Démontrer que le produit infini $\prod_{n=0}^{+\infty}b_n$ est normalement convergent sur tous les compacts de $D$.
  4. Conclure.
Indication
Corrigé