$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Singularités des fonctions holomorphes - fonctions méromorphes

Séries de Laurent
Enoncé
Déterminer la couronne de convergence des séries de Laurent suivantes : $$\sum_{n\in\mathbb Z}a^{|n|}z^n\quad(a\in\mathbb C),\quad\quad \sum_{n\in\mathbb Z}R(n)z^n$$ où $R$ est une fraction rationnelle sans pôles dans $\mathbb Z$.
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Développement en séries de Laurent [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Développer en séries de Laurent les fonctions suivantes : \begin{eqnarray*} f(z)=z^2\exp\left(\frac 1z\right)&&\textrm{ dans }\{z;\ 0<|z|\}\\ g(z)=\exp\left(z+\frac 1z\right)&&\textrm{ dans }\{z;\ 0<|z|\}\\ h(z)=\frac{1}{(z-1)(z-2)}&&\textrm{dans : (i)} \{z;\ |z|<1\},\ \textrm{(ii)}\ \{z;\ 1<|z|<2\},\ \textrm{(iii)}\ \{z;\ |z|>2\}. \end{eqnarray*}
Indication
Corrigé
Singularités
Exercice 3 - Comportement au voisinage d'une singularité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb C^*$ par $f(z)=e^{1/z}$. Démontrer qu'il existe
  1. une direction suivant laquelle la limite de $f$ en $0$ est $0$.
  2. une direction suivant laquelle la limite de $f$ en $0$ est $+\infty$.
  3. une direction suivant laquelle $f(z)$ oscille en restant bornée lorsque $z$ tend vers $0$.
Quelle est la nature de $0$?
Corrigé
Enoncé
Déterminer les points singuliers isolés des fonctions suivantes, puis déterminer leur nature (singularité "apparente" ou "effaçable", pôle, singularité essentielle) : $$\begin{array}{lll} \displaystyle z\mapsto \exp(1/z)&\displaystyle z\mapsto \frac{1}{\sin z}-\frac1z&\displaystyle z\mapsto \frac{1}{\exp(z)-1}-\frac{1}{z}\\ \displaystyle z\mapsto \exp\left(\frac z{1-z}\right)&\displaystyle z\mapsto \sin\left(\frac{1}{\sin(1/z)}\right) \end{array}$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Exhiber des fonctions holomorphes n'ayant dans le plan complexe que les singularités suivantes :
  1. un pôle triple en 0, un pôle simple en 1, un point singulier essentiel en $i$ et $-i$;
  2. un point singulier essentiel en tout entier relatif.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $f$, $g$ deux fonctions entières non identiquement nulles telle que $|f(z)|\leq |g(z)|$ pour tout $z\in\mathbb C$.
  1. Montrer que $f/g$ se prolonge en une fonction entière.
  2. Montrer qu'il existe $\lambda\in\mathbb C$ tel que $f=\lambda g$.
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Composition et singularités [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $U$ un ouvert de $\mathbb C$ et $a\in U$. Soit également $f$ holomorphe sur $U\backslash\{a\}$ admettant une singularité essentielle en $a$. Soit $g$ une fonction entière non constante.
  1. Prouver que $\overline{g(\mathbb C)}=\mathbb C$.
  2. En déduire que $a$ est un point singulier essentiel de $g\circ f$.
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Bijections holomorphes du plan [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Le but de l'exercice est de montrer que les bijections holomorphes du plan complexe $\mathbb C$ sur lui-même sont les fonctions du type $z\mapsto az+b$, où $a$ et $b$ sont deux nombres complexes et $a\neq 0$. Pour la suite, on fixe $f$ une bijection holomorphe de $\mathbb C$ sur $\mathbb C$, et on pose $g(z)=f(1/z)$.
  1. Montrer que $0$ est un pôle de $g$.
  2. En déduire que $f$ est un polynôme.
  3. Conclure.
Indication
Corrigé
Fonctions méromorphes
Exercice 9 - Fonctions méromorphes tendant vers l'infini [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ une fonction méromorphe sur $\mathbb C$ telle que $$\lim_{|z|\to+\infty}|f(z)|=+\infty.$$ En particulier, $f(z)$ est bien défini pour toutes les valeurs de $z$ telles que $|z|\geq R$ pour un certain $R>0$.
  1. Justifier que $f$ n'admet qu'un nombre fini de pôles dans $\mathbb C$.
  2. On note $z_1,\dots,z_p$ ces pôles, et $m_1,\dots,m_p$ leur multiplicité respective et on pose $P(z)=(z-z_1)^{m_1}\cdots (z-z_p)^{m_p}$. Pourquoi la fonction $f_1(z)=P(z) f(z)$ se prolonge-t-elle en une fonction entière?
  3. On considère $g(z)=f_1\left(\frac 1z\right)$, qui est donc une fonction holomorphe sur $\mathbb C^*$. Démontrer que $0$ est un pôle pour $g$.
  4. On suppose que $f_1$ n'est pas un polynôme. Démontrer que $0$ est une singularité essentielle pour $g$.
  5. Conclure que $f$ est nécessairement une fraction rationnelle.
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Application des fonctions méromorphes aux fonctions holomorphes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f,g:\mathbb C\to\mathbb C$ deux fonctions entières. On suppose que, pour tout $z\in\mathbb C$, $|f(z)|\leq |g(z)|$. Le but de l'exercice est de démontrer qu'il existe $\alpha\in\mathbb C$ tel que $f=\alpha g$. On supposera que $g$ n'est pas identiquement nulle, et on pose $h=f/g$.
  1. Justifier que $h$ est une fonction méromorphe sur $\mathbb C$.
  2. Démontrer que les singularités de $h$ sont des fausses singularités.
  3. Conclure.
Indication
Corrigé