$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Théorème des résidus - calcul d'intégrales

Enoncé
Calculer le résidu aux singularités isolées des fonctions suivantes : $$f(z)=\frac{z^2+z+1}{z(z^2+1)^2},\quad g(z)=\frac{z^a}{1-z},\quad h(z)=\log(z).\sin\frac{1}{z-1}.$$ On prendra la détermination principale des fonctions $z\mapsto z^a$ et $z\mapsto \log(z)$.
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Cosinus et exponentielle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f(z)=\frac{e^{iz}}{e^z+e^{-z}}$.
  1. Quelles sont les singularités de $f$? Quelle est la nature de ces singularités?
  2. Déterminer le résidu de $f$ en $i\pi/2$.
  3. Soit $R>0$ et $\gamma(R)$ le rectangle de sommets $-R,R,R+i\pi,-R+i\pi$ orienté dans le sens direct. On notera également $\gamma_1(R)$ le segment orienté de $-R$ à $R$, $\gamma_2(R)$ le segment orienté de $R$ à $R+i\pi$, $\gamma_3(R)$ le segment orienté de $R+i\pi$ à $-R+i\pi$ et $\gamma_4(R)$ le segment orienté de $-R+i\pi$ à -$R$. Justifier que $$\int_{\gamma_2(R)}f(z)dz\xrightarrow{R\to+\infty} 0\textrm{ et }\int_{\gamma_4(R)}f(z)dz\xrightarrow{R\to+\infty}0.$$
  4. Exprimer $\int_{\gamma_3(R)}f(z)dz$ en fonction de $\int_{\gamma_1(R)}f(z)dz$.
  5. En déduire que $$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\cos x}{e^x+e^{-x}}dx=\frac{\pi}{e^{\pi/2}+e^{-\pi/2}}$$ (on justifiera l'existence de l'intégrale de gauche).
Indication
Corrigé
Enoncé
  1. Soit $n\geq 2$ entier. Calculer $I=\int_0^{+\infty}\frac{dx}{1+x^n}$. On pourra intégrer sur le bord du compact $K=\{\rho e^{i\theta};\ 0\leq \rho\leq R\textrm{ et }0\leq\theta\leq 2\pi/n\}$.
  2. Soient $n>2$ un entier et $\alpha$ un réel tel que $n>\alpha+1>0$. Calculer l'intégrale $J=\int_0^{+\infty}\frac{x^\alpha}{1+x^n}dx$. On pourra intégrer sur le bord du compact $L=\{\rho e^{i\theta};\ r\leq \rho\leq R\textrm{ et }0\leq\theta\leq 2\pi/n\}$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $P,Q\in\mathbb R[X]\backslash\{0\}$, tels que $\deg(P)\leq \deg(Q)-2$ et $P$ et $Q$ sont premier entre eux. On suppose que $Q$ n'a pas de zéros réels, et on note $a_1,\dots,a_r$ ses zéros de partie imaginaire strictement positive. Prouver que $$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}dx=2i\pi\sum_{k=1}^r \textrm{Res}\left(\frac PQ,a_k\right).$$ En déduire la valeur de $$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac {x(x+1)}{(x^2+1)^2}dx.$$
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Non-densité des translatées [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f\in L^1(\mtr^n)$ telle qu'il existe $x_0\in\mtr^n$ telle que $\hat{f}(x_0)=0$. Montrer que l'espace vectoriel engendré par les $(\tau_x f)$, $x\in\mtr^n$ n'est pas dense dans $L^1(\mtr^n)$, où $\tau_xf(t)=f(t-x)$.
Corrigé
Enoncé
Soit $F=P/Q$ une fraction rationnelle où $P$ et $Q$ sont deux polynômes premiers entre eux tels que $\deg(P)\leq \deg(Q)-1$ et $Q$ n'a pas de racines réelles.
  1. Justifier la convergence de $\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}e^{ix}dx$.
  2. On note $\gamma_R$ le demi-cercle de centre $O$ et de rayon $R>0$ situé dans le demi-plan $\{\Im m(z)>0\}$, orienté positivement.
    1. En utilisant (après l'avoir justifiée) l'inégalité $\sin t\geq\frac{2}\pi t$, valide pour $t\in[0,\pi/2]$, démontrer que $$\int_0^\pi e^{-r\sin t}rdt\leq \pi.$$
    2. En déduire que $\lim_{R\to+\infty}\int_{\gamma_R}\frac{P(z)}{Q(z)}e^{iz}dz=0$.
  3. On pose $f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}e^{iz}$ et on note $a_1,\dots,a_p$ les pôles de $f$ de partie imaginaire strictement positive. Déduire de la question précédente que $$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}e^{ix}dx=2i\pi\sum_{k=1}^p \textrm{Res}(f,a_k).$$
  4. Application : soit $P(x)=x^3$ et $Q(x)=x^4+5x^2+4=(x^2+1)(x^2+4)$. Calculer les résidus de $f$ en les pôles de partie imaginaire positive. En déduire que $$\int_0^{+\infty}\frac{x^3\sin(x)}{x^4+5x^2+4}dx=\pi\left(\frac{2}{3e^2}-\frac{1}{6e}\right).$$
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Transformées de Fourier [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $U$ le demi-plan supérieur $\{z\in\mathbb C;\ \Im m(z)>0\}$. Soit $f$ une fonction holomorphe dans un voisinage de $U$, sauf éventuellement en un ensemble fini $A=\{a_1,\dots,a_r\}$. On suppose enfin que $|f(z)|$ tend vers 0 lorsque $|z|$ tend vers $+\infty$ et que $\int_{-\infty}^{+\infty}|f(x)|dx$ est convergente. On pose $I=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{i\alpha x}dx$ pour $\alpha>0$.
  1. Montrer que $$I=2i\pi\sum_{k=1}^r \textrm{Res}\left(f(z)e^{i\alpha z},a_k\right).$$
  2. En déduire la valeur de $J(x)=\int_0^{+\infty}\frac{\cos (xt)}{1+t^2}dt$ pour $x\in\mathbb R$.
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Intégrale trigonométrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
En utilisant le théorème des résidus, calculer $$I=\int_0^{2\pi}\frac{dt}{a+\sin t},\ a>1.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Le but de l'exercice est de démontrer la formule suivante, due à Euler : pour tout $z\neq k\pi$, $k\in\mathbb Z$, $$\textrm{cotan} z=\frac 1z+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2z}{z^2-n^2\pi^2}.$$
  1. Justifier que le membre de droite définit une fonction holomorphe sur $\mathbb C-\pi\mathbb Z$.
  2. On pose $$F(z)=\textrm{cotan} z-\frac 1z\textrm{ et }G(z)=\frac{uF(z)}{z(z-u)}.$$ Démontrer que $F$ admet une fausse singularité en $0$. Par quelle valeur peut-on prolonger $F$ holomorphiquement en $0$?
  3. Quel est le résidu de $F$ en $k\pi$, $k\in\mathbb Z^*$?
  4. On fixe $u\in\mathbb C\backslash\pi\mathbb Z$ et on pose $$G(z)=\frac{uF(z)}{z(z-u)}.$$ Déduire de la question précédente que \begin{eqnarray*} \textrm{Res}(G,0)&=&0\\ \textrm{Res}(G,u)&=&F(u)\\ \textrm{Res}(G,k\pi)&=&\frac{u}{k\pi(k\pi-u)}. \end{eqnarray*}
  5. Pour $n\geq 1$, on note $r_n=\frac{\pi}2+n\pi$ et $C_n$ le (bord du) carré de sommets $\pm r_n\pm ir_n$. Justifier que, si $|u|<r_n$, $$\frac{1}{2i\pi}\int_{C_n}G(z)dz=F(u)-2\sum_{k=1}^n \frac{u}{u^2-k^2\pi^2}.$$
  6. Vérifier que, si on pose $z=x+iy$, alors $$|\textrm{cotan} z|^2=\frac{\cos^2 x+\sinh^2y}{\sin^2 x+\sinh^2 y}.$$
  7. En déduire l'existence d'une constante $C>0$ telle que, pour tout $n\geq 1$ et tout $z\in C_n$, $$|\textrm{cotan} z|\leq C.$$
  8. En déduire que $$\lim_{n\to+\infty}\int_{C_n}G(z)dz=0.$$
  9. Conclure.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $\alpha\in]0,1[$ et $0<\veps<1<R$. En appliquant le théorème des résidus au compact $K_{\veps,R}$ délimité par le demi-cercle $\{|z|=\veps,\ \Re e(z)\leq 0\}$, les deux segments $I_{\veps,R}^+=[i\veps,i\veps+\sqrt{R^2-\veps^2}]$, $I_{\veps,R}^+=[-i\veps,-i\veps+\sqrt{R^2-\veps^2}]$ et l'arc de cercle $\Gamma_{\veps,R}=\{Re^{i\theta};\ \theta\in[-\pi,\pi], |\theta|\geq\theta_{\veps,R}\}$, où $\theta_{\veps,R}=\arctan(\veps/\sqrt{R^2-\veps^2})$, démontrer que $$J_\alpha=\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{t^\alpha(1+t)}dt=\frac{\pi}{\sin(\pi\alpha)}.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Calculer l'intégrale suivante : $$I=\int_0^{+\infty}\frac{\ln^2(t)}{1+t^2}dt.$$
Indication
Corrigé