$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Grands théorèmes : principe du maximum, application ouverte,...

Application ouverte
Exercice 1 - Fonctions holomorphes à image petite [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\Omega$ un ouvert connexe de $\mathbb C$, $f$ une fonction holomorphe dans $\Omega$.
  1. On suppose que $|f|$ est constant dans $\Omega$. Que dire de $f$?
  2. On suppose que $f$ est à valeurs réelles. Que dire de $f$?
Indication
Corrigé
Principe du maximum
Exercice 2 - Quelques conséquences du principe du maximum [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ une fonction holomorphe dans $D(0,R)$, le disque de centre 0 et de rayon $R$. Pour $0\leq r\leq R$, on pose $$M_f(r)=\max_{|z|=r}|f(z)|.$$
  1. Montrer que $r\mapsto M_f(r)$ est une fonction croissante.
  2. Montrer que, si $f$ n'est pas constante, $r\mapsto M_f(r)$ est strictement croissante.
  3. On suppose que $f$ est un polynôme de degré $n$, et on pose $g(z)=z^nf(1/z)$. Quel est le lien entre $M_f(r)$ et $M_g(1/r)$? En déduire que la fonction $r\mapsto M_f(r)/r^n$ est strictement décroissante, sauf si $f$ est de la forme $a z^n$.
  4. On suppose de plus que $f$ est unitaire. Montrer que, si pour tout $z$ de module 1, $|f(z)|\leq 1$, alors $f(z)=z^n$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f$ une fonction holomorphe non constante sur l'ouvert connexe $\Omega$. On suppose que $|f|$ admet un minimum local sur $\Omega$. Démontrer que $f$ s'annule dans $\Omega$.
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Deux fonctions ayant le même module [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $f$ et $g$ deux fonctions holomorphes ne s'annulant pas dans un ouvert connexe $\Omega$ contenant le disque unité fermé. On suppose que $|f(z)|=|g(z)|$ pour $|z|=1$. Montrer qu'il existe $\lambda\in\mathbb C$ avec $|\lambda|=1$ tel que $f=\lambda g$ sur $\Omega$. La conclusion est-elle encore vraie si on ne suppose plus que $f$ et $g$ ne s'annule pas?
Indication
Corrigé
Exercice 5 - A valeurs réelles sur le bord [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\Omega$ un ouvert connexe de $\mathbb C$ contenant le disque unité fermé. On suppose que $f(z)\in\mathbb R$ si $|z|=1$. Montrer que $f$ est constante.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $U$ un ouvert de $\mathbb C$ contenant $a\in U$. Soit $(g_n)$ une suite de fonctions holomorphes sur $U$. Pour $n\geq 1$, $z\in U$, on pose $f_n(z)=(z-a)g_n(z)$. On suppose que la suite de fonctions $(f_n)$ converge uniformément vers 0 sur $U$. Montrer que la suite $(g_n)$ converge aussi uniformément sur $U$.
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Produit de Blaschke fini [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
L'objectif de l'exercice est de décrire les fonctions holomorphes sur le disque $D(0,1)$, continues sur $\overline{D(0,1)}$, et de module constant sur le cercle $C(0,1)$. On fixe $f$ une telle fonction.
  1. Soit $\Omega$ un ouvert connexe borné de $\mathbb C$, $h$ une fonction holomorphe dans $\Omega$, continue sur $\overline{\Omega}$, non constante, et telle que $|h|$ est constant sur la frontière de $\Omega$. Montrer que $h$ admet un zéro dans $\Omega$.
  2. En déduire que $f$ est constante, ou que $f$ admet une factorisation de la forme $$f(z)=(z-\alpha_1)^{m_1}\dots (z-\alpha_p)^{m_p}g(z)$$ où $p\geq 1$, $\alpha_1,\dots,\alpha_p\in D(0,1)$, $m_i>0$ et $g$ est holomorphe et sans zéros dans $D$. On supposera pour la suite que $f$ n'est pas constante.
  3. Soit $a\in D(0,1)$, et $\phi_a=\frac{z-a}{1-\bar a z}$. Montrer que $|\phi_a(z)|=1$ si $|z|=1$.
  4. Soit $h(z)=f(z)\prod_{i=1}^p \phi_{\alpha_i}(z)^{-m_i}$. Montrer que $h$ définit une fonction holomorphe sur $D(0,1)$ satisfaisant $|h(z)|=\textrm{Cste}$ si $|z|=1$. En déduire que $f(z)=C\prod_{i=1}^p \phi_{\alpha_i}^{m_i}(z)$ pour un $C\in\mathbb C$.
Indication
Corrigé
Théorème de Schwarz
Exercice 8 - Un théorème de Schwarz précisé... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ une fonction holomorphe sur le disque unité $D$. On suppose qu'il existe $k\geq 1$ tel que $f(0)=f'(0)=\dots=f^{(k-1)}(0)=0$ et $|f(z)|\leq M$ si $z\in D$.
  1. Montrer que la formule $g(z)=z^{-k}f(z)$ définit une fonction holomorphe sur $D$ vérifiant $|g(z)|\leq M$ pour tout $z\in D$.
  2. En déduire que $|f(z)|\leq M|z|^k$ pour tout $z\in D$. Que peut-on dire s'il existe $a\in D\backslash\{0\}$ tel que $|f(a)|=M|a|^k$?
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Théorème de Schwarz-Pick [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ une fonction holomorphe du disque unité ouvert $D$ dans lui-même. Pour $a\in D$, on considère l'homographie $$\phi_a:z\mapsto \frac{z-a}{1-\bar az}.$$
  1. Montrer que $\phi_a$ est une bijection de $\bar D$ dans lui-même. Quelle est sa réciproque?
  2. Calculer $\phi_a'(a)$.
  3. Quelle est l'image du point $0$ par $h=\phi_{f(a)}\circ f\circ (\phi_a)^{-1}$? En déduire que pour tout $z\in D$, on a $$\left|\frac{f(z)-f(a)}{1-\overline{f(a)}f(z)}\right|\leq \left|\frac{z-a}{1-\bar a z}\right|$$ puis $$|f'(a)|\leq \frac{1-|f(a)|^2}{1-|a|^2}.$$
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Théorème des trois cercles d'Hadamard [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ une fonction holomorphe dans un ouvert $U$ contenant la couronne $C=\{z\in\mathbb C;\ r\leq |z|\leq R\}$, où $r<R$ sont deux réels strictement positifs. Pour $\rho\in [r,R]$, on note $$M(\rho)=\sup\{|f(z)|;\ |z|=\rho\}.$$ Pour la suite de l'exercice, on fixe $\rho\in[r,R]$.
  1. Montrer qu'il existe $\theta\in[0,1]$ tel que $\rho=r^\theta R^{1-\theta}$.
  2. Montrer que, pour tous $p,q\in\mathbb Z$, $q>0$, alors $$\rho^p M(\rho)^q \leq \max\big(r^p M(r)^q,R^p M(R)^q\big).$$
  3. En déduire que pour tout $\alpha\in\mathbb R$, on a $$\rho^\alpha M(\rho)\leq \max\big(r^\alpha M(r),R^\alpha M(R)\big).$$
  4. En déduire que $M(\rho)\leq M(r)^{\theta}M(R)^{1-\theta}$.
  5. Interpréter en termes de fonctions convexes.
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Automorphismes du disque [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Le but de l'exercice est de déterminer les automorphismes du disque unité $D=D(0,1)$, c'est-à-dire les bijections biholomorphes $\phi:D\to D$. Pour $\lambda\in\mathbb C$ de module 1 et $a\in D$, on pose $$\phi_{\lambda,a}(z)=\lambda \frac{z-a}{1-\bar az}.$$
  1. Prouver que $\phi_{\lambda,a}$ est un automorphisme de $D$.
  2. Soit $\phi$ un automorphisme de $D$ tel que $\phi(0)=0$. Montrer qu'il existe $\lambda$ de module 1 tel que $\phi(z)=\lambda z$.
  3. Soit $\phi$ un automorphisme du disque unité et soit $a=\phi(0)$. Montrer que $\phi=\phi_{\lambda,a}$ pour un certain $\lambda$ de module 1.
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Inégalité de Borel-Carathéodory [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ une fonction entière vérifiant $f(0)=0$. Soit $R>0$ et $M>\sup\{\Re e(f(z));\ |z|\leq 2R\}$. Pour $u\in D=D(0,1)$, on définit $g(u)=\frac{f(2Ru)}{2M-f(2Ru)}$.
  1. Montrer que, pour tout $w\in\mathbb C$ avec $\Re e(w)<M$, on a $|w|<|2M-w|$.
  2. En déduire que $g$ est bien définie sur $D$ et que, pour tout $u\in D$, $|g(u)|\leq |u|$.
  3. Conclure que $$\sup\{|f(z)|;\ |z|\leq R\}\leq 2\sup\{\Re e(f(z));\ |z|\leq 2R\}.$$
Indication
Corrigé