$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Conditions de Cauchy-Riemann

Exercice 1 - $\mathbb R$-différentiable [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $z=x+iy$, on pose $f(z)=x+iy^2$.
  1. Prouver que $f$ est $\mathbb R$-différentiable sur $\mathbb C$. Déterminer la différentielle de $f$.
  2. En quels points $f$ est-elle $\mathbb C$-différentiable? Existe-t-il un ouvert non vide $U$ de $\mathbb C$ tel que la restriction de $f$ à $U$ soit holomorphe sur $U$?
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Parties réelles et imaginaires harmoniques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f=u+iv$ une fonction holomorphe dans un ouvert $\Omega$. Montrer que $u$ et $v$ sont harmoniques, c'est-à-dire que $$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $U$ un ouvert de $\mathbb C$ et $f$ une fonction holomorphe sur $U$. Soit $V=\{z\in\mathbb C;\ \bar z\in U\}$. On pose, pour $z\in V$, $g(z)=\overline{f(\bar z)}$. Montrer que $g$ est holomorphe sur $V$.
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Fonctions holomorphes à valeurs réelles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\Omega$ un ouvert connexe et $f$ une fonction holomorphe dans $\Omega$. On écrit $f=u+iv$, où $u$ et $v$ sont à valeurs réelles. Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes :
  1. $f$ est constante;
  2. $u$ est constante;
  3. $v$ est constante;
  4. $\bar f$ est holomorphe;
  5. $|f|$ est constante.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $a,b,c\in\mathbb R$. Pour $z=x+iy$, on pose $$P(z)=ax^2+2bxy+cy^2.$$ Donner une condition nécessaire et suffisante sur $a,b,c$ pour qu'il existe une fonction holomorphe $f$ sur $\mathbb C$ vérifiant $\Re e(f)=P$. Lorsque cette condition est remplie, déterminer toutes les fonctions $f$ solution.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f=u+iv$ une fonction holomorphe dans un ouvert $\Omega$. Montre que les familles de courbes $u(x,y)=\textrm{constante}$ et $v(x,y)=\textrm{constante}$ sont orthogonales. Plus précisément, montrer qu'en tout point $z_0=x_0+iy_0$ de deux de ces courbes tel que $f'(z_0)\neq 0$, leurs tangentes respectives sont perpendiculaires.
Indication
Corrigé
Enoncé
Dans cet exercice, on identifie $\mathbb R^2$ et $\mathbb C$ via l'application $(x,y)\mapsto x+iy$. Soit $\Omega$ un ouvert de $\mathbb C$ et $f\in C^1(\Omega)$ à valeurs dans $\mathbb C$. On note $$\frac{\partial f}{\partial z}=\frac12\left(\frac{\partial f}{\partial x}-i\frac{\partial f}{\partial y}\right) \textrm{ et }\frac{\partial f}{\partial \bar z}=\frac12\left(\frac{\partial f}{\partial x}+i\frac{\partial f}{\partial y}\right).$$
  1. Montrer que $$\frac{\partial \bar f}{\partial \bar z}=\overline{\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}.$$
  2. Montrer que $f$ est holomorphe si et seulement si $\frac{\partial f}{\partial \bar z}=0$. Montrer que dans ce cas, $f'(z)=\frac{\partial f}{\partial z}(z)$.
  3. On dit que $f$ est antiholomorphe si $\bar f$ est holomorphe. Montrer que $f$ est antiholomorphe si et seulement si $\frac{\partial f}{\partial z}=0$.
  4. Soit $f$ de classe $C^2$. Montrer que $\Delta f=4\frac{\partial ^2 f}{\partial z\partial \bar z}$.
  5. On suppose que $f$ est une fonction holomorphe. Montrer que $$\Delta |f|^2=4|f'(z)|^2.$$
  6. On considère $f_1,\dots,f_p$ des fonctions holomorphes dans un ouvert connexe $\Omega$. On suppose que $|f_1|^2+\dots+|f_p|^2$ est constante. Montrer que chaque fonction $f_j$ est constante.
Indication
Corrigé