$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Fonctions à valeurs vectorielles

Enoncé
Soit $I$ un intervalle, $E$ un espace vectoriel euclidien et $f:I\to E$ dérivable. On suppose de plus que $f$ ne s'annule pas et on pose, pour tout $t\in I$, $g(t)=\|f(t)\|$. Démontrer que $g$ est dérivable et donner $g'$.
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Inégalité des accroissements finis pour un espace euclidien [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel euclidien et $f:[a,b]\to E$ continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $]a,b[$. En considérant $\phi(t)=\langle f(b)-f(a),f(t)\rangle$, démontrer qu'il existe $c\in ]a,b[$ tel que $$\|f(b)-f(a)\|\leq (b-a)\|f'(c)\|.$$
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Inégalité des accroissements finis vectorielle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé de dimension finie, $f:[a,b]\to E$ et $g:[a,b]\to\mathbb R$. On suppose que $f$ et $g$ sont dérivables sur $[a,b]$ et que pour tout $t\in [a,b]$, $\|f'(t)\|\leq g'(t)$. Soit $\veps>0$ et $$A_\veps=\{x\in [a,b];\ \forall t\in [a,x],\ \|f(t)-f(a)\|\leq g(t)-g(a)+\veps(t-a)\}.$$
  1. Justifier que $A_\veps$ admet une borne supérieure, puis que $\sup(A_\veps)\in A_\veps$.
  2. Démontrer que $\sup A_\veps=b$.
  3. En déduire que $\|f(b)-f(a)\|\leq g(b)-g(a)$.
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Majoration d'une intégrale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[a,b]\to E$ de classe $\mathcal C^1$ telle que $f(a)=0$. Démontrer que $$\left\| \int_a^b f(t)dt\right\|\leq \frac{(b-a)^2}2\sup_{t\in [a,b]}\|f'(t)\|.$$
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Norme d'une intégrale égale à l'intégrale de la nome [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel euclidien et $f:[a,b]\to E$ continue. On suppose que $$\int_a^b \|f(t)\|dt=\left\|\int_a^b f(t)dt\right\|.$$ On note $u$ le vecteur unitaire de $E$ défini par $$u=\frac{\int_a^b f(t)dt}{\int_a^b \|f(t)\|dt}.$$ Pour tout $t\in [a,b]$, on décompose $f(t)$ dans la somme directe $\mathbb Ru\oplus^\perp(\mathbb Ru)^\perp$ sous la forme $f(t)=\alpha (t)u+v(t)$.
  1. Démontrer que $\alpha$ et $v$ sont continues sur $[a,b]$.
  2. Démontrer que $\int_a^b v(t)dt$ est orthogonal à $u$.
  3. Démontrer que $\int_a^b \alpha(t)dt=\int_a^b \|f(t)\|dt$.
  4. Démontrer que, pour tout $t\in [a,b]$, $\alpha(t)\leq \|f(t)\|$.
  5. En déduire que, pour tout $t\in [a,b]$, $f(t)=\|f(t)\|v$.
  6. Le résultat subsiste-t-il si on suppose pas que $E$ est euclidien?
Indication
Corrigé
Exercice 6 - Théorème du relèvement [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f\in\mathcal C^k(I,\mathbb C)$, où $I$ est un intervalle de $\mathbb R$, telle que $|f(t)|=1$ pour tout $t\in I$. On souhaite prouver l'existence de $\alpha\in\mathcal C^k(I,\mathbb R)$ telle que, pour tout $t\in I$, on ait $$f(t)=e^{i\alpha(t)}.$$
  1. Montrer que si $\alpha_1$ et $\alpha_2$ sont deux solutions du problème, alors il existe $k\in\mathbb Z$ tel que, pour tout $t\in I$, $\alpha_1(t)=\alpha_2(t)+k2\pi$.
  2. Soit $t_0\in I$ et $\alpha_0$ un argument de $f(t_0)$. En considérant $$\alpha(t)=\alpha_0+\frac 1i\int_{t_0}^t \frac{f'(x)}{f(x)}dx$$ démontrer que le problème admet bien une solution.
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Inégalités de Kolmogorov [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to E$ de classe $\mathcal C^2$. On suppose que $f$ et $f''$ sont bornées.
  1. Soit $x\in\mathbb R$ et $h>0$. Démontrer que $$\|f'(x)\|\leq\frac{2\|f\|_\infty}h+\frac{h\|f''\|_\infty}2.$$
  2. En déduire que $$\|f'\|_\infty\leq 2\sqrt{M_0M_2}.$$
Indication
Corrigé