$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Continuité uniforme

Exercice 1 - Manipuler la définition [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$. Écrire, avec des quantificateurs, que $f$ n'est pas uniformément continue.
Corrigé
Exercice 2 - Sont-elles uniformément continues? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ une fonction uniformément continue sur une partie $D$ de $\mathbb R$. Soient $(x_n)$ et $(y_n)$ deux suites d'éléments de $D$ telles que $\lim_{n\to+\infty}(x_n-y_n)=0$.
  1. Démontrer que $\lim_{n\to+\infty}(f(x_n)-f(y_n))=0$.
  2. Dire si les fonctions suivantes sont uniformément continues sur l'intervalle considéré.
    1. $f(x)=1/x$ sur $[1,+\infty[$.
    2. $f(x)=1/x$ sur $]0,1]$.
    3. $f(x)=\sin(x^2)$ sur $\mathbb R$.
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Fonctions continues périodiques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ une fonction continue sur $\mtr$ admettant une période $T$. Prouver que $f$ est uniformément continue.
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Avec une limite à l'infini [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R_+\to\mathbb R$ une fonction continue admettant une limite (finie) en $+\infty$. Montrer que $f$ est uniformément continue.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f:I\to\mathbb R$ et $g:\mathbb R\to\mathbb R$.
  1. On suppose que $f$ et $g$ sont uniformémement continues. Montrer que $g\circ f$ est uniformément continue.
  2. On suppose que $f$ est uniformément continue et bornée et que $g$ est continue. Démontrer que $g\circ f$ est uniformément continue.
Indication
Corrigé
Exercice 6 - Tend vers $+\infty$ sur les entiers [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une application uniformément continue telle que la suite $(f(n))_{n\in\mathbb N}$ tende vers $+\infty$. Montrer que $\lim_{+\infty}f=+\infty$. Le résultat subsiste-t-il si on suppose simplement que $f$ est continue?
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f:]0,1[\to\mathbb R$ une fonction uniformément continue. Montrer que $f$ est bornée. Que dire de la réciproque?
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Majorée par une fonction affine - avec détails [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $F:[0,+\infty[\to\mathbb R$ une application uniformément continue. On se propose de démontrer qu'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $x\in[0,+\infty[$, on ait $F(x)\leq ax+b$. Pour cela, on commence par fixer $\eta_1>0$ tel que $$\forall (x,y)\in([0,+\infty[)^2,\ \big(|x-y|<\eta_1\implies |F(x)-F(y)|\leq 1\big).$$ On fixe également $x_0\in[0,+\infty[$.
  1. Soit $n_0$ le plus petit entier tel que $\frac{x_0}{n_0}\leq \eta_1$; justifier l'existence de $n_0$ et démontrer que $n_0\leq \frac{x_0}{\eta_1}+1$.
  2. Montrer que $$|F(x)-F(x_0)|\leq \sum_{k=0}^{n_0-1}\left|F\left(\frac{(k+1)x_0}{n_0}\right)-F\left(\frac{kx_0}n\right)\right|.$$
  3. Conclure.
  4. La fonction exponentielle est-elle uniformément continue sur $[0,+\infty[$?
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Majorée par une fonction affine [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[0,+\infty[\to\mathbb R$ une fonction uniformément continue. Montrer qu'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que $|f(x)|\leq ax+b$ pour tout $x\geq 0$.
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Une fonction étonnament lipschitzienne [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $f,g:[a,b]\to\mathbb R$ deux fonctions continues. Pour $t\in\mathbb R$, on pose $$h(t)=\sup\{f(x)+tg(x);\ x\in[a,b]\}.$$ Montrer que $h$ est lipschitzienne.
Indication
Corrigé