$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Formules de Taylor

Inégalité de Taylor-Lagrange
Enoncé
    1. Soit $a>0$. Démontrer que $$\left|\cos a-1+\frac{a^2}{2!}-\frac{a^4}{4!}\right|\leq \frac{a^5}{5!}.$$
    2. En déduire que $$\frac{337}{384}-\frac{1}{3840}\leq\cos(1/2)\leq\frac{337}{384}+\frac{1}{3840}.$$
  1. Soit $x$ un réel strictement positif. Démontrer que : $$\left|\ln(1+x)-x+\frac{x^2}{2}\right|\leq\frac{x^3}{3}.$$ En déduire une valeur approchée de $\ln(1,003)$ à $10^{-8}$ près.
Indication
Corrigé
Enoncé
  1. Soit $(u_n)$ la suite définie par $$u_n=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\dots+\frac{1}{n!}.$$ Démontrer que $(u_n)$ converge vers $\exp(1)$.
  2. On considère la suite $(u_n)$ définie par $$u_n=1-\frac12+\frac13+\dots+\frac{(-1)^{n-1}}{n}.$$ Montrer que cette suite converge vers $\ln(2)$.
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Inégalités de Kolmogorov [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ une fonction définie sur $\mtr$, de classe $C^2$. On suppose que $f$ et $f''$ sont bornées, et l'on pose : $$M_0=\sup_{x\in\mtr}|f(x)|,\ \ M_2=\sup_{x\in\mtr}|f''(x)|$$ ($M_0$ et $M_2$ sont donc des nombres réels tels que, pour tout $x$ réel, on a $|f(x)|\leq M_0$ et $|f''(x)|\leq M_2$). Le but de cet exercice est de prouver que $f'$ est bornée, et de majorer $M_1=\sup_{x\in\mtr}|f'(x)|$ en fonction de $M_0$ et $M_2$. Soit $x\in\mtr$, et $h>0$.
  1. Appliquer l'inégalité de Taylor-Lagrange à $f$ entre $x$ et $x+h$ à l'ordre 2.
  2. En déduire l'inégalité : $$|f'(x)|\leq \frac{2M_0}{h}+\frac{hM_2}{2}.$$ En particulier, si on choisit $h=1$, on obtient $|f'(x)|\leq 2M_0+\frac{M_2}{2}$ pour tout $x$ de $\mtr$, ce qui prouve que $f'$ est bornée, avec $M_1\leq 2M_0+\frac{M_2}{2}.$ On se propose de trouver une meilleure majoration :
  3. Etudier la fonction $h\mapsto \frac{2M_0}{h}+\frac{hM_2}{2}$ sur $]0,+\infty[$.
  4. En déduire $M_1\leq 2\sqrt{M_0M_2}.$
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Contrôle des dérivées [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ de classe $C^\infty$ et $\lambda>0$ vérifiant : $$\left\{ \begin{array}{c} f^{(n)}(0)=0\textrm{ pour tout entier }n\geq 0\\ \sup_{\mathbb R}|f^{(n)}|\leq \lambda^nn! \end{array}\right.$$
  1. Montrer que $f=0$ sur l'intervalle $\left]-\frac1\lambda,\frac1\lambda\right[$.
  2. Montrer que $f=0$ sur $\mathbb R$.
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Dérivées majorées par un polynôme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction de classe $C^\infty$ vérifiant la propriété suivante : il existe un polynôme $P$ de degré impair tel que, pour tout $n\geq 0$, pour tout $x\in\mathbb R$, $$|f^{(n)}(x)|\leq |P(x)|.$$
  1. Montrer qu'il existe $a\in\mathbb R$ tel que $f^{(n)}(a)=0$ pour tout $n\geq 0$.
  2. En déduire que $f$ est identiquement nulle.
  3. Le résultat subsiste-t-il si on suppose que $P$ est de degré pair?
Indication
Corrigé
Exercice 6 - La dérivée seconde doit être grande [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[0,1]\to\mathbb R$ de classe $C^2$ vérifiant $f(0)=f'(0)=f'(1)=0$ et $f(1)=1$. Montrer qu'il existe $c\in[0,1]$ tel que $|f''(c)|\geq 4.$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction de classe $C^2$ sur $[a,b]$ vérifant $f(a)<0$, $f(b)>0$, $f'>0$ et $f''>0$.
  1. Démontrer qu'il existe un unique $\gamma\in]a,b[$ tel que $f(\gamma)=0$.
  2. On pose $x_0=b$. Déterminer l'abscisse $x_1$ du point d'intersection de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $x_0$ avec l'axe des abscisses. Justifier que $x_1\in[\gamma,b]$.
  3. On réitère le procédé et on construit ainsi une suite $(x_n)$ vérifiant la relation de récurrence $x_{n+1}=\varphi(x_n)$ avec $\varphi(x)=x-\frac{f(x)}{f'(x)}$. Démontrer que la suite $(x_n)$ converge vers $\gamma$.
  4. On souhaite estimer la vitesse de convergence de $(x_n)$ vers $\gamma$.
    1. Justifier que, pour tout $x\in[a,b]$, on a $$\left|f(\gamma)-f(x)-f'(x)(\gamma-x)\right|\leq\frac{\max_{[a,b]}|f''|}{2}|x-\gamma|^2.$$
    2. En déduire que $$|x_{n+1}-\gamma|\leq k|x_n-\gamma|^2\textrm{ avec }k=\frac12\frac{\max_{[a,b]} |f''|}{\min_{[a,b]}|f'|}.$$
  5. Démontrer que, pour tout $n\geq 0$, on a : $k|x_n-\gamma|\leq \left(k|x_0-\gamma|\right)^{2^n}$.
  6. Application numérique : montrer que la fonction $f$ définie par $f(x)=x^2-3$ vérifie les conditions d'application des résultats précédents avec $a=1,7$ et $b=1,8$. En déduire une méthode pour calculer une valeur approchée de $\sqrt 3$ à $10^{-20}$ près. Qu'en pensez-vous?
Indication
Corrigé
Formule de Taylor reste intégral
Enoncé
En appliquant la formule de Taylor avec reste intégral à la fonction $x\mapsto \ln(1+x^2)$, prouver que : $$\int_0^1\frac{(1+t)(1-t)^2}{(1+t^2)^2}dt=\frac{\ln 2}{2}.$$
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Égalité de Taylor-Lagrange [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $a<b$ deux réels.
  1. Soit $g:[a,b]\to\mathbb R$ continue et $n\geq 1$. On note $m=\min_{[a,b]}g$ et $M=\max_{[a,b]}g$.
    1. Démontrer que $$\frac{m(b-a)^{n}}n \leq \int_a^b (b-t)^{n-1} g(t)dt\leq \frac{M(b-a)^{n}}n.$$
    2. En déduire qu'il existe $c\in [a,b]$ tel que $$\int_a^b (b-t)^{n-1} g(t)dt=\frac{(b-a)^{n}g(c)}n.$$
  2. Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ de classe $C^n$. Démontrer qu'il existe $c\in[a,b]$ tel que $$f(b)=\sum_{k=0}^{n-1} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k +\frac{(b-a)^nf^{(n)}(c)}{n!}.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Démontrer que pour tout $x\in[0;+\infty[$ : $$1-\frac x3+\frac{2x^2}9-\frac{14x^3}{81}\leq\frac1{\sqrt[3]{1+x}}\leq 1-\frac x3+\frac{2x^2}9.$$
Indication
Corrigé
Formule de Taylor-Young
Exercice 11 - Limite un peu théorique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ définie sur un intervalle ouvert contenant $x$ et de classe $C^2$ sur cet intervalle. Calculer $$\lim_{h\to 0}\frac{f(x-h)-2f(x)+f(x+h)}{h^2}.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ de classe $C^2$. Déterminer $$\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)-\frac{f(x)-f(0)}x}x.$$
Indication
Corrigé
Exercice 13 - Dérivée d'une racine carrée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R_+$ une fonction de classe $C^2$.
  1. Soit $x_0\in\mathbb R$ tel que $f(x_0)=0$. Que dire de $f'(x_0)$? de $f''(x_0)$?
  2. Démontrer que $\sqrt f$ est dérivable sur $\mathbb R$ si et seulement si, pour tout $x_0\in\mathbb R$ tel que $f(x_0)=0$, alors $f''(x_0)=0$.
Indication
Corrigé