$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Limite de fonctions - Continuité

Limites en un point - aspect pratique
Enoncé
Étudier les limites suivantes : $$\begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf 1.\ \frac{1}{1-x}-\frac{2}{1-x^2}\textrm{ en 1}&&\displaystyle \mathbf 2.\frac{\sqrt x-1}{x-1}\textrm{ en 1}\\ \displaystyle \mathbf 3.\ \frac{x^3+x+5}{5x^3+7x^2+8}\textrm{ en }+\infty&& \displaystyle \mathbf 4.\ \sqrt{x^2+2x}-x\textrm{ en }+\infty\\ \displaystyle \mathbf 5.\ x^5e^{-x^2}\textrm{ en }+\infty&&\displaystyle \mathbf 6.\ \frac{x+\cos x}{x+\sin x}\textrm{ en }+\infty\\ \displaystyle \mathbf 7.\ \frac{x\ln x+7}{x^2+4}\textrm{ en }+\infty&&\displaystyle \mathbf 8. \frac{4\sin^2 x+3\cos(5x)}{x}\textrm{ en }+\infty. \end{array}$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Étudier les limites suivantes : $$\begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf 1.\ \frac{e^{3x}+2x+7}{e^x+e^{-x}}\textrm{ en }+\infty&&\displaystyle \mathbf 2.\ \frac{\sqrt{1+x}-\left(1+\frac x2\right)}{x^2}\textrm{ en }0\\ \displaystyle \mathbf 3.\ \frac{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt x}}}{\sqrt{x+1}}\textrm{ en }+\infty&& \displaystyle \mathbf 4. \frac{\sqrt{2x^2+5x+9}-3}{x}\textrm{ en }0. \end{array}$$
Corrigé
Enoncé
En utilisant la définition $(\veps,\delta)$, étudier la limite de la fonction $x^3$ en $1$.
Corrigé
Exercice 4 - Avec la partie entière [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Étudier les limites à droite en 0 des fonctions suivantes : $$f:x\mapsto \left\lfloor\frac 1x\right\rfloor,\ g:x\mapsto x\left\lfloor\frac 1x\right\rfloor,\ h:x\mapsto x^2\left\lfloor\frac 1x\right\rfloor.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb R$ par $$g(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac1{\ln |x|}&\textrm{ si }x\notin\{0,-1,1\}\\ 0&\textrm{ si }x=0,-1,1 \end{array}\right.$$ En quels points $g$ est-elle continue?
Corrigé
Exercice 6 - Avec la partie entière [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ définie par $f(x)=\lfloor x\rfloor +\sqrt{x-\lfloor x\rfloor }$. Étudier la continuité de $f$ sur $\mathbb R$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs. Étudier et déterminer, si elles existent, les limites en $0$ des fonctions $f:x\mapsto \frac xa \left\lfloor \frac bx\right\rfloor $ et $g:x\mapsto \left\lfloor \frac xa\right\rfloor \frac bx$.
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Prolongeable par continuité? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Dire si les fonctions suivantes sont prolongeables par continuité à $\mathbb R$ tout entier :
  1. $f(x)=\sin(x)\sin(1/x)$ si $x\neq 0$;
  2. $g(x)=\cos(x)\cos(1/x)$ si $x\neq 0$;
  3. $h(x)=\sin(x+1)\ln|1+x|$ si $x\neq -1$.
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Indicatrice de $\mathbb Q$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ la fonction définie par $$f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 1&\textrm{si }x\in\mathbb Q\\ 0&\textrm{si }x\notin \mathbb Q. \end{array}\right.$$ Montrer que $f$ est discontinue en tout point.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to \mathbb R$ la fonction définie par $$f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 0&\textrm{si $x$ est irrationnel ou $x=0$.}\\ \frac{1}{q}&\textrm{si $x=p/q$, avec $p\wedge q=1$ et $q\geq 1$}\\ \end{array}\right.$$ En quels points $f$ est-elle continue?
Indication
Corrigé
Limites en un point - aspect théorique
Exercice 11 - Bien comprendre la définition [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Écrire, à l'aide de quantificateurs, la proposition suivante : $f$ ne tend pas vers $+\infty$ en $+\infty$.
  2. Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$. On suppose que $f$ admet une limite $\ell$ en $+\infty$, avec $\ell>0$. Démontrer qu'il existe un réel $A>0$ tel que, pour tout $x\geq A$, $f(x)>0$.
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Limite en l'infini et parité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction paire. On suppose que $f$ admet $\ell$ pour limite en $+\infty$. Démontrer que $f$ admet pour limite $\ell$ en $-\infty$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Démontrer que si une fonction $f:\mathbb R\to\mathbb R$ est continue en $x_0$, alors $|f|$ est continue en $x_0$. Démontrer que la réciproque est fausse.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $f,g:\mathbb R\to\mathbb R$ deux fonctions continues. Montrer que $\inf(f,g)$ et $\sup(f,g)$ sont continues.
Indication
Corrigé
Exercice 15 - Fonction périodique ayant une limite en $+\infty$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ périodique et admettant une limite finie $l$ en $+\infty$. Montrer que $f$ est constante.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f:I\to\mathbb R$ une fonction monotone. Montrer que l'ensemble de ses points de discontinuité est fini ou dénombrable.
Indication
Corrigé
Prolongements d'identité
Exercice 17 - Prolongement d'identités [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $f,g:\mathbb R\to\mathbb R$ continues.
  1. On suppose que, pour tout $x\in\mathbb Q$, on a $f(x)<g(x)$.
    1. Montrer que $f(x)\leq g(x)$ pour tout $x\in\mathbb R$.
    2. Montrer que l'on n'a pas nécessairement une inégalité stricte dans la question précédente.
  2. On suppose désormais que, pour tous $x,y\in\mathbb Q$ avec $x<y$, on a $f(x)<f(y)$. Montrer que $f$ est strictement croissante.
Indication
Corrigé
Exercice 18 - Équation fonctionnelle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ une application de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ continue en 0, et vérifiant $f(2x)=f(x)$ pour tout réel $x$. Montrer que $f$ est constante. Comment généraliser ce résultat si $f$ vérifie $f(ax+b)=f(x)$ pour des réels $a$ et $b$ donnés avec $|a|\neq 1$?
Indication
Corrigé
Exercice 19 - Équation fonctionnelle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ continue telle que, $$\forall (x,y)\in\mathbb R^2,\ f(x+y)=f(x)+f(y).$$
  1. Démontrer que, pour tout $n\geq 1$ et tout $x\in\mathbb R$, $f(nx)=nf(x)$.
  2. Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb Z$ et tout $x\in\mathbb R$, $f(nx)=nf(x)$.
  3. Démontrer que pour tout nombre rationnel $r=\frac{p}q$ et pour tout $x\in\mathbb R$, on a $$f\left(\frac pq x\right)=\frac pqf(x)$$ (on pourra écrire $p=q\times\frac pq$).
  4. Conclure qu'il existe $a\in\mathbb R$ tel que, pour tout $x\in\mathbb R$, $f(x)=ax$.
Corrigé
Exercice 20 - Une équation fonctionnelle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction continue telle que $$\forall x,y\in\mathbb R,\ f\left(\frac{x+y}2\right)=\frac{1}{2}\big(f(x)+f(y)\big).$$
  1. Vérifier que les fonctions affines sont solutions de cette équation.
  2. Dans cette question, on cherche à déterminer les fonctions qui sont solutions de l'équation et qui s'annulent en 0 et en 1.
    1. Démontrer que, pour tout entier $p\in\mathbb N$, on a $f( p)=0$.
    2. Démontrer que, pour tout entier $p\in\mathbb Z$, on a $f( p)=0$.
    3. Démontrer que, pour tout $p\in\mathbb Z$ et tout $n\in\mathbb N$, on a $f\left(\frac p{2^n}\right)=0$.
    4. Soit $x\in\mathbb Z$. Pour $n\in\mathbb N$, on pose $x_n=\frac{\lfloor 2^n x\rfloor}{2^n}$. Démontrer que $(x_n)$ converge vers $x$.
    5. En déduire que $f$ est identiquement nulle.
  3. Dans le cas général, démontrer que $f$ est une fonction affine.
Indication
Corrigé
Théorème des valeurs intermédiaires
Enoncé
Les propositions suivantes sont elles vraies ou fausses :
  1. L'image par une fonction continue d'un intervalle ouvert est un intervalle ouvert.
  2. L'image par une fonction continue d'un intervalle fermé est un intervalle fermé.
  3. L'image par une fonction continue d'une partie bornée est une partie bornée.
  4. L'image réciproque par une fonction continue d'un intervalle est un intervalle.
Indication
Corrigé
Enoncé
Montrer que l'équation $x^3+x^2-4x+1=0$ admet au moins trois solutions distinctes dans $\mathbb R$. En utilisant l'algorithme de dichotomie, donner un encadrement d'amplitude inférieur à $10^{-1}$ de chacune de ces racines.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ continue telle que, pour tout $x\in\mathbb R$, on a $f(x)^2=1$. Démontrer que $f=1$ ou $f=-1$.
Indication
Corrigé
Exercice 24 - Nombre fini de valeurs [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Que dire d'une fonction $f:I\to\mathbb R$, où $I$ est un intervalle, continue, et ne prenant qu'un nombre fini de valeurs?
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f:[a,b]\to \mathbb R$ une fonction continue, et soient $p,q$ deux réels strictement positifs. Démontrer qu'il existe $c\in[a,b]$ tel que $pf(a)+qf(b)=(p+q)f(c).$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f:[0,1]\to[0,1]$ une fonction continue. Démontrer que $f$ admet toujours au moins un point fixe.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f:\mathbb R_+\to \mathbb R_+$ continue. On suppose que $x\mapsto \frac{f(x)}x$ admet une limite finie $l<1$ en $+\infty$. Démontrer que $f$ admet un point fixe.
Indication
Corrigé
Enoncé
Un cycliste parcourt 30 km en une heure. Démontrer qu'il existe un intervalle de temps de 10 minutes tel que le cycliste a parcouru 5 km. Existe-t-il toujours un intervalle de temps de 40 minutes durant lequel il aura parcouru 20km?
Indication
Corrigé
Exercice 29 - Limite de la valeur absolue [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ une fonction continue de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$. On suppose que $|f|$ admet une limite en $+\infty$. Prouver que $f$ admet également une limite en $+\infty$.
Indication
Corrigé
Exercice 30 - Une drôle de propriété! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ une fonction continue sur un segment $[a,b]$. On suppose que $f$ vérifie la propriété suivante : pour tous les points $c<d$ de l'intervalle, il existe $e$ compris entre $c$ et $d$ tel que $f(e)=f(a)$ ou $f(e)=f(b)$. Montrer que $f$ est constante.
Indication
Corrigé
Exercice 31 - Non continue et vérifie pourtant la propriété des valeurs intermédiaires [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par $$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0&\textrm{si }x=0\\ \sin\left(\frac 1x\right)&\textrm{sinon.} \end{array} \right.$$ Démontrer que la fonction $f$ n'est pas continue en 0, mais qu'elle vérifie la propriété des valeurs intermédiaires (c'est-à-dire que pour tous $a<b$ de $\mathbb R$ et tout réel $\lambda$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, on peut trouver $c\in[a,b]$ tel que $f(c)=\lambda$).
Indication
Corrigé
Exercice 32 - Valeurs intermédiaires? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ une fonction continue sur $[0,1]$, à valeurs dans $\mathbb R$, et telle que $f(0)=f(1)$.
  1. Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, il existe $c_n\in\left[0,1-\frac 1n \right]$ tel que $$f(c_n)=f\left(c_n+\frac 1n\right).$$
  2. Montrer que si l'on remplace $1/n$ par un réel $\alpha\in]0,1[$ tel que $1/\alpha$ n'est pas un entier, le résultat précédent n'est plus vrai. On pourra considérer la fonction $f$ définie sur $[0,1]$ par $$f(x)=\cos\left(\frac{2\pi x}\alpha\right)-x\left(\cos\left(\frac{2\pi}{\alpha}\right)-1\right).$$
Indication
Corrigé
Fonctions continues bornées
Enoncé
Soit $f,g:[a,b]\to\mathbb R$ continues telles que $f(x)>g(x)$ pour tout $x\in[a,b]$.
  1. Montrer qu'il existe $\delta>0$ tel que $f(x)\geq g(x)+\delta$ pour tout $x\in[a,b]$.
  2. On suppose de plus que $g(x)>0$ pour tout $x\in[a,b]$. Montrer qu'il existe $k>1$ tel que $f(x)\geq kg(x)$ pour tout $x\in[a,b]$.
Indication
Corrigé
Exercice 34 - Avec une limite en l'infini [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[0,+\infty[\to\mathbb R$ continue admettant une limite (finie) en $+\infty$. Montrer que $f$ est bornée sur $[0,+\infty[$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction continue telle que $\lim_{-\infty}f=\lim_{+\infty}f=+\infty$. Démontrer que $f$ admet un minimum sur $\mathbb R$.
Indication
Corrigé
Fonctions continues injectives - fonctions réciproques
Exercice 36 - Fonction réciproque et parité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer que la fonction réciproque d'une fonction impaire bijective $f:\mathbb R\to\mathbb R$ est impaire. Que dire pour une fonction paire?
Indication
Corrigé
Exercice 37 - Symétrie par rapport à la première bissectrice [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ dont la courbe représentative $\mathbf C$ est symétrique par rapport à la première bissectrice du repère.
  1. Démontrer que pour tout $x\in\mathbb R$, on a $f(f(x))=x$.
  2. Démontrer que si $\mathbf C$ n'est pas la première bissectrice du repère, alors $f$ n'est pas croissante.
  3. En déduire, si on suppose de plus que $f$ est continue, qu'elle est strictement décroissante.
  4. Donner un exemple de fonction non décroissante dont la courbe représentative $\mathbf C$ est symétrique par rapport à la première bissectrice (sans être celle-ci).
Indication
Corrigé