Exercices corrigés - Généralités sur les fonctions : ensembles de définition, fonctions paires, impaires
Ensembles de définition
Enoncé
Donner les ensembles de définition des fonctions suivantes :
$$\begin{array}{lll}
\mathbf{1.}\ \sqrt{2x^2-12x+18} &\quad&\mathbf{2.}\ \ln(x^2+4x+4)\\
\mathbf{3.} \sqrt{\frac{8-16x}{(7+x)^2}}&\quad&\mathbf{4.} \ln(3-x)+\frac{\sqrt{x-1}}{x-2}.
\end{array}$$
Fonctions paires et impaires
Enoncé
Soit $f,g:\mathbb R\to\mathbb R$ des fonctions impaires. Que dire de la parité de $f+g$, $f\times g$ et $f\circ g$?
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction paire. On suppose que la restriction de $f$ à $\mathbb R_-$ est croissante. Que dire de la monotonie de la restriction de $f$ à $\mathbb R_+$.
Enoncé
Soit $I$ une partie de $\mathbb R$ symétrique par rapport à $0$ et $f$ bijective et impaire de $I$ dans $J\subset \mathbb R$. Démontrer que $f^{-1}$ est impaire. Peut-on remplacer impaire par paire dans cet énoncé?
Enoncé
Étudier la parité des fonctions suivantes :
$$f_1(x)=e^x-e^{-x},\ f_2(x)=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1},\ f_3(x)=\frac{e^x}{(e^x+1)^2}.$$
Fonctions périodiques
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction périodique admettant 2 et 3 comme période. Démontrer que $f$ est $1$-périodique.
Enoncé
Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\ln\left(\left|\sin\left(\frac\pi2 x\right)\right|\right)$. Quel est le domaine de définition de $f$? La fonction $f$ est-elle paire? impaire? périodique?