$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Exercices corrigés - Fonctions usuelles : fonctions hyperboliques et hyperboliques réciproques

Fonctions hyperboliques
Exercice 1 - Somme de cosinus hyperboliques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Montrer que $$\sum_{k=0}^n\cosh(kx)=\frac{\cosh(nx/2)\sinh\big((n+1)x/2\big)}{\sinh(x/2)}.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Résoudre l'équation $\cosh(x)=2$.
Indication
Corrigé
Enoncé
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R^*$ par $f(x)=x\sinh(1/x)$.
  1. Étudier la parité de $f$.
  2. Étudier le comportement de $f$ en $\pm\infty$, en $0$.
  3. Justifier que $f$ est dérivable sur $\mathbb R^*$ et calculer sa dérivée.
  4. Justifier que pour tout $y\geq 0$, $\tanh(y)\leq y$. En déduire le tableau de variations de $f$, puis tracer la courbe représentative de $f$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Démontrer que, pour tout $x\in\mathbb R$ et tout $n\geq 1$, on a $$\left(\frac{1+\tanh(x)}{1-\tanh(x)}\right)^n=\frac{1+\tanh(nx)}{1-\tanh(nx)}.$$
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Une condition nécessaire et suffisante pour résoudre un système [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer les couples de réels $(a,b)$ tels que le système $$\left\{ \begin{array}{rcl} \cosh(x)+\cosh(y)&=&a\\ \sinh(x)+\sinh(y)&=&b. \end{array} \right.$$
Indication
Corrigé