$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Exercices corrigés - Fonctions réciproques

Exercice 1 - Etude de fonction et de la réciproque [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ définie par $f(x)=xe^x$.
  1. Etudier les variations de $f$ et ses limites en $\pm \infty$. Préciser la tangente à la courbe représentative de $f$ en l'origine.
  2. Démontrer que $f$ induit une bijection $h$ de $[-1,+\infty[$ sur $[-e^{-1}, +\infty[$.
  3. On note $W$ l'application réciproque de $h$. Justifier que $W$ est dérivable sur $]-e^{-1}, +\infty[$ et vérifier que, pour $x\neq 0$, $$W'(x)=\frac{W(x)}{x(1+W(x))}.$$
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Dérivée de la réciproque [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer que les fonctions suivantes sont bijectives, et donner l'équation de la tangente à la courbe $y=f^{-1}(x)$ au point $x=0$.
  1. $f:]0,+\infty[\to \mathbb R$, $f(x)=-1+e^{x-1}+\ln x$;
  2. $f:\mathbb R\to\mathbb R$, $f(x)=4x+\sin^4 x$.
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Une étude de fonction, fonction réciproque [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=\cos(\arctan(2x+1))$.
  1. Étudier le sens de variation de $f$, ses limites en $\pm\infty$.
  2. Résoudre l'équation $f(x)=\frac1{\sqrt 2}$.
  3. Montrer que la restriction de $f$ à $[-1/2,+\infty[$ admet une fonction réciproque $g$ dont on précisera l'ensemble de définition.
  4. Calculer $g'(\sqrt 2/2)$.
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Fonction réciproque et fonctions circulaires réciproques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ la fonction définie par $2\arcsin x+\arcsin f(x)=\frac{\pi}6$. Donner l'ensemble de définition de $f$. Prouver qu'elle admet une fonction réciproque dont on donnera l'ensemble de définition.
Corrigé