Exercices corrigés - Fonctions réciproques
Exercice 1 - Réciproque en théorie et en pratique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ la fonction définie sur $[1,+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{x^3-1}$.
- En étudiant la fonction $f$, démontrer que $f$ réalise une bijection de $[1,+\infty[$ sur un intervalle que l'on précisera.
- Retrouver le résultat de la première question et donner une expression explicite de $f^{-1}$ en résolvant l'équation $y=f(x)$ d'inconnue $x\in[1,+\infty[$.
Exercice 2 - Réciproque de la fonction tangente hyperbolique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par $\displaystyle f(x) = \frac{\mathrm e^x - 1}{\mathrm e^x + 1}$.
- Étudier les variations, déterminer les limites en $\pm\infty$, puis tracer le graphe de la fonction $f$.
- En déduire que $f$ est une bijection de $\mathbb R$ sur un intervalle $J$ que l'on précisera.
- Donner la réciproque de $f$.
Enoncé
Soit $f:[1,+\infty[\to[1,+\infty[$ définie par $f(x)=\exp(\ln^2 (x))$. Démontrer que $f$ est une bijection, et déterminer la bijection réciproque.
Exercice 4 - Etude de fonction et de la réciproque [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ définie par $f(x)=xe^x$.
- Etudier les variations de $f$ et ses limites en $\pm \infty$. Préciser la tangente à la courbe représentative de $f$ en l'origine.
- Démontrer que $f$ induit une bijection $h$ de $[-1,+\infty[$ sur $[-e^{-1}, +\infty[$.
- On note $W$ l'application réciproque de $h$. Justifier que $W$ est dérivable sur $]-e^{-1}, +\infty[$ et vérifier que, pour $x\neq 0$, $$W'(x)=\frac{W(x)}{x(1+W(x))}.$$
Enoncé
Pour $x\in\mathbb R$, on pose $f(x)=xe^{1-x}$.
- Justifier que $f$ réalise une bijection de $]-\infty,1[$ sur un intervalle $J$ que l'on déterminera. On note $g:J\to ]-\infty,1[$ sa bijection réciproque.
- Justifier que $g$ est dérivable sur $J$. En remarquant que $f(-1)=-e^{2}$, calculer $g'(-e^2)$.
Enoncé
Soit $f:[0;+\infty[\to [0;+\infty[$ définie par $f(x)=xe^x$. Démontrer que $f$ est bijective. Calculer $(f^{-1})'(e)$.
Enoncé
Démontrer que les fonctions suivantes sont bijectives,
et donner l'équation de la tangente à la courbe $y=f^{-1}(x)$ au point $x=0$.
- $f:]0,+\infty[\to \mathbb R$, $f(x)=-1+e^{x-1}+\ln x$;
- $f:\mathbb R\to\mathbb R$, $f(x)=4x+\sin^4 x$.
Exercice 8 - Une étude de fonction, fonction réciproque [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=\cos(\arctan(2x+1))$.
- Étudier le sens de variation de $f$, ses limites en $\pm\infty$.
- Résoudre l'équation $f(x)=\frac1{\sqrt 2}$.
- Montrer que la restriction de $f$ à $[-1/2,+\infty[$ admet une fonction réciproque $g$ dont on précisera l'ensemble de définition.
- Calculer $g'(\sqrt 2/2)$.
Enoncé
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par
$$f(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
x&\textrm{ si }x<1\\
x^2&\textrm{ si }1\leq x\leq 4\\
8\sqrt x&\textrm{ si }x>4.
\end{array}
\right.$$
Démontrer que $f$ est continue, puis que $f$ réalise une bijection de $\mathbb R$ sur $\mathbb R$. Déterminer la bijection réciproque $f^{-1}$.
Exercice 10 - Fonction réciproque et fonctions circulaires réciproques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ la fonction définie par $2\arcsin x+\arcsin f(x)=\frac{\pi}6$.
Donner l'ensemble de définition de $f$. Prouver qu'elle admet une fonction réciproque dont on donnera l'ensemble de
définition.
Enoncé
Démontrer que la fonction réciproque d'une fonction impaire bijective $f:\mathbb R\to\mathbb R$ est impaire. Que dire pour une fonction paire?
Exercice 12 - Symétrie par rapport à la première bissectrice [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ dont la courbe représentative $\mathbf C$ est symétrique par rapport à la première bissectrice du repère.
- Démontrer que pour tout $x\in\mathbb R$, on a $f(f(x))=x$.
- Démontrer que si $\mathbf C$ n'est pas la première bissectrice du repère, alors $f$ n'est pas croissante.
- En déduire, si on suppose de plus que $f$ est continue, qu'elle est strictement décroissante.
- Donner un exemple de fonction non décroissante dont la courbe représentative $\mathbf C$ est symétrique par rapport à la première bissectrice (sans être celle-ci).