$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Développements limités

Calculs de développements limités
Exercice 1 - Somme et produit de DLs [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Calculer les développements limités suivants : $$\begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf 1.\ \frac{1}{1-x}-e^x\textrm{ à l'ordre 3 en 0}&&\displaystyle \mathbf 2.\ \sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}\textrm{ à l'ordre 4 en 0}\\ \displaystyle \mathbf 3.\ \sin x\cos(2x)\textrm{ à l'ordre 6 en 0}&&\displaystyle \mathbf 4.\ \cos(x)\ln(1+x)\textrm{ à l'ordre 4 en 0}\\ \displaystyle \mathbf 5.\ (x^3+1)\sqrt{1-x}\textrm{ à l'ordre 3 en 0}&&\displaystyle \mathbf 6.\ \big(\ln(1+x)\big)^2\textrm{ à l'ordre 4 en 0} \end{array}$$
Corrigé
Enoncé
Déterminer les développements limités des fonctions suivantes : $$\begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf 1.\ \frac{1}{1+x+x^2}\textrm{ à l'ordre 4 en 0}&&\displaystyle \mathbf 2.\ \tan(x)\textrm{ à l'ordre 5 en 0}\\ \displaystyle \mathbf 3.\ \frac{\sin x-1}{\cos x+1}\textrm{ à l'ordre 2 en 0}&&\displaystyle \mathbf 4.\ \frac{\ln(1+x)}{\sin x}\textrm{ à l'ordre 3 en 0}. \end{array}$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Calculer les développements limités suivants : $$\begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf 1.\ \ln\left(\frac{\sin x}{x}\right)\textrm{ à l'ordre 4 en 0}&& \displaystyle \mathbf 2.\ \exp(\sin x)\textrm{ à l'ordre 4 en 0}\\ \displaystyle \mathbf 3.\ (\cos x)^{\sin x}\textrm{ à l'ordre 5 en 0}&& \displaystyle \mathbf 4.\ x\big(\cosh x\big)^{\frac 1x}\textrm{ à l'ordre 4 en 0}. \end{array}$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Calculer les développements limités suivants : $$\begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf 1.\ \arccos x\textrm{ à l'ordre 5 en 0}&& \displaystyle \mathbf 2.\ \int_0^x e^{t^2}dt\textrm{ à l'ordre 5 en 0}. \end{array} $$
Indication
Corrigé
Enoncé
Calculer les développements limités suivants : $$\begin{array}{lcl} \mathbf 1. \frac 1x\textrm{ à l'ordre 3 en }2&&\displaystyle \mathbf 2. \ln(x)\textrm{ à l'ordre 3 en }2\\ \displaystyle \mathbf 3. e^x\textrm{ à l'ordre 3 en }1&&\displaystyle \mathbf 4. \cos(x)\textrm{ à l'ordre 3 en }\frac{\pi}3\\ \displaystyle \mathbf 5. \sqrt x\textrm{ à l'ordre 3 en 2} \end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 6 - Ordre le plus grand possible [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer $a$ et $b$ pour que la partie principale du développement limité en 0 de la fonction $\cos x-\frac{1+ax^2}{1+bx^2}$ soit de degré le plus grand possible.
Indication
Corrigé
Enoncé
Calculer les développements limités suivants : $$\begin{array}{lcl} \mathbf 1. \frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt x}\textrm{ à l'ordre 3 en }+\infty&& \displaystyle \mathbf 2. \ln\left(x+\sqrt {1+x^2}\right)-\ln x\textrm{ à l'ordre 4 en }+\infty \end{array}$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Calculer, à l'ordre 100, le développement limité en 0 de $\ln\left(\sum_{k=0}^{99}\frac{x^k}{k!}\right)$.
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Un DL par équation différentielle et unicité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ la fonction définie sur $]-1,1[$ par $f(x)=\frac{\arcsin(x)}{\sqrt{1-x^2}}$.
  1. Déterminer la fonction $a:]-1,1[\to\mathbb R$ telle que, pour tout $x\in]-1,1[$, $f'(x)+a(x)f(x)=\frac{1}{1-x^2}$.
  2. Déterminer un développement limité à l'ordre 4 en $0$ de $a$.
  3. En déduire un développement limité à l'ordre 5 en $0$ de $f$.
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Développement limité d'une fonction réciproque [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $x\in\mathbb R$, on pose $f(x)=x\exp(x^2)$.
  1. Démontrer que $f$ réalise une bijection de $\mathbb R$ sur $\mathbb R$.
  2. Justifier que $f^{-1}$ admet un développement limité à l'ordre $4$ en $0$.
  3. Donner ce développement limité.
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Développement limité d'une fonction réciproque [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ la fonction définie sur $\left]-\frac{\pi}2,\frac{\pi}{2}\right[$ par $f(x)=2\tan x-x$.
  1. Montrer que $f$ admet une fonction réciproque de classe $C^\infty$.
  2. Justifier que $f^{-1}$ est impaire.
  3. Donner le développement limité de $f^{-1}$ à l'ordre 6 en 0. On rappelle que $\tan x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+o(x^6)$.
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Développement limité d'une fonction réciproque [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $x\in\mathbb R$, on pose $f(x)=\frac{e^{x^2}-1}{x}$ si $x\neq 0$ et $f(0)=0$. Montrer que $f$ admet une fonction réciproque sur $\mathbb R$. Donner un développement limité de $f^{-1}$ à l'ordre 3 en 0.
Indication
Corrigé
Applications des développements limités
Enoncé
Déterminer les limites des fonctions suivantes : $$\begin{array}{lrl} \displaystyle \mathbf 1.\ \frac{\sin x-x}{x^3}\textrm{ en }0;&& \displaystyle \mathbf 2.\ \frac{1+\ln(1+x)-e^x}{1-\cos x}\textrm{ en }0;\\ \displaystyle \mathbf 3.\ \left(\frac{a^x+b^x}{2}\right)^{1/x}\textrm{ en }0;&& \displaystyle \mathbf 4.\ \frac{2x}{\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)}\textrm{ en }0;\\ \displaystyle \mathbf 5.\ \frac{\exp(\sin x)-\exp(\tan x)}{\sin x-\tan x}\textrm{ en }0;&& \displaystyle \mathbf 6.\ \frac{x^{x^x}\ln x}{x^x-1}\textrm{ en }0^+;\\ \end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 14 - Limites à paramètres [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer $a\in\mathbb R$ tel que la fonction $x\mapsto \frac{e^x+e^{ax}-2}{x^2}$ admette une limite finie en $0$. Déterminer alors la limite.
Indication
Corrigé
Exercice 15 - Étude locale d'une courbe [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ la fonction définie sur $\mtr$ par $\dis f(x)=\frac{1}{1+e^x}.$
  1. Donner un développement limité de $f$ à l'ordre 3 en zéro.
  2. En déduire que la courbe représentative de $f$ admet une tangente au point d'abscisse 0, dont on précisera l'équation.
  3. Prouver que la courbe traverse la tangente en 0. Un tel point est appelé point d'inflexion.
Indication
Corrigé
Exercice 16 - Position relative d'une courbe et de sa tangente [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=\ln(x^2+2x+2)$. Donner l'équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse 0 et étudier la position relative de la courbe et de la tangente au voisinage de ce point.
Indication
Corrigé
Enoncé
A l'aide des développements limités, déterminer les asymptotes éventuelles et la position relative par rapport aux asymptotes de la courbe représentative de la fonction : $$f(x)=\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Prouver qu'au voisinage de $+\infty$, les courbes représentatives des fonctions suivantes admettent une asymptote dont on donnera l'équation. On précisera aussi la position de la courbe par rapport à son asymptote. $$\begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf 1.\ f(x)=\frac{x\cosh(x)-\sinh(x)}{\cosh x-1}&&\displaystyle \mathbf 2.\ g(x)=x^2\ln\left(\frac{x+1}x\right)\\ \displaystyle \mathbf 3.\ h(x)=\frac{x+1}{1+\exp(1/x)}&&\displaystyle\mathbf 4.\ u(x)=x\exp\left(\frac{2x}{x^2-1}\right)\\ \end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 19 - Comparaison de fonctions [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On pose $f(x)=1/(1+x)$, $g(x)=e^{-x}$, $h(x)=\sqrt{1-2\sin x}$, $k(x)=\cos(\sqrt{2x})$. Préciser les positions relatives au voisinage de 0 des courbes représentatives $C_f$, $C_g$, $C_h$, $C_k$.
Indication
Corrigé
Exercice 20 - Régularité d'une fonction [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $a,b\in\mathbb R$ et soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $$f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{\ln(1+x)-x}{x^2}&\textrm{si }x>0\\ ax+b&\textrm{si }x\leq 0. \end{array}\right.$$
  1. Pour quelle(s) valeur(s) de $a$ et $b$ la fonction $f$ est-elle continue en 0?
  2. Dans la copie de l'élève A, on lit en conclusion de la première question : "$f$ est continue si $a\in\mathbb R$ et $b=-1/2$". Dans la copie de l'élève B, on lit au même endroit : "il faut que $a\in\mathbb R$ et que $b=-1/2$ pour que $f$ soit continue". Qu'en pensez-vous? Comparez avec votre rédaction.
  3. Pour quelle(s) valeur(s) de $a$ et $b$ la fonction $f$ est-elle dérivable en 0?
  4. Pour quelle(s) valeur(s) de $a$ et $b$ la fonction $f$ est-elle de classe $C^1$ sur $\mathbb R$?
Indication
Corrigé
Exercice 21 - Dérivée $n$-ième en 0 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:x\mapsto \frac{x^4}{1+x^6}$. Déterminer $f^{(n)}(0)$.
Indication
Corrigé
Exercice 22 - Somme des premiers entiers [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\geq 1$ et $f:\mathbb R\to\mathbb R$ la fonction définie par $$f(x)= \left\{ \begin{array}{ll} \frac{\exp\big((n+1)x\big)-1}{\exp(x)-1}&\textrm{si }x\neq 0\\ n+1&\textrm{sinon.} \end{array}\right.$$
  1. Calculer le développement limité de $f$ en 0 à l'ordre 3.
  2. En déduire la valeur de $$\sum_{k=1}^n k^3.$$
Indication
Corrigé
Développement asymptotique de suites implicites
Enoncé
Soit $n\geq 1$.
  1. Montrer que l'équation $\tan x=x$ possède une solution unique $x_n$ dans $\left]n\pi-\frac\pi2,n\pi+\frac\pi2\right[$.
  2. Quelle relation lie $x_n$ et $\arctan(x_n)$?
  3. Montrer que $x_n=n\pi+\frac{\pi}{2}+o(1)$.
  4. En écrivant $x_n=n\pi+\frac{\pi}{2}+\veps_n$ et en utilisant le résultat de la question 2., en déduire que $$x_n=n\pi+\frac{\pi}{2}-\frac{1}{n\pi}+\frac{1}{2n^2\pi}+o\left(\frac1{n^2}\right).$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R^*$ par $f(x)=x\sinh\left(\frac 1x\right)$.
  1. Montrer que pour tout $x>0$, on a $\tanh(x)<x$.
  2. En déduire le tableau de variations de $f$. On précisera les limites aux bornes.
  3. Donner le développement limité à l'ordre 2 en 0 de $u\mapsto \frac{\sinh u}{u}.$
  4. En déduire que $f$ admet au voisinage de $+\infty$ un développement asymptotique de la forme $$f(x)=a_0+\frac{a_1}{x}+\frac{a_2}{x^2}+o\left(\frac1{x^2}\right),$$ où $a_0,a_1,a_2$ sont des réels que l'on précisera.
  5. Montrer que pour tout $n\in\mathbb N^*$, l'équation $f(x)=\frac{n+1}{n}$ admet une unique solution $u_n>0$.
  6. Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
  7. Montrer que la suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$ en $+\infty$.
  8. Déterminer un équivalent de $(u_n)$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
Indication
Corrigé
Exercice 25 - Suite implicite - exponentielle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère, pour tout $n\in\mathbb N^*$, l'équation $e^x+x-n=0$.
  1. Montrer que l'équation admet une unique solution que l'on notera $u_n$.
  2. Montrer que la suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$.
  3. Montrer que $u_n\sim_{+\infty}\ln n$.
  4. En étudiant $v_n=u_n-\ln n$, montrer que $$u_n=\ln n-\frac{\ln n}{n}+o\left(\frac{\ln n}n\right).$$
Indication
Corrigé
Exercice 26 - Un développement asymptotique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère, pour chaque entier $n\in\mathbb N$, l'équation $x+\ln(x)=n$.
  1. Démontrer que cette équation admet une unique solution $x_n\in]0,+\infty[$, puis démontrer que la suite $(x_n)$ est strictement croissante.
  2. Démontrer que $(x_n)$ tend vers $+\infty$.
  3. Démontrer que $x_n\sim_{n\to +\infty}n$.
  4. Démontrer que $x_n=n-\ln(n)+o\big(\ln(n)\big)$. On pourra poser $a_n$ tel que $\frac{x_n}n=1+a_n$.
  5. Démontrer que $x_n=n-\ln(n)+\frac{\ln n}n+o\left(\frac{\ln(n)}{n}\right).$
  6. En admettant éventuellement le résultat de la question précédente, dire parmi les propositions suivantes lesquelles sont vraies : $$\begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf a.\ x_n\sim_{n\to+\infty} n-\ln(n)&&\displaystyle \mathbf b.\ x_n\sim_{n\to+\infty} n-2\ln(n)\\ \displaystyle \mathbf c.\ x_n=n-\ln(n)+o(\sqrt{\ln n})&&\displaystyle \mathbf d.\ x_n=n-\ln(n)+\frac{\ln(n)}{n}. \end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 27 - Racine d'une équation polynomiale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Démontrer pour tout entier $n\geq 1$ l'existence d'une unique solution réelle positive ou nulle de l'équation $$x^n+x^{n-1}+\dots+x-1=0.$$ Cette solution est notée $u_n$. Démontrer que l'on a $0\leq u_n\leq 1$.
  2. Démontrer que la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.
  3. Démontrer que, pour tout entier $n\geq 1$, on a $$u_n^{n+1}-2u_n+1=0.$$
  4. Démontrer que la suite $(u_n)$ tend vers $1/2$.
  5. Écrire un algorithme qui, pour un entier $p\geq 1$ donné, permet de déterminer le plus petit entier $s$ pour lequel on a $$0<u_s-\frac 12\leq 10^{-p}.$$ On pourra utiliser les fonctions $g_n$ définies par $$g_n(x)=(x-1)\left(1+x+\dots+x^{n}-1\right).$$
  6. Pour $n\geq 1$, on pose $\veps_n=u_n-\frac 12$. Démontrer que $(n\veps_n)$ tend vers 0 lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
  7. Déduire de la question précédente et de la question 3. le développement asymptotique suivant de $u_n$ : $$u_n=\frac 12+\frac{1}{4\cdot 2^n}+o\left(\frac 1{2^n}\right).$$
Indication
Corrigé