$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Dérivation

Dérivée en un point - Nombre dérivée
Exercice 1 - Calculs de limites avec le nombre dérivé [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Étudier les limites suivantes : $$\begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf 1.\ \frac{x\sin x}{1-\cos x}\textrm{ en 0}&& \displaystyle \mathbf 2.\ \frac{\sin x-\sin 2x}{x^2}\textrm{ en 0}\\ \displaystyle \mathbf 3.\ \frac{\sin x}{\sqrt x}\textrm{ en 0}&& \displaystyle \mathbf 4.\ \frac{\cos^2 x-1}{x}\textrm{ en 0} \end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Calcul de limites avec la dérivée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Étudier les limites suivantes : $$\begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf 1.\ \frac{\tan x-\sin x}{x^3}\textrm{ en 0}&& \displaystyle \mathbf 2.\ \frac{\tan 4x}{\sin x}\textrm{ en }0\\ \displaystyle {\mathbf 3}.\ \frac{\sin x-\sin(5x)}{\sin x+\sin (5x)}\textrm{ en }0&& \displaystyle {\mathbf 4}.\ \frac{\sin(x\ln x)}{x}\textrm{ en }0\\ \displaystyle \mathbf {\mathbf 5}.\ \left(1+\frac1x\right)^x\textrm{ en }+\infty&& \displaystyle \mathbf {\mathbf 6}.\ \frac{x(x-1)\sin(x-1)}{x^3-3x+2}\textrm{ en }1\\ \displaystyle \mathbf {\mathbf 7}.\ {\ln x\ln(1-x)}\textrm{ en }0^+. \end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Dérivable ou pas dérivable [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Les fonctions suivantes sont-elles dérivables en 0? $$f(x)=\frac{x}{1+|x|},\ \ \ g(x)= \left\{\begin{array}{ll} x\sin(x)\sin(1/x)&\textrm{ si }x\neq 0\\ 0&\textrm{ si }x=0. \end{array}\right.,\quad\quad h(x)=|x|\sin x.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Déterminer $a,b\in\mathbb R$ de sorte que la fonction $f$ définie sur $\mathbb R_+$ par $$f(x)=\sqrt x\textrm{ si }0\leq x\leq 1\textrm{ et }f(x)=ax^2+bx+1\textrm{ si }x>1$$ soit dérivable en $1$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Étudier si les fonctions suivantes sont dérivables et $C^1$ sur $\mathbb R$ : $$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^2\sin\left(\frac 1x\right)&x\neq 0\\ 0&x=0 \end{array}\right.\quad\quad\quad g(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^3\sin\left(\frac 1x\right)&x\neq 0\\ 0&x=0. \end{array}\right. $$
Indication
Corrigé
Exercice 6 - $C^2$ mais pas trois fois dérivable [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=x$ si $x\leq 0$ et $f(x)=\sin(x)$ si $x> 0$. Démontrer que $f$ définit une fonction de classe $C^2$ sur $\mathbb R$, mais que $f$ n'est pas trois fois dérivable.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f$ une fonction dérivable en un point $x_0$. Montrer que $$\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}=f'(x_0).$$ Réciproquement, si la limite précédente existe, peut-on dire que $f$ est dérivable en $x_0$?
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f:[0,1]\to\mathbb R$ dérivable vérifiant $f(0)=f(1)$. On définit $g$ sur $[0,1]$ par $$g(x)=\left\{\begin{array}{ll} f(2x)&\textrm{ si }0\leq x\leq\frac12\\ f(2x-1)&\textrm{ si }\frac12<x\leq 1. \end{array}\right.$$ $g$ est-elle continue? dérivable? Si non, quelle(s) hypothèse(s) faut-il ajouter pour que ce soit le cas?
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Variante du taux d'accroissement [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ une fonction dérivable en $x_0\in\mathbb R$. Montrer que $$\frac{xf(x_0)-x_0f(x)}{x-x_0}$$ admet une limite lorsque $x\to x_0$.
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Un problème de tangente [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer que les courbes d'équation $y=x^2$ et $y=1/x$ admettent une unique tangente commune.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ dérivable telle que $f(0)=0$. Montrer que $\sum_{k=1}^n f\left(\frac k{n^2}\right)$ admet une limite lorsque $n\to+\infty$ et la déterminer.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f$ définie sur un intervalle ouvert $I$ contenant $0$, continue sur $I$. On suppose en outre que $\lim_{x\to 0}\frac{f(2x)-f(x)}{x}=0$. Montrer que $f$ est dérivable en 0.
Indication
Corrigé
Théorème de Rolle - théorème des accroissements finis
Exercice 13 - Suite presque harmonique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Démontrer que pour tout $x>0$, on a $$\frac1{x+1}<\ln(x+1)-\ln x<\frac 1x.$$
  2. On pose $$v_n=\frac 1{n+1}+\dots+\frac 1{2n}.$$ Démontrer que $$\ln(2n+1)-\ln(n+1)<v_n<\ln(2n)-\ln n.$$ En déduire que $(v_n)$ converge et déterminer sa limite.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ $n$ fois dérivable.
  1. On suppose que $f$ s'annule en $(n+1)$ points distincts de $[a,b]$. Démontrer qu'il existe $c\in ]a,b[$ tel que $f^{(n)}(c)=0$.
  2. On suppose que $f(a)=f'(a)=\dots=f^{(n-1)}(a)=f(b)=0$. Démontrer qu'il existe $c\in ]a,b[$ tel que $f^{(n)}(c)=0$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Majorer l'erreur commise dans les approximations suivantes : $$\mathbf a.\sqrt{10001}\simeq 100;\ \mathbf b. \frac{1}{0,999^2}\simeq 1;\ \mathbf c.\cos 1\simeq\frac12.$$
Indication
Corrigé
Exercice 16 - Au dessus d'une droite [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ une fonction définie et de classe $C^1$ sur $[0,1]$. On suppose que $f(0)=0$ et que $f'(x)>0$ pour tout $x\in[0,1]$. Montrer qu'il existe $m>0$ tel que $f(x)\geq mx$ pour tout $x\in [0,1]$.
Indication
Corrigé
Exercice 17 - Fonction bornée dont la dérivée admet une limite [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction bornée et dérivable telle que $\lim_{+\infty}f'=l$. Montrer que $l=0$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ dérivable et $a\in\mathbb R$ tel que $f'(a)\neq 0$.
  1. Montrer qu'il existe un intervalle $I$ centré en $a$ tel que $f(x)\neq f(a)$ pour tout $x\in I\backslash\{a\}$.
  2. On suppose de plus que $f'$ est continue en $a$. Montrer qu'il existe un intervalle $I$ centré en $a$ tel que $f_{|I}$ est injective.
Indication
Corrigé
Exercice 19 - Nombre de solutions d'une équation [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $P$ un polynôme. Montrer que l'équation $P(x)=e^x$ n'admet qu'un nombre fini de solutions.
Indication
Corrigé
Exercice 20 - Dérivée de polynôme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $P\in\mathbb R[X]$ scindé (c'est-à-dire que $P$ a toutes ses racines réelles, ou encore que $P(X)=c(X-x_1)^{\alpha_1}\dots(X-x_p)^{\alpha_p}$) et $\lambda\in\mathbb R$. Montrer que $P'+\lambda P$ est scindé.
Indication
Corrigé
Exercice 21 - Polynômes de Legendre [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On appelle polynômes de Legendre les polynômes $P_n(X)=\left((X^2-1)^n\right)^{(n)}$.
  1. Calculer le degré de $P_n$ et son coefficient dominant.
  2. Pour $0\leq p\leq n$, on pose $Q_p(X)=\left((X^2-1)^n\right)^{(p)}$. Quel est le degré de $Q_p$? Démontrer que $Q_p$ admet deux zéros d'ordre $n-p$, et $p$ zéros d'ordre 1.
  3. En déduire que $P_n$ s'annule exactement en $n$ points deux à deux distincts de $]-1,1[$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f:[0,+\infty[\to\mathbb R$ une fonction continue, dérivable sur $]0,+\infty[$ et telle que $f(0)=\lim_{+\infty}f=0$. On souhaite démontrer qu'il existe $d\in]0,+\infty[$ tel que $f'(d)=0$. Le résultat étant trivial si $f$ est identiquement nulle, on suppose que ce n'est pas le cas et qu'il existe $c\in]0,+\infty[$ tel que $f(c)>0$.
  1. Démontrer qu'il existe $a\in]0,c[$ et $b\in]c,+\infty[$ tel que $f(a)=f(b)$.
  2. Conclure.
Indication
Corrigé
Exercice 23 - Rolle et dérivée $n$-ième [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ de classe $C^n$. On suppose qu'il existe $x_1<x_1<\dots<x_n$ tels que $f(x_i)=0$ pour tout $i$. Soit également $a\in[x_1,x_n]$. Montrer qu'il existe $\lambda\in]x_1,x_n[$ tel que $$f(a)=(a-x_1)\dots(a-x_n)\frac{f^{(n)}(\lambda)}{n!}.$$
Indication
Corrigé
Exercice 24 - Théorème des accroissements finis généralisés et règle de l'Hospital [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $f,g:[a,b]\to\mathbb R$ continues sur $[a,b]$ et dérivables sur $]a,b[$.
  1. Montrer qu'il existe $c\in[a,b]$ tel que $g'(c)\big(f(b)-f(a))=f'(c)\big(g(b)-g(a)\big)$.
  2. En déduire que si $\lim_{x\to a^+}\frac{f'(x)}{g'(x)}=l$, alors $\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=l.$
  3. Application : déterminer $\lim_{x\to 0^+}\frac{\cos x-e^x}{(x+1)e^x-1}$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f:[0,1]\to\mathbb R$ une fonction de classe $C^1$ vérifiant $f(0)=0$ et $f(1)=1$. Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, il existe $0<x_1<\dots<x_n<1$ vérifiant $f'(x_1)+\dots+f'(x_n)=n$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $I$ un intervalle ouvert de $\mtr$, et $f$ une fonction dérivable sur $I$. On veut prouver que $f'$ vérifie le théorème des valeurs intermédiaires.
  1. Pourquoi n'est-ce pas trivial?
  2. Soit $(a,b)\in I^2$, tel que $f'(a)<f'(b)$, et soit $z\in]f'(a),f'(b)[$. Montrer qu'il existe $\alpha>0$ tel que, pour tout réel $h\in]0,\alpha]$, on ait : $$\frac{1}{h}\left(f(a+h)-f(a)\right)<z<\frac{1}{h}\left(f(b+h)-f(b)\right).$$
  3. En déduire l'existence d'un réel $h>0$ et d'un point $y$ de $I$ tels que : $$y+h\in I \textrm{ et }\frac{1}{h}\left(f(y+h)-f(y)\right)=z.$$
  4. Montrer qu'il existe un point $x$ de $I$ tel que $z=f'(x)$.
  5. En déduire que $f'(I)$ est un intervalle.
  6. Soit $f(x)=x^2\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)$ sur $[0,1]$, $0$ en $0$. Montrer que $f$ est dérivable sur $[0,1]$. $f'$ est-elle continue sur $[0,1]$? Déterminer $f'([0,1])$. Qu'en concluez-vous?
Indication
Corrigé
Exercice 27 - Tangente passant par un point donné [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction continue, dérivable sur $]a,b[$, et vérifiant $f(a)=f(b)=0$. Soit $d\in\mathbb R\backslash [a,b]$. Montrer qu'il existe une tangente à la courbe représentative de $f$ passant par le point $(d,0)$.
Indication
Corrigé
Exercice 28 - Valeur approchée de $\ln 2$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $f,g:\mathbb R_+\to\mathbb R$ définies par $$g(x)=(x-2)e^{x}+(x+2),\ f(x)=\frac{x}{e^x-1}\textrm{ si }x\neq 0\textrm{ et }f(0)=1.$$
  1. Démontrer que $g\geq 0$ sur $\mathbb R_+$.
  2. Démontrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb R_+$. Que vaut $f'(0)$?
  3. Vérifier que $f''(x)=\frac{e^x g(x)}{(e^x-1)^3}$ pour tout $x>0$. En déduire que $|f'(x)|\leq 1/2$ sur $\mathbb R_+$.
  4. On définit une suite $(u_n)$ par $u_0=0$ et $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout entier naturel $n$. Prouver que, pour tout $n\in\mathbb N$, on a $$|u_{n}-\ln 2|\leq \left(\frac12\right)^n \ln 2.$$
Indication
Corrigé
Exercice 29 - Application du théorème des accroissements finis à l'étude d'une suite [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Quelle est la nature de la suite $(\sin(\ln n))$?
Indication
Corrigé
Exercice 30 - Zéros des dérivées des fonctions $C^\infty$ bornées [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ de classe $C^\infty$ et bornée.
  1. Montrer que si une dérivée $f^{(k)}$ admet un nombre fini de zéros, alors les dérivées précédentes $f^{(p)}$, $1\leq p<k$ tendent vers 0 en $\pm \infty$.
  2. En déduire que, pour $k\geq 2$, $f^{(k)}$ s'annule au moins $k-1$ fois.
Indication
Corrigé
Dérivées successives
Enoncé
Calculer la dérivée $n$-ième de la fonction $f(x)=(x^3+2x-7)e^x$, pour $n\geq 3$.
Indication
Corrigé
Exercice 32 - Polynômes de Laguerre [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On pose, pour tout entier naturel $n$ et pour tout réel $x$, $$h_n(x)=x^ne^{-x}\textrm{ et }L_n(x)=\frac{e^x}{n!}h_n^{(n)}(x).$$
  1. Montrer que, pour tout entier $n$, $L_n$ est une fonction polynômiale. Préciser son degré et son coefficient dominant.
  2. Plus précisément, montrer que, pour tout $k\in\{0,\dots,n\}$, il existe $Q_k\in\mathbb R[X]$ tel que, pour tout $x\in\mathbb R$, on a $$h_n^{(k)}(x)=x^{n-k}e^{-x}Q_k(x).$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Calculer la dérivée $n$-ième des fonctions suivantes : \begin{array}{lll} \mathbf 1. x\mapsto x\exp(x)&\quad\quad&\mathbf 2. x\mapsto x^2\sin x\\ \mathbf 3.x\mapsto x^{n-1}\ln(1+x). \end{array}
Indication
Corrigé
Exercice 34 - Calcul de dérivée $n$-ième [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\in\mathbb N$. Montrer que la dérivée d'ordre $n+1$ de $x^ne^{1/x}$ est $$\frac{(-1)^{n+1}}{x^{n+2}}e^{1/x}.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Déterminer la dérivée d'ordre $n$ de la fonction $f$ définie par $f(x)=(x-a)^n (x-b)^n$ ($a,b$ sont des réels). En étudiant le cas $a=b$, trouver la valeur de $\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2$.
Indication
Corrigé
Enoncé
On considère $f:\mathbb R\to\mathbb R$ définie par $$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0&\textrm{ si }x\leq 0\\ e^{-\frac{1}{x}}&\textrm{ si }x>0. \end{array} \right.$$
  1. Montrer que $f$ est $C^\infty$ sur $]0,+\infty[$ et que, pour tout $x>0$, on a $f^{(n)}(x)=e^{-\frac1x}P_n(1/x)$ où $P_n\in\mathbb R[X]$.
  2. Montrer que $f$ est $C^\infty$ sur $\mathbb R$.
Indication
Corrigé
Exercice 37 - Avec des nombres complexes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $a+ib$ une racine $n-$ième de l'unité, et $f(x)=e^{ax}\cos(bx)$. Donner une formule simple pour $f^{(n)}$.
Indication
Corrigé
Applications à l'étude de suite - théorème du point fixe
Enoncé
On considère la suite récurrente définie par $u_0\in \mathbb R^*$ et $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout $n\in\mathbb N$, où $f$ la fonction définie par $f(x)=1+\frac 14\sin\frac 1x$.
  1. Déterminer $I=f(\mathbb R^*)$, et montrer que $I$ est stable par $f$.
  2. Démontrer qu'il existe $\gamma\in I$ tel que $f(\gamma)=\gamma$.
  3. Démontrer que, pour tout $x\in I$, $$|f'(x)|\leq\frac 49.$$
  4. Démontrer que $(u_n)$ converge vers $\gamma$.
Indication
Corrigé
Exercice 39 - Théorème du point fixe [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[a;b]\to\mathbb [a,b]$ une application dérivable. On suppose qu'il existe $k\in ]0,1[$ tel que, pour tout $x\in [a,b]$, on a $|f'(x)|\leq k$. On dit que $\gamma\in [a,b]$ est un point fixe de $f$ si $f(\gamma)=\gamma$.
  1. Démontrer que $f$ admet un point fixe.
  2. Démontrer que ce point fixe est unique. On le note $\gamma$.
  3. Soit $(u_n)$ une suite récurrente définie par $u_0\in [a,b]$ et $u_{n+1}=f(u_n)$. Démontrer que $(u_n)$ converge vers $\gamma$.
Indication
Corrigé
Enoncé
On considère la suite récurrente définie par $u_0\in \mathbb R^*$ et $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout $n\in\mathbb N$, où $f$ la fonction définie par $f(x)=1+\frac 14\sin\frac 1x$.
  1. Déterminer $I=f(\mathbb R^*)$, et montrer que $I$ est stable par $f$.
  2. Étudier la suite $(u_n)$.
Indication
Corrigé
Exercice 41 - Recherche d'une solution [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit l'équation $(E) : x^3-x-1=0$ pour $x\in[1,2]$.
  1. Transformer cette équation en un problème de recherche de point fixe pour une fonction contractante.
  2. En déduire l'existence et l'unicité de la solution de $(E)$, notée $\alpha$.
  3. Construire une suite récurrente $(u_n)$ convergente vers $\alpha$. Combien de termes faut-il calculer pour avoir une solution de $(E)$ à $10^{-5}$ près?
Indication
Corrigé