$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Fonctions convexes

Ensembles convexes
Exercice 1 - Combinaison convexe de convexes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $C_1$, $C_2$ deux parties convexes d'un espace vectoriel réel $E$ et soit $s\in [0,1]$. On pose $C=sC_1+(1-s)C_2=\{sx+(1-s)y;\ x\in C_1,\ y\in C_2\}$. Démontrer que $C$ est convexe.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $C_1$ et $C_2$ deux ensembles convexes de $\mathbb R^n$ et $C_1+C_2=\{x+y;\ x\in C_1,\ y\in C_2\}$. Démontrer que $C_1+C_2$ est convexe.
Indication
Corrigé
Enoncé
Pour tout $E\subset\mathbb R^n$, on appelle enveloppe convexe de $E$ l'ensemble $$K(E)=\bigcap_{A\in \mathcal E(E)}A$$ où $\mathcal E(E)$ désigne l'ensemble des convexes de $\mathbb R^n$ contenant $E$.
  1. Démontrer que $K(E)$ est convexe.
  2. Déterminer $K(E)$ lorsque $E$ est la courbe de la fonction $y=\tan x$ pour $x\in \left]-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2\right[$.
Indication
Corrigé
Inégalités de convexité
Exercice 4 - Exponentielle et logarithme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Soient $a,b\in\mathbb R$. Montrer que $\displaystyle e^{\frac{a+b}2}\leq\frac{e^a+e^b}{2}.$
  2. Montrer que $f(x)=\ln(\ln (x))$ est concave sur $]1,+\infty[$.
  3. En déduire que $\forall a,b>1,\ \ln\left(\frac{a+b}{2}\right)\geq \sqrt{\ln a.\ln b}$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Montrer que, pour tout $x\in[0,\pi/2]$, on a $$\frac{2}\pi x\leq \sin x\leq x.$$
Indication
Corrigé
Exercice 6 - Moyenne arithmétique et géométrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $a_1,\dots,a_n$ des réels strictement positifs. Prouver l'inégalité suivante : $$\sqrt[n]{a_1\dots a_n}\leq\frac{a_1+\dots+a_n}{n}.$$
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Encadrement d'intégrale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ une fonction convexe de classe $C^1$ sur $[a,b]$. Montrer que $$(b-a)f\left(\frac{a+b}{2}\right)\leq \int_a^b f(t)dt\leq (b-a)\frac{f(a)+f(b)}{2}.$$
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Majoration de $f$ grâce à $f''$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ de classe $C^2$ telle que $f(a)=f(b)=0$. On note $M=\sup_{[a,b]}|f''|$ et $$g(x)=f(x)-M\frac{(x-a)(b-x)}{2}\textrm{ }\quad\quad h(x)=f(x)+M\frac{(x-a)(b-x)}{2}.$$
  1. Justifier l'existence de $M$.
  2. Montrer que $g$ est convexe et que $h$ est concave.
  3. En déduire que, pour tout $x\in[a,b]$, on a $$|f(x)|\leq M\frac{(x-a)(b-x)}{2}.$$
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Une jolie inégalité de convexité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Démontrer que la fonction $f:x\mapsto \ln(1+e^x)$ est convexe sur $\mathbb R$.
  2. Établir que, pour tous $x_1,\dots,x_n\in ]0,+\infty[$, alors $$1+\left(\prod_{k=1}^n x_k\right)^{1/n}\leq \left(\prod_{k=1}^n (1+x_k)\right)^{1/n}.$$
  3. En déduire que pour tous $a_1,\dots,a_n,b_1,\dots,b_n\in ]0,+\infty[$, alors $$\left(\prod_{k=1}^n a_k\right)^{1/n}+\left(\prod_{k=1}^n b_k\right)^{1/n}\leq \left(\prod_{k=1}^n (a_k+b_k)\right)^{1/n}.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ continue et $g:\mathbb R\to\mathbb R$ continue et convexe. Démontrer que $$g\left(\frac{1}{b-a}\int_a^b f(t)dt \right)\leq \frac{1}{b-a}\int_a^b g(f(t))dt.$$
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Inégalités de Hölder et de Minkowski [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $(x,y,p,q)\in\mtr_+^*$ tels que $1/p+1/q=1$, et $a_1,\dots,a_n,b_1,\dots,b_n$ $2n$ réels strictement positifs.
  1. Montrer que $$xy\leq \frac{1}{p}x^p+\frac{1}{q}y^q.$$
  2. On suppose dans cette question que $\sum_{i=1}^n a_i^p=\sum_{i=1}^n b_i^q=1.$ Montrer que $\sum_{i=1}^n a_ib_i\leq 1$.
  3. En déduire la splendide inégalité de Hölder : $$\sum_{i=1}^n a_ib_i\leq\left(\sum_{i=1}^n a_i^p\right)^{1/p}\left(\sum_{i=1}^n b_i^q\right)^{1/q}.$$
  4. On suppose en outre que $p>1$. Déduire de l'inégalité de Hölder l'inégalité de Minkowski : $$\left(\sum_{i=1}^n (a_i+b_i)^p\right)^{1/p}\leq\left(\sum_{i=1}^na_i^p\right)^{1/p}+\left(\sum_{i=1}^n b_i^p\right)^{1/p}.$$
  5. On définit pour $x=(x_1,\dots,x_n)\in \mathbb R^n$ $$\|x\|_p=(|x_1|^p+\dots+|x_n|^p)^{1/p}.$$ Démontrer que $\|\cdot\|_p$ est une norme sur $\mathbb R^n$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Démontrer que, pour tout $x>1$, on a $${x}^{n}-1\geq n\left({x}^{\left(n+1\right)/2}-{x}^{\left(n-1)/2\right)}\right).$$
Indication
Corrigé
Propriétés des fonctions convexes
Exercice 13 - Composée de fonctions convexes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $f,g:\mathbb R\to\mathbb R$ telles que $f$ et $g$ soient convexes, et $g$ est croissante. Démontrer que $g\circ f$ est convexe.
Indication
Corrigé
Exercice 14 - Réciproque d'une application convexe [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:I\to\mathbb R$ une fonction convexe et strictement croissante. Étudier la convexité de $f^{-1}:f(I)\to I.$
Indication
Corrigé
Exercice 15 - Une fonction convexe est toujours continue [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $I$ un intervalle ouvert de $\mathbb R$ et $f:I\to\mathbb R$ convexe. Démontrer que $f$ est continue sur $I$. Le résultat subsiste-t-il si $I$ n'est plus supposé ouvert?
Indication
Corrigé
Exercice 16 - Fonctions convexes bornées [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ de classe $C^1$ sur $\mtr$ et convexe.
  1. Soit $a<b$. Etudier la position du graphe de $f$ par rapport à la droite passant par $(a,f(a))$ et $(b,f(b))$.
  2. En déduire que si $f$ est bornée, alors $f$ est constante.
Indication
Corrigé
Exercice 17 - Minimum local est en fait global [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction convexe. Montrer que si $f$ admet un minimum local en $a$, alors $f$ admet un minimum global en $a$. Que peut-on dire si $f$ admet un maximum local en $a$?
Indication
Corrigé
Exercice 18 - Fonctions convexes sur un intervalle borné [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ une fonction convexe sur l'intervalle borné $]a,b[$.
  1. Montrer que $f$ est minorée.
  2. $f$ est-elle nécessairement majorée?
Indication
Corrigé
Exercice 19 - Fonctions convexes croissantes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction convexe croissante. Montrer que $f$ est constante ou que $\lim_{+\infty}f=+\infty$.
Indication
Corrigé
Exercice 20 - Fonctions convexes admettant une asymptote [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction convexe.
  1. On suppose que $\lim_{+\infty}f=0$. Montrer que $f\geq 0$.
  2. Montrer que la somme d'une fonction convexe et d'une fonction affine est convexe.
  3. On suppose que la courbe représentative de $f$ admet une asymptote. Montrer que la courbe est (toujours) au-dessus de l'asymptote.
Indication
Corrigé
Divers
Exercice 21 - Fonctions logarithmiquement convexes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Soit $f$ une fonction convexe croissante et soit $g$ une fonction convexe. Démontrer que $f\circ g$ est convexe.
  2. Soit $f:\mathbb R\to ]0,+\infty[$. Montrer que $\ln f$ est convexe si et seulement si, pour tout $\alpha>0$, $f^\alpha$ est convexe.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f:\mtr\to\mtr$ une fonction continue telle que : $$\forall(x,y)\in\mtr^2,\ f\left(\frac{x+y}{2}\right)\leq \frac{f(x)+f(y)}{2}.$$ Prouver que $f$ est convexe.
Indication
Corrigé