$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Comparaison des suites et des fonctions

Comparaisons pratiques
Enoncé
Quels sont les équivalents corrects parmi les propositions suivantes? $$ \begin{array}{lllll} \mathbf 1.\ n\sim_{+\infty}n+1&\quad&\mathbf 2.\ n^2\sim_{+\infty}n^2+n&\quad&\mathbf 3.\ \ln(n)\sim_{+\infty}\ln(10^6 n)\\ \mathbf 4.\ \exp(n)\sim_{+\infty}\exp\left(n+10^{-6}\right)&\quad&\mathbf 5.\ \exp(n)\sim_{+\infty}\exp(2n)&\quad&\mathbf 6.\ \ln(n)\sim_{+\infty}\ln(n+1). \end{array} $$
Indication
Corrigé
Enoncé
Déterminer un équivalent le plus simple possible des fonctions suivantes : $$\begin{array}{lcl} \mathbf 1.\ x+1+\ln x\textrm{ en 0 et en }+\infty&\quad\quad&\displaystyle \mathbf 2.\ \cos(\sin x)\textrm{ en 0}\\ \displaystyle \mathbf 3.\ \cosh(\sqrt x)\textrm{ en }+\infty &\quad\quad&\displaystyle \mathbf 4.\ \frac{\sin x\ln(1+x^2)}{x\tan x}\textrm{ en 0}\\ \displaystyle \mathbf 5.\ \ln(\sin x)\textrm{ en }0 &\quad\quad&\displaystyle \mathbf 6.\ \ln(\cos x)\textrm{ en 0} \end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Équivalent d'un polynôme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0$ un polynôme. On note $p$ le plus petit indice tel que $a_p\neq 0$. Déterminer un équivalent simple de $P$ en $+\infty$. Déterminer un équivalent simple de $P$ en $0$.
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Comparaison entre exponentielle et factorielle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\gamma>0$. Le but de l'exercice est de prouver que $$e^{\gamma n}=o(n!).$$ Pour cela, on pose, pour $n\geq 1$, $u_n=e^{\gamma n}$ et $v_n=n!$.
  1. Démontrer qu'il existe un entier $n_0\in\mathbb N$ tel que, pour tout $n\geq n_0$, $$\frac{u_{n+1}}{u_n}\leq\frac 12\frac{v_{n+1}}{v_n}.$$
  2. En déduire qu'il existe une constante $C>0$ telle que, pour tout $n\geq n_0$, on a $$u_n\leq C\left(\frac 12\right)^{n-n_0}v_n.$$
  3. Conclure.
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Application des équivalents pour déterminer des limites [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
En utilisant (éventuellement) des équivalents, déterminer les limites suivantes : $$\begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf 1.\ \lim_{x\to 0}\frac{(1-\cos x)(1+2x)}{x^2-x^4}&&\displaystyle \mathbf 2.\ \lim_{x\to 0}x(3+x)\frac{\sqrt{x+3}}{\sqrt x\sin(\sqrt x)}\\ \displaystyle \mathbf 3.\ \lim_{x\to 0}\frac{\ln (1+\sin x)}{\tan(6x)}&& \displaystyle \mathbf 4.\ \lim_{x\to\pi/2}\frac{\ln(\sin^2 x)}{\left(\frac{\pi}{2}-x\right)^2}\\ \displaystyle \mathbf 5.\ \lim_{x\to 0}\frac{\ln(\cos x)}{1-\cos 2x}&&\displaystyle \mathbf 6.\ \lim_{x\to+\infty}\sqrt{4x+1}\ln\left(1-\frac{\sqrt{x+1}}{x+2}\right)\\ \displaystyle \mathbf 7.\ \lim_{x\to+\infty}\exp\left(\frac1{x^2}\right)- \exp\left(\frac{1}{(x+1)^2}\right) &&\displaystyle \mathbf 8.\ \lim_{x\to 0}\left(\frac{x}{\sin x}\right)^{\frac{\sin x}{x-\sin x}}\\\displaystyle \mathbf 9.\ \lim_{x\to 0}\frac{(1-\cos x)\arctan x}{x\tan x} \end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 6 - Comparaison de fonctions [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Comparer les fonctions suivantes :
  1. $x\ln x$ et $\ln(1+2x)$ au voisinage de 0;
  2. $x\ln x$ et $\sqrt{x^2+3x}\ln(x^2)\sin x$ au voisinage de $+\infty$;
Indication
Corrigé
Enoncé
Montrer que $$\sum_{k=1}^n k!\sim_{+\infty} n!.$$
Indication
Corrigé
Comparaisons théoriques
Enoncé
Est-il vrai que si $u\sim_a v$, alors $u$ et $v$ ont le même signe au voisinage de $a$?
Corrigé
Exercice 9 - Exponentielle et équivalent [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies au voisinage d'un point $a$. Montrer que $e^f\sim_a e^g\iff \lim_a(f-g)=0$. A-t-on $f\sim_a g\implies e^f\sim_a e^g$?
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Exponentielle et négligeabilité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $f,g:\mathbb R\to\mathbb R$. On suppose que $f\xrightarrow{+\infty} +\infty$.
  1. On suppose que $g=_{+\infty}o(f)$. Montrer que $\exp(g)=_{+\infty}o(\exp(f))$.
  2. Montrer que la réciproque est fausse.
  3. Application : comparer $f\left(x\right)=\,{\left(\ln \left(\ln x\right)\right)}^{{x}^{\ln x }}$ et $g\left(x\right)=\,{\left(\ln x\right)}^{{x}^{\ln \left(\ln x\right)}}$ au voisinage de $+\infty$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $f,g$ deux fonctions définies au voisinage d'un point $a\in\mathbb R$ et strictement positives. On suppose en outre que $f\sim_a g$ et que $g$ admet une limite $l\in\mathbb R_+\cup\{+\infty\}$. Montrer que si $l\neq 1$, alors $\ln f\sim_a \ln g$. Que se passe-t-il si $l=1$?
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Equivalence de sommes partielles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites réelles positives telles que $u_n\sim_{+\infty}v_n$. On pose $$U_n=\sum_{k=1}^n u_k\textrm{ et }V_n=\sum_{k=1}^n v_k,$$ et on suppose de plus que $V_n\to+\infty$. Démontrer que $U_n\sim_{+\infty} V_n.$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(v_n)$ une suite tendant vers $0$. On suppose que $v_n+v_{2n}=o\left(\frac 1n\right)$.
  1. Démontrer que, pour tout $n\geq 0$ et tout $p\geq 0$, on a $$|v_n|\leq \sum_{k=0}^p |v_{2^k n}+v_{2^{k+1}n}|+|v_{2^{p+1}n}|.$$
  2. En déduire que $v_n=o\left(\frac 1n\right)$.
Indication
Corrigé