$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Transformée de Laplace

Plutôt pour master Enseignement
Exercice 1 - Abscisse de convergence [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer l'abscisse de convergence de la transformée de Laplace des fonction suivantes : $$\begin{array}{lll} \mathbf 1.\ e^{2t}\cos(\omega t),\ \omega\in\mathbb R&\quad&\mathbf 2.\ t^ne^{-3t},\ n\geq 0\\ \mathbf 3.\ \cosh(at),\ a>0 \end{array} $$
Corrigé
Exercice 2 - A partir de la fonction échelon-unité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Tracer le graphe et calculer la transformée de Laplace des fonctions suivantes : $$\begin{array}{lll} \mathbf 1.\ \mathcal U(t-1)-\mathcal U(t-2)&\quad&\mathbf 2. \mathcal U(t-2)(t-2)^2\\ \mathbf 3.\ \sum_{n=0}^{+\infty}\big(\mathcal U(t-2n)-\mathcal U(t-(2n+1))\big). \end{array} $$
Indication
Corrigé
Enoncé
Déterminer la transformée de Laplace des fonctions suivantes : $$ \begin{array}{lll} \mathbf 1.\ (2t^2-1)\mathcal U(t)&\quad&\mathbf 2.\ \left(e^t-\cos\left(\frac 23t\right)e^{2t}\right)\mathcal U(t)\\ \mathbf 3.\ te^{4t}\mathcal U(t)&\quad&\mathbf 4.\ \cos^3(t)e^t\mathcal U(t). \end{array} $$
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Application de la formule de dérivation [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On pose $$f(t)=(1-\cos t)\mathcal U(t),\ g(t)=e^{-t}f(t).$$
  1. Montrer que $\mathcal L(f)(p)=\frac{1}{p(p^2+1)}$.
  2. En déduire que $$\mathcal L\left(e^t g''\right)(p)=\frac{(p-1)^2}{p(p^2+1)}.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
  1. Soit $a>0$. Déterminer la transformée de Laplace de $t\mapsto t\mathcal U(t-a)$.
  2. On considère le signal suivant :
    Calculer, à partir de la définition, sa transformée de Laplace.
  3. Décomposer le signal en une combinaison linéaire de signaux élémentaires. Retrouver alors le résultat en utilisant le formulaire.
Indication
Corrigé
Enoncé
Retrouver l'original des transformée de Laplace suivantes : $$\begin{array}{lll} \mathbf 1.\ \frac1{(p+1)(p-2)}&\quad&\mathbf 2.\ \frac{-1}{(p-2)^2}\\ \mathbf 3.\ \frac{5p+10}{p^2+3p-4}&\quad&\mathbf 4.\ \frac{p-7}{p^2-14p+50}\\ \mathbf 5.\ \frac{p}{p^2-6p+13}&\quad&\mathbf 6.\ \frac{e^{-2p}}{p+3} \end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Équations différentielles et transformée de Laplace [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On se propose d'utiliser la transformée de Laplace pour résoudre des équations différentielles.
  1. On considère l'équation différentielle $$y'+y=e^t\mathcal U(t),\ y(0)=1.$$ Soit $y$ une fonction causale solution de l'équation dont on suppose qu'elle admet une transformée de Laplace $F$. Démontrer que $F$ satisfait l'équation $$F(p)=\frac{p}{(p-1)(p+1)}.$$ En déduire $y$.
  2. Sur le même modèle, résoudre l'équation différentielle $$y''-3y'+2y=e^{3t}\mathcal U(t),\ y(0)=1,\ y'(0)=0.$$
  3. Sur le même modèle, résoudre le système différentiel $$\left\{ \begin{array}{rcl} x'&=&-x+y+\mathcal U(t)e^t,\ x(0)=1\\ y'&=&x-y+\mathcal U(t)e^t,\ y(0)=1. \end{array} \right.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Dans un circuit comprenant en série un condensateur de capacité $C$ et une résistance $R$, la tension $v$ aux bornes du condensateur est donnée par $$RC v'(t)+v(t)=e(t)$$ où $e(t)$ est la tension d'excitation aux bornes du circuit. Supposons que $v(0)=0$. Notons $V=\mathcal L(v)$ et $E=\mathcal L(e)$.
  1. Établir la relation entre $V$ et $E$ sous forme $V(p)=T(p)E(p)$ avec une fonction $T$ que l'on déterminera. La fonction $T$ est appelée fonction de transfert.
  2. En déduire la réponse du système, c'est-à-dire la tension $v(t)$, aux excitations suivantes :
    1. un échelon de tension, $e(t)=\mathcal U(t)$;
    2. un créneau $e(t)=H(t)-H(t-t_0)$.
    Tracer les graphes correspondants.
Indication
Corrigé
Plutôt pour BTS
Enoncé
Tracer le graphe et calculer la transformée de Laplace des fonctions suivantes : $$\begin{array}{lll} \mathbf 1.\ \mathcal U(t-1)-\mathcal U(t-2)&\quad&\mathbf 2. \mathcal U(t-2)(t-2)^2\\ \end{array} $$
Indication
Corrigé
Enoncé
Déterminer la transformée de Laplace des fonctions suivantes : $$ \begin{array}{lll} \mathbf 1.\ (2t^2-1)\mathcal U(t)&\quad&\mathbf 2.\ \left(e^t-\cos\left(\frac 23t\right)e^{2t}\right)\mathcal U(t)\\ \mathbf 3.\ te^{4t}\mathcal U(t) \end{array} $$
Indication
Corrigé
Enoncé
On pose $$f(t)=(1-\cos t)\mathcal U(t),\ g(t)=e^{-t}f(t).$$
  1. Montrer que $\mathcal L(f)(p)=\frac{1}{p(p^2+1)}$.
  2. Calculer, pour $t>0$, $g'(t)$. Que valent $\lim_{x\to 0^+}g(x)$ et $\lim_{x\to 0^+}g'(x)$?
  3. En déduire que $$\mathcal L\left(e^t g''\right)(p)=\frac{(p-1)^2}{p(p^2+1)}.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
  1. Soit $a>0$. Déterminer la transformée de Laplace de $t\mapsto t\mathcal U(t-a)$.
  2. On considère le signal suivant :
    Calculer, à partir de la définition, sa transformée de Laplace.
  3. Décomposer le signal en une combinaison linéaire de signaux élémentaires. Retrouver alors le résultat en utilisant le formulaire.
Indication
Corrigé
Enoncé
On considère la fonction causale $f$ dont le graphe est donné par la représentation graphique suivante :
  1. Déterminer l'expression de $f$ sur les intervalles $[0,1]$, $[1,2]$ et $[2,+\infty[$.
  2. Démontrer que $$f(t)=t\mathcal U(t)-2(t-1)\mathcal U(t-1)+(t-2)\mathcal U(t-2).$$
  3. En déduire la transformée de Laplace de $f$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Retrouver l'originale des transformée de Laplace suivantes :
  1. $\displaystyle \frac1{(p+1)(p-2)}$. On pourra chercher $a,b$ tels que $$\frac{1}{(p+1)(p-2)}=\frac a{p+1}+\frac b{p-2}.$$
  2. $\displaystyle \frac{e^{-2p}}{p+3}$.
  3. $\displaystyle \frac{5p+10}{p^2+3p-4}$. On pourra chercher $a$ et $b$ tels que $$\frac{5p+10}{p^2+3p-4}=\frac a{p+4}+\frac b{p-1}.$$
  4. $\displaystyle \frac{p-7}{(p-7)^2+1}$.
  5. $\displaystyle \frac{p}{p^2-6p+13}$. On pourra remarque que $p^2-6p+13=(p-3)^2+4$.
Indication
Corrigé
Exercice 15 - Équation différentielle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Déterminer $a$ et $b$ de sorte que $$\frac{p}{(p-1)(p+1)}=\frac a{p-1}+\frac b{p+1}.$$
  2. En déduire la fonction causale $f$ dont la transformée de Laplace est $\frac{p}{(p-1)(p+1)}$.
  3. On considère l'équation différentielle $$y'+y=e^t\mathcal U(t),\ y(0)=1.$$ Soit $y$ une fonction causale solution de l'équation dont on suppose qu'elle admet une transformée de Laplace $F$. Exprimer, en fonction de $F$, la transformée de Laplace de $y'$.
  4. Démontrer que $F$ satisfait l'équation $$F(p)=\frac{p}{(p-1)(p+1)}.$$
  5. En déduire $y$.
Indication
Corrigé
Exercice 16 - Équation différentielle du second ordre [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Déterminer $a,b,c$ tels que $$\frac{p^2-6p+10}{(p-1)(p-2)(p-3)}=\frac{a}{p-1}+\frac b{p-2}+\frac{c}{p-3}.$$
  2. On considère l'équation différentielle $$y''-3y'+2y=e^{3t}\mathcal U(t),\ y(0)=1,\ y'(0)=0.$$ On admet que $y$ admet une transformée de Laplace $F$. Démontrer que $$F(p)=\frac{p^2-6p+10}{(p-1)(p-2)(p-3)}.$$
  3. En déduire $y$.
Indication
Corrigé
Exercice 17 - Système différentiel [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On se propose de résoudre le système différentiel suivant : $$\left\{ \begin{array}{rcl} x'&=&-x+y+\mathcal U(t)e^t,\ x(0)=1\\ y'&=&x-y+\mathcal U(t)e^t,\ y(0)=1. \end{array} \right.$$ Pour cela, on admet que $x$ possède une transformée de Laplace notée $F$ et que $y$ possède une transformée de Laplace notée $G$.
  1. Démontrer que $F$ et $G$ sont solutions du système $$\left\{ \begin{array}{rcl} (p+1)F(p)-G(p)&=&\frac 1{p-1}+1=\frac p{p-1}\\ -F(p)+(p+1)G(p)&=&\frac1{p-1}+1=\frac p{p-1}. \end{array} \right.$$
  2. En déduire que $F(p)=G(p)=\frac{1}{p-1}$.
  3. En déduire $x$ et $y$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Dans un circuit comprenant en série un condensateur de capacité $C$ et une résistance $R$, la tension $v$ aux bornes du condensateur est donnée par $$RC v'(t)+v(t)=e(t)$$ où $e(t)$ est la tension d'excitation aux bornes du circuit. Supposons que $v(0)=0$. Notons $V=\mathcal L(v)$ et $E=\mathcal L(e)$.
  1. Établir la relation entre $V$ et $E$ sous forme $V(p)=T(p)E(p)$ avec une fonction $T$ que l'on déterminera. La fonction $T$ est appelée fonction de transfert.
    Dans la suite, on supposera que $R=1000\Omega$ et $C=0,002F$.
  2. On pose $F(p)=\frac{1}{p(2p+1)}$. Déterminer $a$ et $b$ de sorte que $$F(p)=\frac cp+\frac d{p+\frac 12}.$$ En déduire une fonction causale $f$ dont $F$ soit la transformée de Laplace.
  3. On suppose que l'excitation aux bornes du circuit est un échelon de tension, $e(t)=\mathcal U(t)$. Déterminer la réponse $v(t)$ du circuit. Représenter cette fonction à l'aide du logiciel de votre choix. Comment interprétez-vous cela?
  4. Déterminer une fonction causale dont la transformée de Laplace soit $$\frac{e^{(t-t_0)p}}{p-a}.$$
  5. On suppose que l'excitation aux bornes du circuit est un créneau, $e(t)=H(t)-H(t-t_0)$. Déterminer la réponse $v(t)$ du circuit. Représenter cette fonction à l'aide du logiciel de votre choix. Comment interprétez-vous cela? Tracer les graphes correspondants.
Indication
Corrigé
Enoncé
On considère la fonction causale $e$ définie sur $\mathbb R$ par $$e(t)=4\big(\mathcal U(t)-\mathcal U(t-2)\big).$$
  1. Représenter graphiquement $e$ dans un repère orthonormé.
  2. On note $E$ la transformée de Laplace de $e$. Calculer $E$.
  3. L'étude d'un circuit électrique conduit à étudier la tension de sortie $s$ reliée à la tension d'entrée $e$ par la formule $$4s'(t)+s(t)=e(t),\ s(0)=0.$$ On admet que $s$ admet une transformée de Laplace notée $S$. Démontrer que $$S(p)=\frac 1{p\left(p+\frac14\right)}\left(1-e^{-2p}\right).$$
  4. Déterminer des réels $a$ et $b$ tels que $$\frac 1{p\left(p+\frac14\right)}=\frac a{p}+\frac b{p+\frac 14}.$$
  5. Déterminer l'original des fonctions suivantes : $$ \frac 1p,\quad \frac{e^{-2p}}p,\quad \frac{1}{p+\frac 14},\ \frac{e^{-2p}}{p+\frac 14}.$$
  6. En déduire la valeur de $s$.
  7. Vérifier que $$s(t)=\left\{ \begin{array}{ll} 0&\textrm{si t<0}\\ 4-4e^{-t/4}&\textrm{si }0\leq t<2\\ 4\left(e^{1/2}-1\right)e^{-t/4}&\textrm{si }t\geq 2. \end{array}\right.$$
Indication
Corrigé