$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Transformée de Fourier

Fonctions intégrables
Enoncé
Calculer la transformée de Fourier de la fonction triangle définie par : $$f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 1+x&\textrm{si }-1\leq x\leq 0\\ 1-x&\textrm{si }0\leq x<1\\ 0&\textrm{sinon.}\end{array}\right.$$
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Transformée de Fourier et produit de convolution [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. En utilisant la transformée de Fourier, montrer que l'algèbre $L^1(\mtr)$ ne possède pas d'unité, c'est-à-dire qu'il n'existe pas de fonctions $g\in L^1(\mtr)$ telle que $f\star g=f$ pour tout $f\in L^1(\mtr)$.
  2. Resoudre dans $L^1(\mtr)$ l'équation $f\star f=f$.
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Calcul d'une transformée de Fourier par résolution d'une équation différentielle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
En formant une équation différentielle vérifiée par $f$, calculer la valeur de $$f(x)=\int_0^{+\infty}\frac{e^{-t}}{\sqrt t}e^{itx}dt.$$ On rappelle que $\int_0^{+\infty}e^{-u^2}du=\sqrt\pi/2$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Pour $\alpha>0$, on pose $f(x)=e^{-\alpha |x|}$.
  1. Calculer la transformée de Fourier de $f$.
  2. A l'aide de la formule de réciprocité, en déduire la transformée de Fourier de $x\mapsto\frac{1}{1+x^2}$.
  3. Calculer $f\star f$; calculer ainsi la transformée de Fourier de $x\mapsto\frac{1}{(1+x^2)^2}$.
  4. Déterminer la transformée de Fourier de $x\mapsto \frac{x}{(1+x^2)^2}$.
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Semi-groupe de la chaleur [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $t>0$, on pose $\dis q_t(x)=\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}e^{-x^2/4t}$. Calculer la transformée de Fourier de $q_t$. En déduire que $q_t\star q_s=q_{s+t}$ (la famille $(q_t)$ s'appelle semi-groupe de la chaleur).
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f\in L^1(\mtr)$ telle que $\xi\mapsto \xi\hat{f}(\xi)\in L^1(\mtr)$. Montrer que $f$ coïncide presque partout avec une fonction $g$ de classe $C^1$ sur $\mtr$ que l'on déterminera.
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Une équation intégrale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Le but de cet exercice est de rechercher des fonctions $u$ intégrables telles que, pour tout $x\in\mtr$, $$u(x)=e^{-|x|}+\beta\int_\mtr e^{-|x-s|}u(s)ds,$$ où $\beta$ est un réel strictement positif.
  1. On pose, pour $x\in\mathbb R$, $f(x)=e^{-|x|}$. Calculer la transformée de Fourier de $f$.
  2. Ecrire cette équation sous forme d'une équation faisant intervenir un produit de convolution.
  3. On suppose que l'équation admet une solution. Déterminer $\hat u$. En déduire que $\beta\in ]0,1/2[$.
  4. Réciproquement, on suppose $\beta\in ]0,1/2[$. Démontrer que l'équation admet une unique solution et la déterminer.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f\in L^1(\mathbb R)$.
  1. Démontrer que $$\int_{\mathbb R}f(x)e^{-itx^2}dx=\frac 12\int_0^{+\infty}\left(\frac{f(\sqrt u)}{\sqrt u}+\frac{f(-\sqrt u)}{\sqrt u}\right)e^{-iut}du.$$
  2. En déduire que $f$ est impaire si et seulement si, pour tout $t\in \mathbb R$, $\int_{\mathbb R}f(x)e^{-itx^2}dx=0$.
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Non-densité des translatées [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f\in L^1(\mtr^n)$ telle qu'il existe $x_0\in\mtr^n$ telle que $\hat{f}(x_0)=0$. Montrer que l'espace vectoriel engendré par les $(\tau_x f)$, $x\in\mtr^n$ n'est pas dense dans $L^1(\mtr^n)$, où $\tau_xf(t)=f(t-x)$.
Corrigé
Exercice 10 - Équation de la chaleur [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère une tige homogène très mince de longueur infinie. La température de la tige au temps $t\geq 0$ au point d'abscisse $x\in\mtr$ est notée $u(t,x)$. On suppose que cette fonction vérifie l'équation suivante, appelée équation de la chaleur : $$\left\{ \begin{array}{ll} \frac{\partial u}{\partial t}-\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=0&(t,x)\in]0,+\infty[\times\mtr\\ u(0,x)=u_0(x). \end{array}\right.$$ On suppose que $u_0\in L^1(\mtr)$, et on cherche une solution à l'équation précédente, $C^1$ par rapport à la variable temps, et $C^2$ par rapport à la variable d'espace.
  1. Analyse : On suppose que l'équation précédente possède une solution $u$ telle qu'il existe une fonction $g\in L^1(\mtr)$, tendant vers 0 en l'infini, vérifiant, pour tout $t\geq 0$, $$|u(t,x)|\leq g(x),\quad \left|\frac{\partial u}{\partial t}(t,x)\right|\leq g(x), \quad \left|\frac{\partial u}{\partial x}(t,x)\right|\leq g(x),\quad \left|\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(t,x)\right|\leq g(x).$$ On note $\mathcal{F}_x(u)(t,x)$ la transformée de Fourier de $u$ par rapport à la variable d'espace $x$ : $$\mathcal{F}_x(u)(t,x)=\int_{\mtr}u(t,\xi)e^{-2i\pi\xi x}d\xi.$$
    1. Montrer que $$\mathcal{F}_x\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)=\frac{\partial }{\partial t}\mathcal{F}_x(u).$$ Montrer aussi que $$\mathcal{F}_x\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right)=-4\pi^2 x^2\mathcal{F}_x(u).$$
    2. Pour chaque $x\in\mtr$ fixé, on note $v(t)=\mathcal{F}_x(u)(t,x)$. Montrer que $v$ est solution d'une équation différentielle en $t$.
    3. Résoudre cette équation.
    4. En déduire la valeur de $u$ - on rappelle que $$\mathcal{F}\left(\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}\exp\left(-\frac{x^2}{4t}\right)\right)(\xi)=e^{-4\pi^2 \xi^2 t}.$$
  2. Synthèse : vérifier que la fonction $u$ mise en évidence lors de l'analyse est bien solution de l'équation de la chaleur.
Indication
Corrigé
Enoncé
On note $W=L^1(\mtr)\cap \mathcal{F}(L^1(\mtr))$, espace de Wiener constitué des fonctions intégrables qui sont également la transformée de Fourier d'une fonction intégrable.
  1. Montrer que $f\in W\iff f\in L^1(\mtr)$ et $\hat{f}\in L^1(\mtr)$.
  2. Montrer que $f\in W\implies f\in L^p(\mtr)$ pour tout $p\in [1,+\infty]$.
  3. Montrer que $f\in W\iff \hat{f}\in W$.
  4. Montrer que si $(f,g)\in W^2$ alors $f\star g\in W$ et $fg\in W$.
  5. Pour $f\in W$, on pose $N(f)=\|f\|_1+\|\hat{f}\|_1$. Montrer que $N$ est une norme sur $W$.
  6. Dans cette question, on va prouver que $W$, muni de la norme $N$, est un espace de Banach. Pour cela, on considère $(f_n)$ une suite de Cauchy de $W$ pour cette norme.
    1. Montrer l'existence de $f\in L^1(\mtr)$ et de $g\in L^1(\mtr)$ tels que $\|f_n-f\|_1\to 0$ et $\|\hat{f_n}-g\|_1\to 0$.
    2. Montrer que $\hat{f}=g$ presque partout.
    3. En déduire que la suite $(f_n)$ converge dans $(W,N)$, puis que $(W,N)$ est un espace de Banach.
  7. On pose $h(x)=e^{-\pi x^2}$, et on pose $h_n(x)=nh(x/n)$, dont on rappelle que c'est une unité approchée.
    1. Prouver que si $f\in L^1(\mtr)$, alors $f\star h_n$ est continue.
    2. Prouver que si $f\in L^1(\mtr)$, alors $f\star h_n$ est dans $W$.
    1. Soit $f\in L^1(\mtr)\cap L^p(\mtr)$. Montrer que $\|f\star h_n-f\|_p\to 0$.
    2. En déduire que $W$ est dense dans $L^p(\mtr)$ pour $p\in[1,+\infty[$.
    1. Soit $f\in L^1(\mtr)\cap C_0(\mtr)$. Montrer que $\|f\star h_n-f\|_\infty\to 0$.
    2. En déduire que $W$ est dense dans $C_0(\mtr)$ muni de $\|.\|_\infty$.
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Non-Surjectivité de la transformée de Fourier [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On sait que la transformation de Fourier est une application linéaire continue de $L^1(\mtr)$ dans l'ensemble des fonctions continues de limite nulle à l'infini $C_0(\mtr)$. Le but de cet exercice est de prouver qu'ainsi définie, la transformée de Fourier n'est pas surjective, c'est-à-dire qu'il existe des fonctions de $C_0(\mtr)$ qui ne sont pas la transformée de Fourier d'une fonction de $L^1(\mtr)$. On fixe $f\in L^1(\mtr)$, impaire.
  1. Montrer que pour tout $x\in\mtr$, on a : $$\hat{f}(x)=-2i \int_0^{+\infty} f(t)\sin(2\pi xt)dt.$$
  2. Prouver que la fonction $\phi(x)=\int_x^{+\infty}\frac{\sin u}{u}du$ est définie, continue et bornée sur $[0,+\infty[$.
  3. Montrer que l'on a : $$\int_1^R \frac{\hat{f}(t)}{t}dt=\int_0^{+\infty}-2i f(x)\left(\int_{2\pi x}^{2\pi R x}\frac{\sin u}{u}du\right)dx.$$ En déduire : $$\lim_{R\to +\infty}\int_1^R \frac{\hat{f}(t)}{t}dt=-2i\int_0^{+\infty}f(x)\phi(2\pi x)dx.$$
  4. Soit $g$ la fonction définie sur $\mtr$ par $$g(x)=\frac{\arctan x}{\ln(2+x^2)}.$$
    1. Montrer que $g\in C_0(\mtr)$.
    2. On suppose que $g$ est la transformée de Fourier d'une fonction intégrable $f$. Montrer que $f$ est nécessairement impaire (presque partout).
    3. En déduire que $g$ n'est pas la transformée de Fourier d'une fonction intégrable.
Indication
Corrigé
Exercice 13 - Non-surjectivité de la transformée de Fourier [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Soit $g_n$ l'indicatrice de $[-n,n]$, et $h$ l'indicatrice de $[-1,1]$. Calculer explicitement $g_n\star h$.
  2. Montrer que $g_n\star h$ est la transformée de Fourier de $$f_n=\frac{1}{x^2 \pi^2}\sin(2\pi nx)\sin(2\pi x).$$
  3. Montrer que $\|f_n\|_1\to+\infty$.
  4. En déduire que la transformée de Fourier n'est pas un opérateur surjectif de $L^1(\mtr)$ dans $C_0(\mtr)$.
  5. Montrer que son image est dense.
Indication
Corrigé
Exercice 14 - Une base hilbertienne de $L^2(\mtr)$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Soit $H$ un espace de Hilbert, et E un sous espace vectoriel de $H$.
    1. Montrer que $(E^\perp)^\perp=\overline{E}$.
    2. En déduire $E^\perp=\{0\}$ si, et seulement si, $E$ est dense dans $H$.
  2. On suppose désormais que $H=L^2(\mtr)$. Le but est d'étudier la famille $(x^ne^{-x^2/2})$.
    1. Montrer qu'il s'agit d'une famille libre.
    2. Supposons qu'il existe une fonction $h\in H$ telle que $\langle h,x^ne^{-x^2/2}\rangle=0$ pour tout $n$. Montrer que la transformée de Fourier de $x\mapsto h(x)e^{-x^2/2}$ est bien définie, et est de classe $C^\infty$. On note $g$ cette fonction, $$g(t)=\int_{\mtr}e^{-x^2/2}h(x)e^{-2i\pi x t}dx.$$ Que vaut $g^{(n)}(0)$?
    3. Montrer qu'à l'aide de la formule précédente, on peut en fait définir $g$ comme fonction holomorphe sur $\mtc$. Que dire de $g$?
    4. En déduire que $h=0$.
    1. Démontrer que la famille s'orthonormalise en une famille $(H_n(x)e^{-x^2/2})$, où $H_n$ est un polynôme de degré $n$ (que l'on ne demande pas de calculer). Que dire de la famille $(H_n(x)e^{-x^2/2})$?
    2. Démontrer que les $H_n$ sont égaux, à un coefficient près (que l'on ne demande pas de calculer), aux polynômes de Hermite $$H_n^*(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}(e^{-x^2}).$$
Indication
Corrigé
Transformée de Fourier-Plancherel
Enoncé
On rappelle que la transformée de Fourier de la fonction triangle définie par : $$f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 1+x&\textrm{si }-1\leq x\leq 0\\ 1-x&\textrm{si }0\leq x<1\\ 0&\textrm{sinon.}\end{array}\right.$$ est $\hat{f}(t)=\frac{\sin^2(\pi t)}{\pi^2 t^2}$. Calculer $\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin^4 x}{x^4}dx.$
Indication
Corrigé
Enoncé
  1. Calculer la transformée de Fourier de la fonction caractéristique d'un intervalle $[a,b]$.
  2. Soit $\theta(x)=\frac{\sin x}{x}$. La fonction $\theta$ est-elle dans $L^1$? Dans $L^2$? Calculer sa transformée de Fourier-Plancherel.
Indication
Corrigé
Exercice 17 - Fourier et Fourier-Plancherel [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $f\in L^1(\mtr)$, on note $\hat{f}$ la transformée de Fourier de $f$. Pour $g\in L^2(\mtr)$, on note $\mathcal{F}(g)$ la transformée de Fourier-Plancherel de $g$.
  1. Soit $f\in L^1(\mtr)$ et $g\in L^2(\mtr)$. Parmi les deux formules suivantes, laquelle peut avoir un sens? $$\widehat{f\star g}=\hat{f}\mathcal{F}(g)\textrm{ ou }\mathcal{F}(f\star g)=\hat{f}\mathcal{F}(g).$$ La démontrer.
  2. Soit $f,g\in L^2(\mtr)$. Parmi les deux formules suivantes, laquelle peut avoir un sens? $$\mathcal{F}(f)\star\mathcal{F}(g)=\mathcal{F}(fg)\textrm{ ou } \mathcal{F}(f)\star\mathcal{F}(g)=\widehat{fg}.$$ La démontrer.
  3. On note $f_a(x)=\frac{\sin(\pi ax)}{\pi x}$. Déduire de la question précédente $f_a\star f_b$, avec $a,b>0$.
  4. Montrer que l'équation $f\star f=f$, où $f\in L^2(\mtr)$ admet une infinité de solutions. Comparer avec le cas où $f\in L^1(\mtr)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
On rappelle qu'une partie $A$ d'un espace de Hilbert $H$ est totale dans $H$ (ie $\vect(A)$ est dense dans H) si et seulement si $A^\perp=\{0\}$.
  1. Soit $f\in L^2(\mtr^n)$ et $x\in\mtr^n$. Montrer que $\mathcal{F}(\tau_x f)(y)=e^{-2\pi ixy}\mathcal{F}f(y)$ pour presque tout $y\in\mtr^n$.
  2. Soit $f\in L^2(\mtr^n)$ telle que $\mathcal{F}(f)=0$ sur un ensemble $A$ de mesure strictement positive. Montrer qu'il existe $g\neq 0$ telle que $\langle g,h\rangle=0$ pour tout $h\in\vect(\tau_x f;\ x\in\mtr^n)$.
  3. En déduire que si $\vect(\tau_x f;x\in\mtr^n)$ est dense, alors $\mathcal{F}(f)\neq 0$ presque partout.
  4. Réciproquement, on suppose que $\mathcal{F}(f)\neq 0$ presque partout, et on suppose que $g\perp \vect(\tau_x f;x\in\mtr^n)$. Montrer que la transformée de Fourier (ordinaire!) de $\overline{\mathcal{F}(f)}\mathcal{F}(g)$ est identiquement nulle. Conclure que $\vect(\tau_x f; x\in\mtr^n)$ est dense.
Corrigé
Enoncé
On rappelle les résultats suivants :
  • Si $f,g\in L^2(\mtr)$, alors $\widehat{fg}=\mathcal{F}(f)\star\mathcal{F}(g).$
  • $\mathcal{F}(1_{-[a,a]})=\frac{\sin(2\pi a x)}{\pi x}$ et réciproquement $\mathcal{F}(\sin x/x)=\pi\times1_{[-1/2\pi,1/2\pi]}.$
Pour $f\in L^2(\mtr)$, on pose $$Pf(x)=\frac{1}{\pi}\int_{\mtr}f(x-y)\frac{\sin y}{y}dy.$$
  1. Justifier que $Pf$ est bien définie et est une fonction continue.
  2. Montrer que $Pf\in L^2(\mtr)$ (on s'aidera des rappels, et on pourra écrire $f=\mathcal{F}(g)$).
  3. En déduire que $\|Pf\|_2\leq \|f\|_2$, et que $P\circ P=P$.
Corrigé
Transformée de Fourier des fonctions de la classe de Schwartz
Exercice 20 - Produit et produit de convolution [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $f$ et $g$ deux élements de $\mcs(\mtr)$. Justifier que $fg$ et $f\star g$ sont encore éléments de $\mcs(\mtr)$.
Indication
Corrigé
Exercice 21 - Une estimation d'intégrale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(x,y)\mapsto f(x,y)$ une fonction de $\mathcal{S}(\mtr^2)$.
  1. Montrer que $$\left\|\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\right\|_2=(2\pi)^2\left\|xy\hat{f}\right\|_2.$$
  2. Obtenir une estimation du même type pour $\left\|\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}\right\|_2$.
  3. En déduire que $$2\left\|\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}\right\|_2\leq \left\|\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}\right\|_2.$$
Indication
Corrigé
Exercice 22 - Principe d'incertitude d'Heisenberg [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\varphi\in\mcs(\mtr)$ à valeurs réelles, telle que $\int_\mtr \varphi^2=1$.
  1. Montrer que $$2\int_{\mtr}t\varphi'(t)\varphi(t)=-1.$$
  2. En déduire que $$\left(\int_{\mtr}\omega^2 |\hat{\varphi}(\omega)|^2d\omega \right)^{1/2}\left(\int_{\mtr}t^2|\varphi(t)|^2dt\right)^{1/2}\geq \frac{1}{4\pi}.$$
  3. Dans quels cas a-t-on égalité?
Indication
Corrigé