$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Topologie des espaces vectoriels normés

Ouverts et fermés
Enoncé
Déterminer si les ensembles suivants sont ouverts ou fermés : $$\begin{array}{lll} A=\{(x,y)\in \mtr^2 \mid 0<\vert x-1\vert <1 \}&\quad\quad& B=\{(x,y)\in \mtr^2 \mid 0\leq x\leq y\}\\ C=\{(x,y)\in \mtr^2 \mid \vert x\vert <1,\; \vert y\vert \leq 1 \}&\quad\quad& D=\{(x,y)\in \mtr^2 \mid x\in \mtq\textrm{ et }y\in \mtq \}\\ E=\{(x,y)\in \mtr^2 \mid x\not\in \mtq \textrm{ ou }\ y\not\in \mtq \}&\quad\quad& F=\{(x,y)\in \mtr^2 \mid x^2+y^2 <4 \}. \end{array}$$
Corrigé
Exercice 2 - Exemples d'ouverts et de fermés de $\mathbb R$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Dans l'espace vectoriel normé $\mathbb R$, déterminer si les parties suivantes sont ouvertes ou fermées : $\mathbb N$, $\mathbb Z$, $\mathbb Q$, $[0,1[$, $[0,+∞[$, $]0,1[\cup {2}$, $\{1/n, n \in\mathbb N^*\}$, $\bigcap_{n\geq 1}]-1/n,1/n[$.
Corrigé
Enoncé
Soit $\lambda>0$. Pour tout entier $n\geq 1$, on note $B_n$ le disque $$B_n=\left\{(x,y)\in\mathbb R^2;\ \left(x-\frac 1n\right)^2+\left(y-\frac 1n\right)^2\leq \frac{\lambda^2}{n^2}\right\}.$$
  1. A quelle condition sur $\lambda$ a-t-on $B_{n+1}\subset B_n$.
  2. Soit $B=\bigcup_{n\geq 1} B_n$. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $\lambda$ pour que $B$ soit fermé.
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Somme d'un ensemble et d'un ouvert ou d'un fermé [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé, et $A$ et $B$ deux parties de $E$. On définit : $$A+B=\left\{z\in E;\ \exists x\in A,\ \exists y\in B,\ z=x+y\right\}.$$
  1. Démontrer que si $A$ est ouvert, alors $A+B$ est ouvert.
  2. Démontrer que les parties $A=\{(x,y)\in\mathbb R^2;\ xy=1\}$ et $B=\{0\}\times \mathbb R$ sont fermées.
  3. Démontrer que $A+B$ n'est pas fermée.
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Sous-espace vectoriel ouvert [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$. On suppose que $F$ est ouvert. Démontrer que $F=E$.
Indication
Corrigé
Exercice 6 - Séparation par des ouverts de deux parties à distance positive [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé et $A$, $B$ deux parties de $E$. On suppose que $\inf_{x\in A,y\in B}\|x-y\|>0$. Démontrer qu'il existe deux ouverts $U$ et $V$ de $E$ tels que $A\subset U$, $B\subset V$ et $U\cap V=\varnothing$.
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Tout ouvert de $\mathbb R$ est réunion d'intervalles ouverts [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Dans cet exercice, la notation $(x,y)$ désigne le segment $[x,y]$ ou le segment $[y,x]$ suivant l'ordre de $x$ et de $y$. On considère $U$ un ouvert de $\mathbb R$. On définit une relation sur les éléments de $U$ par $$x\mathcal R y\iff (x,y)\subset U.$$
  1. Démontrer que $\mathcal R$ est une relation d'équivalence. Pour $x\in U$, on note $C(x)$ la classe d'équivalence de $x$.
  2. Démontrer que $C(x)$ est un intervalle.
  3. Démontrer que $C(x)$ est un intervalle ouvert.
  4. En déduire que $U$ est réunion d'intervalles ouverts deux à deux disjoints.
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Quelques parties de l'ensemble des suites bornées [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ l'espace vectoriel des suites bornées, muni de la norme $\|u\|_\infty=\sup_{n\in\mathbb N}|u_n|.$ Déterminer si les ensembles suivants sont fermés ou non : $$A=\{\textrm{suites croissantes}\},\ B=\{\textrm{suites convergeant vers 0}\}.$$
Corrigé
Intérieur et adhérence
Enoncé
Déterminer l'intérieur et l'adhérence des parties de $\mathbb R^2$ suivantes : \begin{eqnarray*} A&=&\left\{(x,y)\in\mathbb R^2;\ x>0\right\}\\ B&=&\left\{(x,y)\in\mathbb R^2; \ xy=1\right\}\\ C&=&\left\{(x,y)\in\mathbb R^2;\ xy>1\right\}\\ D&=&\left\{(x,y)\in\mtr^2\mid x^2+y^2\le 2\right\} \setminus \left\{(x,y)\in \mtr^2 \mid (x-1)^2+y^2<1\right\}. \end{eqnarray*}
Corrigé
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé. Montrer que l'adhérence d'une boule ouverte est la boule fermée de même rayon.
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Adhérence et intérieur d'un sous-espace vectoriel [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé, et $V$ un sous-espace vectoriel de $E$.
  1. Montrer que $\bar V$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
  2. Montrer que si $\stackrel{\circ}V\neq\varnothing$, alors $V=E$.
  3. Application : soit $H$ un hyperplan de $E$. Démontrer que $H$ est ou bien fermé ou bien dense dans $E$.
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Adhérence dans l'espace des fonctions continues [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère sur $E$ l'espace vectoriel des fonctions continues de $[0,1]$ dans $\mathbb R$ les deux normes suivantes : $$\|f\|_\infty=\sup_{t\in [0,1]}|f(t)|\textrm{ et }\|f\|_1=\int_0^1 |f(t)|dt.$$ On note $F=\{f\in E;\ f(0)=0\}$. Déterminer l'adhérence de $F$ dans $E$ pour chacune des deux normes précédentes.
Indication
Corrigé
Exercice 13 - Exemple dans les fonctions continues [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ l'espace vectoriel des fonctions continues sur $[0,1]$ à valeurs dans $\mathbb R$, muni de $\|\cdot\|_\infty$. On note $D$ l'ensemble des fonctions de $E$ qui sont dérivables et $P$ l'ensemble des fonctions de $E$ qui sont polynomiales. Déterminer l'intérieur de $D$ et de $P$.
Indication
Corrigé
Exercice 14 - Opérations ensemblistes, intérieur et adhérence [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $A,B$ deux parties d'un espace vectoriel normé $(E,\|\cdot\|)$.
  1. On suppose $A\subset B$. Démontrer que $\mathring A\subset\mathring B$ et que $\bar A\subset\bar B$.
  2. Démontrer que $(A\cap B)^\circ=\mathring A\cap\mathring B$ et que $\mathring A\cup\mathring B\subset ( A\cup B)^\circ$, mais que l'inclusion peut être stricte.
  3. Comparer $\overline{A\cap B}$ et $\bar A\cap \bar B$, puis $\overline{A\cup B}$ et $\bar A\cup \bar B$.
Indication
Corrigé
Exercice 15 - Fermeture et adhérence d'un convexe [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $C$ une partie convexe d'un espace vectoriel normé. Démontrer que l'adhérence de $C$ est convexe, puis que l'intérieur de $C$ est convexe.
Indication
Corrigé
Exercice 16 - Un exemple un peu compliqué [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Donner un exemple d'ensemble $A$ tel que $A$, l'adhérence de $A$, l'intérieur de $A$, l'adhérence de l'intérieur de $A$ et l'intérieur de l'adhérence de $A$ sont des ensembles distincts deux à deux.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $A$ une partie d'un espace vectoriel normé $E$. On rappelle que la frontière de $A$ est l'ensemble $\Fr(A)=\bar A\backslash \stackrel{\circ}{A}=\bar A\cap \overline{C_E A}$. Montrer que :
  1. $ \Fr(A)=\{x\in E \mid \forall \epsilon>0, B(x,\epsilon)\cap A \neq\emptyset \textrm{ et } B(x,\epsilon)\cap C_E A\neq\emptyset\}$.
  2. $\Fr(A)=\Fr(C_E A)$.
  3. $A$ est fermé si et seulement si $\Fr(A)$ est inclus dans $A$.
  4. $A$ est ouvert si et seulement si $\Fr(A)\cap A=\emptyset$.
  5. Montrer que si $A$ est fermé, alors $\Fr(\Fr(A))=\Fr(A)$.
Indication
Corrigé
Exercice 18 - Diamètre d'une partie bornée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé Soit $A$ une partie non vide et bornée de $E$. On définit $\diam(A)=\sup \{\|y-x\|, x,y\in A\}$.
  1. Démontrer que $\bar A$ et $\Fr(A)$ sont également bornés.
  2. Comparer $\diam(A)$, $\diam(\stackrel{\circ}{A})$ et $\diam(\bar A)$ lorsque $\stackrel{\circ}{A}$ est non vide.
    1. Montrer que $\diam(\Fr(A)) \le \diam(A)$.
    2. Soit $x$ un élément de $A$, et $u$ un élément de $E$ avec $u\neq 0$. On considère l'ensemble $X=\{t\ge 0 \mid x+tu\in A\}$. Montrer que $\sup X$ existe.
    3. En déduire que toute demi-droite issue d'un point $x$ de $A$ coupe $\Fr(A)$.
    4. En déduire que $\diam(\Fr(A)) = \diam (A)$.
Indication
Corrigé
Partie dense
Exercice 19 - Intersection d'ouvert denses [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $U$ et $V$ deux ouverts denses d'un espace vectoriel normé $E$. Démontrer que $U\cap V$ reste dense.
Corrigé
Exercice 20 - Tantôt fermé, tantôt dense [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E=\mathcal C([0,1],\mathbb R)$ et $F=\{f\in E;\ f(0)=0\}$.
  1. On munit $E$ de la norme $\|f\|_\infty=\sup_{x\in [0,1]}|f(x)|$. Démontrer que $F$ est fermé dans $(E,\|\cdot\|_\infty)$.
  2. On munit $E$ de la norme $\|f\|_1=\int_{0}^1|f(x)|$. Démontrer que $F$ est dense dans $(E,\|\cdot\|_1)$.
Indication
Corrigé
Exercice 21 - Différence de deux suites [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites de nombres réels telles que $$u_n\to+\infty,\ v_n\to+\infty,\ u_{n+1}-u_n\to 0.$$
  1. Soit $\veps>0$ et $n_0\in\mathbb N$ tels que, pour tout $n\geq n_0$, $|u_{n+1}-u_n|\leq\veps$. Démontrer que, pour tout $a\geq u_{n_0}$, il existe $n\geq n_0$ tel que $|u_n-a|\leq \veps$.
  2. En déduire que $\{u_n-v_p;\ n,p\in\mathbb N\}$ est dense dans $\mathbb R$.
  3. Montrer que l'ensemble $\{\cos(\ln n);\ n\geq 1\}$ est dense dans $[-1,1]$.
Indication
Corrigé
Exercice 22 - Sous-groupes de $\mathbb R$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $H$ un sous-groupe de $(\mathbb R,+)$ non réduit à $\{0\}$.
  1. Justifier l'existence de $m=\inf\{x\in H;\ x>0\}$.
  2. On suppose que $m>0$. Démontrer que $m\in H$ puis que $H=m\mathbb Z$.
  3. On suppose que $m=0$. Démontrer que $H$ est dense dans $\mathbb Z$.
  4. En déduire que, si $a$ et $b$ sont deux réels non nuls, $a\mathbb Z+b\mathbb Z$ est dense dans $\mathbb R$ si et seulement si $\frac ab\notin\mathbb Q$.
Indication
Corrigé
Applications continues
Enoncé
Démontrer que les deux ensembles suivants sont ouverts : $$F=\left\{(x,y)\in\mtr^2;\ x^2<\exp(\sin y)- 12\right\},\quad\quad G=\{(x,y)\in\mtr^2; -1<\ln (x^2+1)<1\}.$$
Indication
Corrigé
Exercice 24 - Continuité et équation fonctionnelle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé, et $h:E\to E$ une application continue admettant une limite $\ell$ en $0$ et vérifiant $h(x)=h(x/2)$ pour tout $x\in E$. Démontrer que $h$ est constante.
Indication
Corrigé
Exercice 25 - Séparation de deux fermés [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $A$ et $B$ deux fermés d'un espace vectoriel normé $(E,\|\cdot\|)$.
  1. Démontrer que $A\cap B=\varnothing\iff \forall x\in E,\ d(x,A)+d(x,B)>0$.
  2. On suppose que $A$ et $B$ sont disjoints. Démontrer qu'il existe $f:E\to E$ continue telle que $f_{|A}=0$ et $f_{|B}=1$.
  3. En déduire qu'il existe deux ouverts $U$ et $V$ de $E$ tels que $A\subset U$, $B\subset V$ et $U\cap V\neq\varnothing$.
Indication
Corrigé
Exercice 26 - Une équation fonctionnelle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction continue telle que $$\forall x,y\in\mathbb R,\ f\left(\frac{x+y}2\right)=\frac{1}{2}\big(f(x)+f(y)\big).$$
  1. Démontrer que $\mathcal D=\{p/2^n;\ p\in\mathbb Z,\ n\in\mathbb N\}$ est dense dans $\mathbb R$.
  2. Démontrer que si $f$ s'annule en 0 et en 1, alors $f=0$.
  3. Conclure que dans le cas général, $f$ est affine.
Indication
Corrigé
Exercice 27 - Espace vectoriel des fonctions lipschitiziennes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A$ une partie bornée d'un espace vectoriel normé $(E,\|\cdot\|)$. On note $\mathcal L$ l'espace vectoriel des applications lipschitziennes de $A$ dans $E$.
  1. Démontrer que les éléments de $\mathcal L$ sont des fonctions bornées.
  2. Pour $f\in\mathcal L$, on pose $$K_f=\{k\in\mathbb R_+;\ \forall (x,y)\in A^2,\ \|f(x)-f(y)\|\leq k\|x-y\|\}.$$ Démontrer que $K_f$ admet une borne inférieure. Dans la suite, on notera $C_f$ cette borne inférieure.
  3. Justifier que $C_f\in K_f$.
  4. Démontrer que si $f,g\in\mathcal L$, alors $C_{f+g}\leq C_f+C_g$.
  5. Pour $a\in A$, on note $N_a(f)=\|f(a)\|+C_f$. Démontrer que $N_a$ est une norme sur $\mathcal L$.
  6. Soient $a\neq b\in A$. Les normes $N_a$ et $N_b$ sont-elles équivalentes?
Indication
Corrigé
Exercice 28 - Continuité uniforme en deux variables [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
La fonction $f:\mathbb R^2\to\mathbb R,\ (x,y)\mapsto xy$ est-elle uniformément continue?
Corrigé
Exercice 29 - Une réciproque du théorème des valeurs intermédiaires [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $I$ un intervalle de $\mathbb R$ non réduit à un point et $f:I\to\mathbb R$. On dit que $f$ vérifie la propriété des valeurs intermédiaires si pour tout $(a,b)\in I^2$ avec $a<b$ et pour tout réel $\lambda$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe $c\in[a,b]$ tel que $f(c)=\lambda$. Démontrer que $f$ est continue sur $I$ si et seulement si $f$ vérifie la propriété des valeurs intermédiaires, et si pour tout $x\in I$, $f^{-1}(\{f(x)\})$ est fermé dans $I$.
Indication
Corrigé
Suites dans un evn
Exercice 30 - Suites extraites et coordonnées [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Une suite $(u_n)$ de $(\mathbb R^m,\|\cdot\|_\infty)$ telle que chacune des suites composantes admet une valeur d'adhérence admet-elle une valeur d'adhérence?
Indication
Corrigé