$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Nombres réels

Techniques usuelles de majoration et de minoration
Enoncé
Encadrer $x+y$, $x-y$, $xy$ et $x/y$ sachant que $x\in [3,6]$ et $y\in [-4,-2]$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $a,b,c$ trois nombres réels.
  1. Démontrer que $ab\leq\frac{a^2+b^2}2$.
  2. Démontrer que $ab+bc+ac\leq a^2+b^2+c^2$.
  3. Démontrer que $3ab+3bc+3ac\leq (a+b+c)^2$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Déterminer les nombres réels $y$ solution des inéquations suivantes : $$ \begin{array}{lll} \mathbf{1.}\ (y+1)(y-1)>(y+1)^2&\quad&\mathbf{2.}\ \lambda y+7\geq 3y-5\lambda,\ \lambda\in\mathbb R\textrm{ donné.} \end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Une équation avec des racines carrées [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer les réels $x$ tels que $\sqrt{2-x}=x$.
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Une inéquation avec des racines carrées [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre l'inéquation $x-1\leq \sqrt{x+2}$.
Indication
Corrigé
Valeur absolue
Exercice 6 - Maximum et valeur absolue [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $x$ et $y$ deux nombres réels. Démontrer que $$\max(x,y)=\frac12(x+y+|x-y|)$$ $$\min(x,y)=\frac12(x+y-|x-y|).$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Démontrer les propositions suivantes :
  1. Si $a$ est un réel tel que, pour tout $\veps>0$, on ait $|a|<\veps$, alors $a=0$.
  2. Si $a$ et $b$ sont deux réels tels que, pour tout $x\in\mathbb R$, $b<x\implies a<x$, alors $a\leq b$.
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Egalités et inégalités avec des valeurs absolues [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre dans $\mathbb R$ les équations et inéquations suivantes : $$\begin{array}{lll} \mathbf{1.}\ |x+3|=5&\quad& \mathbf{2.}\ |x+3|\leq 5\\ \mathbf{3.}\ |x+2|>7&\quad& \mathbf{4.}\ |2x-4|\leq |x+2|\\ \end{array} $$
Indication
Corrigé
Enoncé
Résoudre dans $\mathbb R$ ou $\mathbb R^*$ les inégalités suivantes : $$\mathbf 1.\ |x+1|+|x-3|\leq 6\quad\quad\mathbf 2. \left|\frac 1x-2\right|\leq 3.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Démontrer que, pour tout $x\in\mathbb R$, $|x-1|\leq x^2-x+1$.
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Égalités et inégalités avec des valeurs absolues [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre dans $\mathbb R$ les équations et inéquations suivantes : $$\begin{array}{lll} \mathbf{1.}\ |x+12|=|x^2-8|&\quad&\mathbf{2.}\ |x+12|\leq |x^2-8|. \end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Inégalités avec des valeurs absolues [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $x$ et $y$ des réels. Démontrer les inégalités suivantes : $$\begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf 1.\ |x|+|y|\leq |x+y|+|x-y|&&\displaystyle\mathbf 2.\ 1+|xy-1|\leq (1+|x-1|)(1+|y-1|)\\ \displaystyle\mathbf 3.\ \frac{|x+y|}{1+|x+y|}\leq \frac{|x|}{1+|x|}+\frac{|y|}{1+|y|}. \end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 13 - Inégalité avec un maximum et des valeurs absolues [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $x,y$ deux réels non nuls. Démontrer que $$\max(|x|,|y|)\left| \frac x{|x|}-\frac y{|y|}\right|\leq 2|x-y|.$$
Indication
Corrigé
Partie entière
Exercice 14 - Partie entière et somme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $a,b$ deux réels. Prouver que $$\lfloor a\rfloor +\lfloor b\rfloor \leq \lfloor a+b\rfloor \leq \lfloor a\rfloor +\lfloor b\rfloor +1.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $x\in\mathbb R$ et $n\in\mathbb N^*$. Démontrer que $$\left \lfloor \frac{\lfloor nx\rfloor}{n}\right\rfloor =\lfloor x\rfloor.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Calculer $\sum_{k=1}^{2010}\lfloor \sqrt k\rfloor $.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $x$ un nombre réel.
  1. Démontrer que $\lfloor x\rfloor+\left\lfloor x+\frac 12\right\rfloor=\lfloor 2x\rfloor$.
  2. Plus généralement, démontrer que pour tout $n\geq 2$, $$\sum_{k=0}^{n-1}\left\lfloor x+\frac kn\right\rfloor=\lfloor nx\rfloor.$$
Indication
Corrigé
Exercice 18 - Partie entière et somme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $x,y$ des réels. Démontrer que $\lfloor x\rfloor+\lfloor x+y\rfloor+\lfloor y\rfloor \leq \lfloor 2x\rfloor +\lfloor 2y\rfloor.$
Indication
Corrigé
Exercice 19 - Avec des racines carrées [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\in\mathbb N^*$. Vérifier que $(2+\sqrt 3)^n+(2-\sqrt 3)^n$ est un entier pair. En déduire que la partie entière de $(2+\sqrt 3)^n$ est un entier impair.
Indication
Corrigé
Borne inférieure, borne supérieure
Enoncé
Soient $a,b$ deux réels strictement positifs. Les parties suivantes sont-elles majorées, minorées? Si oui, déterminer leurs bornes supérieures, inférieures. $$\begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf 1.\ \{a+bn;\ n\in\mathbb N\}&&\displaystyle\mathbf 2.\ \{a+(-1)^n b;\ n\in\mathbb N\}\\ \displaystyle\mathbf 3.\ \{a+b/n;\ n\in\mathbb N^*\}&&\displaystyle\mathbf 4.\ \{(-1)^n a+b/n;\ n\in\mathbb N^*\}\\ \displaystyle\mathbf 5.\ \{a+(-1)^n b/n;\ n\in\mathbb N^*\}. \end{array}$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Les ensembles suivants sont-ils majorés? minorés? Si oui, déterminer leur borne inférieure, leur borne supérieure. $$\begin{array}{lll} A=\{x\in\mathbb R;\ x^2<2\}&\quad&B=\left\{\frac 1n;\ n\in\mathbb N^*\right\}\\ C=\left\{\frac1n-\frac 1p;\ (p,n)\in\mathbb N^*\right\}. \end{array}$$
Corrigé
Enoncé
Les parties de $\mathbb R$ suivantes sont elles-minorées, majorées? Dans chaque cas, déterminer s'il y a lieu la borne inférieure, la borne supérieure, et dire s'il s'agit d'un minimum ou d'un maximum. $$A=\left\{\frac{n}{mn+1};\ (m,n)\in\mathbb N^{*2}\right\},\quad\quad B=\left\{\frac{n}{mn+1};\ (m,n)\in\mathbb N^2\right\}.$$
Corrigé
Exercice 23 - Somme et somme des carrés [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\in\mathbb N^*$.
  1. Soit $a_1,\dots,a_n$ des réels. Exprimer $\sum_{k=1}^n (1-a_k)^2$ en fonction de $\sum_{k=1}^n a_k$ et de $\sum_{k=1}^n a_k^2$.
  2. On note $$E_n=\left\{x\in\mathbb R;\ \exists (a_k)_{k\in \{1,\dots,n\}}\in\mathbb R^n;\ x=\sum_{k=1}^n a_k=\sum_{k=1}^n a_k^2\right\}.$$ $E_n$ est-il majoré? $E_n$ est-il minoré? Possède-t-il un plus grand élément? Un plus petit élément?
Indication
Corrigé
Exercice 24 - Plus petit et plus grand [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $A$ et $B$ deux parties non-vides de $\mathbb R$ telles que : $$\forall a\in A,\ \forall b\in B,\ a\leq b.$$ Démontrer que $A$ est majoré, $B$ est minoré et $\sup(A)\leq \inf(B)$.
Indication
Corrigé
Exercice 25 - Borne sup non atteinte [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A$ une partie de $\mathbb R$ majorée et on note $M=\sup A$. On suppose que $M\notin A$. Démontrer que, pour tout $\veps>0$, l'intervalle $]M-\veps,M[$ contient une infinité d'éléments de $A$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $A$ et $B$ deux parties non-vides et bornées de $\mathbb R$, et $x\in\mathbb R$. On note $$\begin{array}{lcl} \displaystyle-A=\{-a;\ a\in A\}&&A+B=\{a+b;\ a\in A,b\in B\}\\ \displaystyle x+A=\{x+a;\ a\in A\}&&AB=\{ab;\ a\in A,b\in B\}. \end{array}$$
  1. Montrer que $\sup(-A)=-\inf(A)$.
  2. Montrer que $\sup(A+B)=\sup(A)+\sup(B)$.
  3. Montrer que $\sup(x+A)=x+\sup (A)$.
  4. A-t-on toujours $\sup(AB)=\sup(A)\times \sup(B)$? Quelle hypothèse peut-on ajouter pour que cela soit vrai?
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $A$ une partie non-vide et bornée de $\mathbb R$. On note $B=\{|x-y|;\ (x,y)\in A^2\}$.
  1. Justifier que $B$ est majorée.
  2. On note $\delta(A)$ la borne supérieure de cet ensemble. Prouver que $\delta(A)=\sup(A)-\inf(A)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
  1. Vérifier que, pour tous réels $x_i,x_j>0$, on a $$\frac{x_i}{x_j}+\frac{x_j}{x_i}=\frac{x_i^2+x_j^2}{x_ix_j}\geq 2.$$
  2. Soit $n\geq 1$ fixé. Déterminer $$\inf\left\{(x_1+\dots+x_n)\left(\frac 1{x_1}+\dots+\frac 1{x_n}\right);\ x_1,\dots,x_n\in\mathbb R_+^*\right\}.$$
Indication
Corrigé
Exercice 29 - Application à l'existence d'un point fixe d'une application croissante de $[0,1]$ dans $[0,1]$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[0,1]\to[0,1]$ une application croissante. On note $E=\{x\in [0,1]; f(x)\geq x\}$.
  1. Montrer que $E$ admet une borne supérieure $b$.
  2. Prouver que $f(b)=b$.
Indication
Corrigé
Exercice 30 - Borne supérieure : Applications à l'existence d'une dérivée positive [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction continue. On suppose que $f(a)<f(b)$. On note $E=\{x\in [a,b];\ f(x)\leq f(a)\}$.
  1. Démontrer que $E$ admet une borne supérieure, que l'on notera $\alpha$.
  2. Démontrer que $\alpha<b$.
  3. Démontrer que $f(\alpha)=f(a)$.
  4. Justifier que, pour tout $x\in ]\alpha,b]$, $\frac{f(x)-f(\alpha)}{x-\alpha}>0$.
  5. On suppose de plus que $f$ est de classe $C^1$. Démontrer qu'il existe $c\in [a,b]$ tel que $f(c)=f(a)$ et $f'(c)\geq 0$.
Indication
Corrigé
Nombres rationnels et irrationnels
Enoncé
Démontrer que les réels suivants sont irrationels :
  1. $\sqrt x+\sqrt y$ où $x$ et $y$ sont des rationnels positifs tels que $\sqrt x$ et $\sqrt y$ sont irrationnels.
  2. $\sqrt 2+\sqrt 3+\sqrt 5$.
Indication
Corrigé
Exercice 32 - Intervalles et rationnels [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $I$ et $J$ deux intervalles ouverts. On suppose que $(I\cap \mathbb Q)\cap (J\cap\mathbb Q)=\varnothing$. Démontrer que $I\cap J=\varnothing$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $x$ un nombre irrationnel et $(a,b,c,d)\in\mathbb Q^4$. Prouver que, si $ad-bc\neq 0$, alors $\frac{ax+b}{cx+d}$ est un nombre irrationnel.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(u_n)$ une suite de nombres rationnels; on écrit chaque $u_n$ sous forme irréductible, $u_n=\frac{p_n}{q_n}$, avec $q_n>0$, et on suppose que $(u_n)$ converge vers $a$.
  1. On suppose que la suite $(q_n)$ est bornée. Démontrer que $(u_n)$ est stationnaire.
  2. On suppose que $a\notin \mathbb Q$. Démontrer que $(q_n)$ tend vers $+\infty$.
Indication
Corrigé
Exercice 35 - Sur le développement décimal d'un réel [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On rappelle que si $x$ est un réel positif, on appelle développement décimal propre de $x$ la donnée d'un entier $m$ et d'une suite $(a_n)_{n\geq 1}$ d'entiers de $\{0,\dots,9\}$, non stationnaire à $9$, tels que $$x=m+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{a_n}{10^n}.$$ On rappelle que tout réel positif admet un unique développement décimal propre, et qu'on écrit alors $x=m,a_1a_2a_3\dots$.
  1. Quel est le réel dont le développement décimal propre est $m=0$, et $a_n=5$ pour tout $n\geq 1$? Celui dont le développement décimal propre est $m=12$ et $(a_n)$ est donnée par $a_{3n+1}=2$, $a_{3n+2}=3$,$a_{3n+3}=1$, pour tout $n\geq 0$?
  2. Déterminer le développement décimal propre de $4/7$.
  3. Donner une condition nécessaire et suffisante, portant sur son développement décimal propre, pour qu'un réel positif soit décimal.
  4. Soit $x\in ]0,1[$ admettant un développement décimal périodique, c'est-à-dire qu'il existe $n_0\geq 1$ et $p\geq 1$ tel que, pour tout $n\geq n_0$, $a_{n+p}=a_n$. On souhaite démontrer que $x$ est rationnel.
    1. On note $$y=a_{n_0}+\frac{a_{n_0+1}}{10}+\dots+\frac{a_{n_0+p-1}}{10^{p-1}}.$$ Démontrer qu'il existe un rationnel $r$ tel que $$x=r+\frac{y}{10^{n_0}}\times\sum_{l=0}^{+\infty}\frac{1}{10^{lp}}.$$
    2. Conclure.
  5. Réciproquement, soit $x\in ]0,1[\cap\mathbb Q$. On écrit $x=a/b$ avec $a,b$ des entiers naturels.
    1. Démontrer qu'il existe $0\leq s<t$ tels que $10^s a$ et $10^t a$ ont même reste dans la division euclidienne par $b$.
    2. En déduire que $\frac{10^s a}{b}-\frac{10^t a}{b}$ est un entier.
    3. On note $(a_n)_{n\geq 1}$, $(b_n)_{n\geq 1}$ et $(c_n)_{n\geq 1}$ les parties fractionnaires des développements décimaux propres de, respectivement, $\frac ab$, $\frac{10^s a}{b}$ et $\frac{10^t a}{b}$. Exprimer les suites $(b_n)$ et $(c_n)$ en fonction de la suite $(a_n)$, puis donner une relation entre les suites $(b_n)$ et $(c_n)$.
    4. En déduire que $(a_n)$ est périodique.
  6. Démontrer que les nombres décimaux sont denses dans l'ensemble des nombres réels.
  7. En déduire que les nombres rationnels sont denses dans l'ensemble des nombres réels.
  8. Les nombres irrationnels sont-ils denses dans l'ensemble des nombres réels? On pourra utiliser que si $q$ est un rationnel non nul, alors $\sqrt 2 q$ est un irrationnel.
Corrigé
Divers
Exercice 36 - Sous-groupes additifs de $\mathbb R$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $H$ un sous-groupe de $(\mathbb R,+)$ non réduit à $\{0\}$. On cherche à prouver que, soit $H$ est dense dans $\mathbb R$, soit il existe $\alpha>0$ tel que $H=\alpha\mathbb Z$. Pour cela, on pose $G=H\cap]0,+\infty[$.
  1. Montrer que $G$ admet une borne inférieure $\alpha$ dans $\mathbb R_+$.
  2. On suppose que $\alpha>0$.
    1. On suppose que $\alpha\notin H$. Démontrer qu'il existe deux éléments $x$ et $y$ de $H$ tels que $\alpha<x<y<2\alpha$. En déduire une contradiction.
    2. Démontrer que $H=\alpha\mathbb Z$.
  3. On suppose que $\alpha=0$. Démontrer que $H$ est dense dans $\mathbb R$.
Indication
Corrigé