Exercices corrigés - Nombres réels
Techniques usuelles de majoration et de minoration
Enoncé
Encadrer $x+y$, $x-y$, $xy$ et $x/y$ sachant que $x\in [3,6]$ et $y\in [-4,-2]$.
Enoncé
Soit $a,b,c$ trois nombres réels.
- Démontrer que $ab\leq\frac{a^2+b^2}2$.
- Démontrer que $ab+bc+ac\leq a^2+b^2+c^2$.
- Démontrer que $3ab+3bc+3ac\leq (a+b+c)^2$.
Enoncé
Déterminer les nombres réels $y$ solution des inéquations suivantes :
$$
\begin{array}{lll}
\mathbf{1.}\ (y+1)(y-1)>(y+1)^2&\quad&\mathbf{2.}\ \lambda y+7\geq 3y-5\lambda,\ \lambda\in\mathbb R\textrm{ donné.}
\end{array}$$
Exercice 4 - Une équation avec des racines carrées [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer les réels $x$ tels que $\sqrt{2-x}=x$.
Exercice 5 - Une inéquation avec des racines carrées [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre l'inéquation $x-1\leq \sqrt{x+2}$.
Valeur absolue
Enoncé
Soient $x$ et $y$ deux nombres réels. Démontrer que
$$\max(x,y)=\frac12(x+y+|x-y|)$$
$$\min(x,y)=\frac12(x+y-|x-y|).$$
Enoncé
Démontrer les propositions suivantes :
- Si $a$ est un réel tel que, pour tout $\veps>0$, on ait $|a|<\veps$, alors $a=0$.
- Si $a$ et $b$ sont deux réels tels que, pour tout $x\in\mathbb R$, $b<x\implies a<x$, alors $a\leq b$.
Exercice 8 - Egalités et inégalités avec des valeurs absolues [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre dans $\mathbb R$ les équations et inéquations suivantes :
$$\begin{array}{lll}
\mathbf{1.}\ |x+3|=5&\quad& \mathbf{2.}\ |x+3|\leq 5\\
\mathbf{3.}\ |x+2|>7&\quad& \mathbf{4.}\ |2x-4|\leq |x+2|\\
\end{array}
$$
Enoncé
On cherche à résoudre l'équation
$$|2x-4|=|x+3|.$$
- On suppose $x\geq 2$. Simplifier $|2x-4|$ et $|x+3|$. En déduire les solutions de l'équation dans l'intervalle $[2,+\infty[$.
- On suppose que $x\in [-3,2[$. Simplifier $|2x-4|$ et $|x+3|$. En déduire les solutions de l'équation dans cet intervalle.
- On suppose que $x<-3$. Simplifier $|2x-4|$ et $|x+3|$. En déduire les solutions de l'équation dans cet intervalle.
- Conclure.
Enoncé
Résoudre dans $\mathbb R$ ou $\mathbb R^*$ les inégalités suivantes :
$$\mathbf 1.\ |x+1|+|x-3|\leq 6\quad\quad\mathbf 2. \left|\frac 1x-2\right|\leq 3.$$
Enoncé
Démontrer que, pour tout $x\in\mathbb R$, $|x-1|\leq x^2-x+1$.
Exercice 12 - Égalités et inégalités avec des valeurs absolues [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre dans $\mathbb R$ les équations et inéquations suivantes :
$$\begin{array}{lll}
\mathbf{1.}\ |x+12|=|x^2-8|&\quad&\mathbf{2.}\ |x+12|\leq |x^2-8|.
\end{array}$$
Exercice 13 - Inégalités avec des valeurs absolues [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $x$ et $y$ des réels. Démontrer les inégalités suivantes :
$$\begin{array}{lcl}
\displaystyle \mathbf 1.\ |x|+|y|\leq |x+y|+|x-y|&&\displaystyle\mathbf 2.\ 1+|xy-1|\leq (1+|x-1|)(1+|y-1|)\\
\displaystyle\mathbf 3.\ \frac{|x+y|}{1+|x+y|}\leq \frac{|x|}{1+|x|}+\frac{|y|}{1+|y|}.
\end{array}$$
Exercice 14 - Inégalité avec un maximum et des valeurs absolues [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $x,y$ deux réels non nuls. Démontrer que
$$\max(|x|,|y|)\left| \frac x{|x|}-\frac y{|y|}\right|\leq 2|x-y|.$$
Partie entière
Enoncé
Démontrer que, pour tout $x\in\mathbb R$, $\lfloor x+1\rfloor=\lfloor x\rfloor +1$.
Exercice 16 - Une somme avec des parties entières [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $x$ un nombre réel. Pour $n\geq 1$, on pose $u_n=\sum_{k=1}^n \lfloor kx\rfloor$ et $v_n=u_n/n^2$.
- Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, $$\frac{n(n+1)}2x -n\leq u_n\leq \frac{n(n+1)}2x.$$
- En déduire la limite de la suite $(v_n)$.
Enoncé
Soient $a,b$ deux réels. Prouver que
$$\lfloor a\rfloor +\lfloor b\rfloor \leq \lfloor a+b\rfloor \leq \lfloor a\rfloor +\lfloor b\rfloor +1.$$
Enoncé
Soit $x\in\mathbb R$ et $n\in\mathbb N^*$. Démontrer que
$$\left \lfloor \frac{\lfloor nx\rfloor}{n}\right\rfloor =\lfloor x\rfloor.$$
Enoncé
Calculer $\sum_{k=1}^{2010}\lfloor \sqrt k\rfloor $.
Enoncé
Soit $x$ un nombre réel.
- Démontrer que $\lfloor x\rfloor+\left\lfloor x+\frac 12\right\rfloor=\lfloor 2x\rfloor$.
- Plus généralement, démontrer que pour tout $n\geq 2$, $$\sum_{k=0}^{n-1}\left\lfloor x+\frac kn\right\rfloor=\lfloor nx\rfloor.$$
Enoncé
Soit $x,y$ des réels. Démontrer que $\lfloor x\rfloor+\lfloor x+y\rfloor+\lfloor y\rfloor \leq \lfloor 2x\rfloor +\lfloor 2y\rfloor.$
Enoncé
Soit $n\in\mathbb N^*$. Vérifier que $(2+\sqrt 3)^n+(2-\sqrt 3)^n$ est un entier pair.
En déduire que la partie entière de $(2+\sqrt 3)^n$ est un entier impair.
Enoncé
Pour $x\in\mathbb R_+$, comparer $\lfloor \sqrt x\rfloor$ et $\lfloor \sqrt{\lfloor x\rfloor}\rfloor$.
Borne inférieure, borne supérieure
Enoncé
Soient $a,b$ deux réels strictement positifs. Les parties suivantes sont-elles majorées, minorées? Si oui, déterminer leurs bornes
supérieures, inférieures.
$$\begin{array}{lcl}
\displaystyle \mathbf 1.\ \{a+bn;\ n\in\mathbb N\}&&\displaystyle\mathbf 2.\ \{a+(-1)^n b;\ n\in\mathbb N\}\\
\displaystyle\mathbf 3.\ \left\{a+\frac bn;\ n\in\mathbb N^*\right\}&&\displaystyle\mathbf 4.\ \left\{(-1)^n a+\frac bn;\ n\in\mathbb N^*\right\}\\
\displaystyle\mathbf 5.\ \left\{a+(-1)^n \frac bn;\ n\in\mathbb N^*\right\}.
\end{array}$$
Enoncé
Les ensembles suivants sont-ils majorés? minorés? Si oui, déterminer leur borne inférieure, leur borne supérieure.
$$\begin{array}{lll}
A=\{x\in\mathbb R;\ x^2<2\}&\quad&B=\left\{\frac 1n;\ n\in\mathbb N^*\right\}\\
C=\left\{\frac1n-\frac 1p;\ p,n\in\mathbb N^*\right\}.
\end{array}$$
Enoncé
Les parties de $\mathbb R$ suivantes sont elles-minorées, majorées? Dans chaque cas, déterminer s'il y a lieu la borne inférieure, la borne supérieure,
et dire s'il s'agit d'un minimum ou d'un maximum.
$$A=\left\{\frac{n}{mn+1};\ (m,n)\in\mathbb N^{*2}\right\},\quad\quad B=\left\{\frac{n}{mn+1};\ (m,n)\in\mathbb N^2\right\}.$$
Enoncé
Soit $n\in\mathbb N^*$.
- Soit $a_1,\dots,a_n$ des réels. Exprimer $\sum_{k=1}^n (1-a_k)^2$ en fonction de $\sum_{k=1}^n a_k$ et de $\sum_{k=1}^n a_k^2$.
- On note $$E_n=\left\{x\in\mathbb R;\ \exists (a_k)_{k\in \{1,\dots,n\}}\in\mathbb R^n;\ x=\sum_{k=1}^n a_k=\sum_{k=1}^n a_k^2\right\}.$$ $E_n$ est-il majoré? $E_n$ est-il minoré? Possède-t-il un plus grand élément? Un plus petit élément?
Enoncé
Soient $A$ et $B$ deux parties non-vides de $\mathbb R$
telles que :
$$\forall a\in A,\ \forall b\in B,\ a\leq b.$$
Démontrer que $A$ est majoré, $B$ est minoré et $\sup(A)\leq \inf(B)$.
Enoncé
Soit $A$ une partie de $\mathbb R$ majorée et on note $M=\sup A$.
On suppose que $M\notin A$. Démontrer que, pour tout $\veps>0$,
l'intervalle $]M-\veps,M[$ contient une infinité d'éléments de $A$.
Enoncé
Soient $A$ et $B$ deux parties non-vides et bornées de $\mathbb R$, et $x\in\mathbb R$.
On note
$$\begin{array}{lcl}
\displaystyle-A=\{-a;\ a\in A\}&&A+B=\{a+b;\ a\in A,b\in B\}\\
\displaystyle x+A=\{x+a;\ a\in A\}&&AB=\{ab;\ a\in A,b\in B\}.
\end{array}$$
- Montrer que $\sup(-A)=-\inf(A)$.
- Montrer que $\sup(A+B)=\sup(A)+\sup(B)$.
- Montrer que $\sup(x+A)=x+\sup (A)$.
- A-t-on toujours $\sup(AB)=\sup(A)\times \sup(B)$? Quelle hypothèse peut-on ajouter pour que cela soit vrai?
Enoncé
Soit $A$ une partie non-vide et bornée de $\mathbb R$. On note $B=\{|x-y|;\ (x,y)\in A^2\}$.
- Justifier que $B$ est majorée.
- On note $\delta(A)$ la borne supérieure de cet ensemble. Prouver que $\delta(A)=\sup(A)-\inf(A)$.
Enoncé
- Vérifier que, pour tous réels $x_i,x_j>0$, on a $$\frac{x_i}{x_j}+\frac{x_j}{x_i}=\frac{x_i^2+x_j^2}{x_ix_j}\geq 2.$$
- Soit $n\geq 1$ fixé. Déterminer $$\inf\left\{(x_1+\dots+x_n)\left(\frac 1{x_1}+\dots+\frac 1{x_n}\right);\ x_1,\dots,x_n\in\mathbb R_+^*\right\}.$$
Exercice 33 - Application à l'existence d'un point fixe d'une application croissante de $[0,1]$ dans $[0,1]$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[0,1]\to[0,1]$ une application croissante. On note $E=\{x\in [0,1]; f(x)\geq x\}$.
- Montrer que $E$ admet une borne supérieure $b$.
- Prouver que $f(b)=b$.
Enoncé
Soit $A$ et $B$ deux parties de $\mathbb R$ non vides et $f:A\times B\to\mathbb R$ bornée. Comparer $\inf(\sup(f(x,y);x\in A);y\in B)$ et $\sup(\inf(f(x,y);y\in B);x\in A)$.
Exercice 35 - Borne supérieure : Applications à l'existence d'une dérivée positive [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction continue. On suppose que $f(a)<f(b)$.
On note $E=\{x\in [a,b];\ f(x)\leq f(a)\}$.
- Démontrer que $E$ admet une borne supérieure, que l'on notera $\alpha$.
- Démontrer que $\alpha<b$.
- Démontrer que $f(\alpha)=f(a)$.
- Justifier que, pour tout $x\in ]\alpha,b]$, $\frac{f(x)-f(\alpha)}{x-\alpha}>0$.
- On suppose de plus que $f$ est de classe $C^1$. Démontrer qu'il existe $c\in [a,b]$ tel que $f(c)=f(a)$ et $f'(c)\geq 0$.
Enoncé
Soit $(u_n)_{n\geq 0}$ une suite de réels telle que, pour tout $(m,n)\in\mathbb N^2$,
$$u_{m+n}\geq u_m+u_n.$$
On suppose que l'ensemble $\left\{\frac{u_n}n;\ n\in\mathbb N^*\right\}$ est majoré, et on note $\ell$ sa borne supérieure.
- Soit $m,q,r\in \mathbb N$. On pose $n=mq+r$. Comparer $u_n$ et $qu_m+u_r$.
- On fixe $m\in\mathbb N^*$ et $\veps>0$. En utilisant la division euclidienne de $n$ par $m$, démontrer qu'il existe un entier $N$ tel que, pour tout $n>N$, $$\frac{u_n}n\geq\frac{u_m}m-\veps.$$
- Démontrer que $\lim_{n\to+\infty}\frac{u_n}n=\ell$.
Nombres rationnels et irrationnels
Enoncé
Démontrer que les réels suivants sont irrationels :
- $\sqrt x+\sqrt y$ où $x$ et $y$ sont des rationnels positifs tels que $\sqrt x$ et $\sqrt y$ sont irrationnels.
- $\sqrt 2+\sqrt 3+\sqrt 5$.
Enoncé
Soient $I$ et $J$ deux intervalles ouverts. On suppose que $(I\cap \mathbb Q)\cap (J\cap\mathbb Q)=\varnothing$.
Démontrer que $I\cap J=\varnothing$.
Enoncé
Soit $x$ un nombre irrationnel et $(a,b,c,d)\in\mathbb Q^4$. Prouver que, si $ad-bc\neq 0$,
alors $\frac{ax+b}{cx+d}$ est un nombre irrationnel.
Exercice 40 - Polynômes, rationnels et irrationnels [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On souhaite démontrer qu'il n'existe pas de polynôme $P\in\mathbb R[X]$ de degré $n\geq 1$ tel que $P(x)\in\mathbb Q$ pour tout $x\in\mathbb R\backslash \mathbb Q$.
- Traiter le cas $n=1$.
- Traiter le cas général.
Enoncé
Soit $(u_n)$ une suite de nombres rationnels; on écrit chaque $u_n$ sous forme irréductible, $u_n=\frac{p_n}{q_n}$,
avec $q_n>0$, et on suppose que $(u_n)$ converge vers $a$.
- On suppose que la suite $(q_n)$ est bornée. Démontrer que $(u_n)$ est stationnaire.
- On suppose que $a\notin \mathbb Q$. Démontrer que $(q_n)$ tend vers $+\infty$.
Exercice 42 - Sur le développement décimal d'un réel [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On rappelle que si $x$ est un réel positif, on appelle développement décimal propre de $x$ la donnée d'un entier $m$ et d'une suite $(a_n)_{n\geq 1}$ d'entiers de $\{0,\dots,9\}$, non stationnaire à $9$, tels que
$$x=m+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{a_n}{10^n}.$$
On rappelle que tout réel positif admet un unique développement décimal propre, et qu'on écrit alors $x=m,a_1a_2a_3\dots$.
- Quel est le réel dont le développement décimal propre est $m=0$, et $a_n=5$ pour tout $n\geq 1$? Celui dont le développement décimal propre est $m=12$ et $(a_n)$ est donnée par $a_{3n+1}=2$, $a_{3n+2}=3$,$a_{3n+3}=1$, pour tout $n\geq 0$?
- Déterminer le développement décimal propre de $4/7$.
- Donner une condition nécessaire et suffisante, portant sur son développement décimal propre, pour qu'un réel positif soit décimal.
- Soit $x\in ]0,1[$ admettant un développement décimal périodique, c'est-à-dire qu'il existe $n_0\geq 1$ et $p\geq 1$ tel que, pour tout $n\geq n_0$, $a_{n+p}=a_n$. On souhaite démontrer que $x$ est rationnel.
- On note $$y=a_{n_0}+\frac{a_{n_0+1}}{10}+\dots+\frac{a_{n_0+p-1}}{10^{p-1}}.$$ Démontrer qu'il existe un rationnel $r$ tel que $$x=r+\frac{y}{10^{n_0}}\times\sum_{l=0}^{+\infty}\frac{1}{10^{lp}}.$$
- Conclure.
- Réciproquement, soit $x\in ]0,1[\cap\mathbb Q$. On écrit $x=a/b$ avec $a,b$ des entiers naturels.
- Démontrer qu'il existe $0\leq s<t$ tels que $10^s a$ et $10^t a$ ont même reste dans la division euclidienne par $b$.
- En déduire que $\frac{10^s a}{b}-\frac{10^t a}{b}$ est un entier.
- On note $(a_n)_{n\geq 1}$, $(b_n)_{n\geq 1}$ et $(c_n)_{n\geq 1}$ les parties fractionnaires des développements décimaux propres de, respectivement, $\frac ab$, $\frac{10^s a}{b}$ et $\frac{10^t a}{b}$. Exprimer les suites $(b_n)$ et $(c_n)$ en fonction de la suite $(a_n)$, puis donner une relation entre les suites $(b_n)$ et $(c_n)$.
- En déduire que $(a_n)$ est périodique.
- Démontrer que les nombres décimaux sont denses dans l'ensemble des nombres réels.
- En déduire que les nombres rationnels sont denses dans l'ensemble des nombres réels.
- Les nombres irrationnels sont-ils denses dans l'ensemble des nombres réels? On pourra utiliser que si $q$ est un rationnel non nul, alors $\sqrt 2 q$ est un irrationnel.
Divers
Exercice 43 - Sous-groupes additifs de $\mathbb R$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $H$ un sous-groupe de $(\mathbb R,+)$ non réduit à $\{0\}$. On cherche à prouver que, soit $H$ est dense dans $\mathbb R$, soit il existe $\alpha>0$ tel que $H=\alpha\mathbb Z$. Pour cela, on pose $G=H\cap]0,+\infty[$.
- Montrer que $G$ admet une borne inférieure $\alpha$ dans $\mathbb R_+$.
- On suppose que $\alpha>0$.
- On suppose que $\alpha\notin H$. Démontrer qu'il existe deux éléments $x$ et $y$ de $H$ tels que $\alpha<x<y<2\alpha$. En déduire une contradiction.
- Démontrer que $H=\alpha\mathbb Z$.
- On suppose que $\alpha=0$. Démontrer que $H$ est dense dans $\mathbb R$.