Exercices corrigés -Espaces de Hilbert

Exercice 1

- Projection sur un sous-espace [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Pour tout entier $N\in\mtn$, on note $M_N$ le sous-espace vectoriel de $\ell^2(\mtn,\mtc)$ formé des suites $(x_n)_{n\in\mtn}$ telles que $\sum_{n=0}^N x_n=0$.

Montrer que l'application $(x_n)_n\mapsto \sum_{k=0}^N x_k$ est linéaire continue de $\ell^2(\mtn,\mtc)$ dans $\mtc$. Que peut-on en déduire sur $M_N$? Conclure que $\ell^2(\mtn,\mtc)=M_N\oplus M_N^\perp$.
Soit $E=\{(y_n)_n\textrm{ telles que, pour }0\leq i<j\leq N,\textrm{ on ait }y_i=y_j\textrm{ et }y_n=0\textrm{ pour }n>N\}.$
1. Montrer que l'orthogonal $M_N^\perp$ de $M_N$ contient $E$.
2. Montrer que $M_N^\perp=E$ (remarquer que, pour $0\leq i<j\leq N$, la suite $(x_n)$ telle que $x_i=1$, $x_j=-1$ et $x_n=0$ si $n\neq i$ et $n\neq j$ appartient à $M_N$).

Indication

Corrigé

Exercice 2

- Projection sur la boule [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Soit $H$ un espace de Hilbert (réel). Déterminer une expression de la projection sur la boule unité fermée de $H$.

Indication

Corrigé

Exercice 3

- Calcul de la projection [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Soit $H=\ell^2(\mtn,\mtr)$ (espace de Hilbert réel). On note $C=\{x=(x_n)\in H;\ \forall n\in\mtn,\ x_n\geq 0\}.$

Démontrer que $C$ est convexe fermé.
Déterminer la projection sur ce convexe $C$.
Reprendre la question précédente avec $H=\ell^2(\mtn,\mtc)$ et $C=\{x=(x_n)\in H;\ \forall n\in\mtn,\ \Re e(x_n)\geq 0\}.$

Indication

Corrigé

Exercice 4

- Propriétés de la projection sur un sous-espace fermé [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Soit $H$ un espace de Hilbert, et $F$ un sous-espace fermé de $H$, non réduit à $\{0\}$. On note $p$ la projection orthogonale de $H$ sur $F$. Démontrer que :

$p\circ p=p$.
$\forall (x,y)\in H^2,\ \langle p(x),y\rangle=\langle x,p(y)\rangle$.
$\|p\|=1$.

Indication

Corrigé

Exercice 5

- Distance à un sous-espace fermé [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Soit $H$ un espace de Hilbert, et $F$ un sous-espace fermé de $H$, non réduit à $\{0\}$. On note $p$ la projection orthogonale de $H$ sur $F$. Si $x$ est un élément de $H$, on appelle distance de $x$ à $F$ la quantité $$d(x,F)=\inf\{\|x-y\|;\ y\in F\}.$$

Montrer que $d(x,F)=\|x-p(x)\|.$
Montrer que $d(x,F)=\max\{|<x,z>|;\ z\in F^\perp \textrm{ et }\|z\|=1\}.$
On suppose dans cette question que $F$ est un sous-espace de dimension finie, et on note $(e_1,\dots,e_n)$ une base orthonormale de $F$.
1. Quel résultat du cours assure l'existence d'une telle base orthonormale?
2. Déterminer en fonction de $e_1,\dots,e_n$, l'expression de $p(x)$.
3. En déduire la valeur de : $$\inf\left\{\int_0^1|t^2-at-b|^2dt;\ a\in\mtr,\ b\in\mtr\right\}.$$
On suppose désormais que $F$ est un sous-espace de dimension infinie. Justifier que $F$ possède une base hilbertienne, puis exprimer $p(x)$ en fonction de cette base.
On suppose désormais que $H=\ell^2(\mtn,\mtc)$. Pour $n$ un entier fixé, on pose $$M=\left\{x\in H;\ \sum_{k=0}^n x_k=0\right\}.$$ Vérifier que $M$ est un sous-espace fermé de $H$. Chercher un sous-espace $N$ tel que $M\oplus N=H$. Donner la distance de l'élément $(1,0,0,\dots)$ à $M$.

Indication

Corrigé

D'abord, puisque $p(x)\in F$, il est clair que l'on a : $$\|x-p(x)\|\geq d(x,F).$$ D'autre part, considérons $y\in F$, et décomposons $x$ en $x=p(x)+x_1$, où $x_1$ est orthogonal à $F$. On a alors : \begin{eqnarray*} \|x-y\|^2&=&<p(x)-y+x_1,p(x)-y+x_1>\\ &=&<p(x)-y,p(x)-y>+2\Re\left(<p(x)-y,x_1\right)+<x_1,x_1>\\ &=&\|p(x)-y\|^2+\|x_1\|^2. \end{eqnarray*} Maintenant, on a $\|x_1\|^2=\|x-p(x)\|^2$ d'après le théorème de Pythagore, et donc $\|x-y\|\geq \|x-p(x)\|$.
D'abord, en gardant les mêmes notations, on a $$<x,x_1>=<p(x)+x_1,x_1>=<x_1,x_1>=d(x,F)^2.$$ On en déduit que $$\langle x,\frac{x_1}{\|x_1\|}\rangle=\frac{d(x,F)^2}{\|x_1\|}=d(x,F),$$ ce qui démontre une première inégalité. D'autre part, soit $y\in F^\perp$, avec $\|y\|=1$, on a : $$\langle x,y\rangle=\langle p(x),y\rangle+\langle x_1,y\rangle=\langle x_1,y\rangle,$$ d'où on déduit par l'inégalité de Cauchy-Schwarz $$|<x,y>|\leq \|x_1\|=d(x,F),$$ ce qui démontre la deuxième inégalité.
1. Le procédé d'orthonormalisation de Schmidt par exemple...
2. Rappelons ce qui caractérise $p(x)$ : $p(x)$ est le seul élément de $F$ tel que $x-p(x)$ soit orthogonal à tous les éléments de $F$. Raisonnons par analyse-synthèse. $p(x)$ se décompose dans la base orthonormée de $F$ en $$p(x)=\alpha_1 e_1+\dots+\alpha_n e_n.$$ Maintenant, $x-p(x)$ est orthogonal à $e_1$, puisqu'il est orthogonal à $F$. On a donc : $$<x-p(x),e_1>=0=<x,e_1>-<p(x),e_1>=<x,e_1>-\alpha_1.$$ On voit que nécessairement $\alpha_1=<x,e_1>$, et par un raisonnement similaire, on doit avoir $\alpha_k=<x,e_k>$, ce qui nous conduit à poser $$p(x)=<x,e_1>e_1+\dots+<x,e_n>e_n.$$ Réciproquement, on vérifie facilement que $p(x)$ ainsi défini est élément de $F$, et que $x-p(x)$ est orthogonal à tout élement de $F$.
3. Introduisons $H=L^2([0,1])$ (on pourrait aussi considérer simplement $C([0,1])$), muni du produit scalaire $$<f,g>=\int_0^1f(t)g(t)dt.$$ Posons $F$ le sous-espace vectoriel des fonctions polynômiales de degré $\leq 1$. Le problème de minimisation peut aussi s'interpréter comme la recherche de $d(t^2,F)$. On applique alors les méthodes mises en valeur dans l'exercice. On commence par chercher $(e_1,e_2)$ une base orthonormée de $F$. On peut choisir $e_1(t)=1$, qui est déjà un vecteur normé. Pour $e_2$, on commence d'abord par chercher $f_2$ sous la forme $$f_2(t)=t+\alpha e_1(t)=t+\alpha,$$ de sorte que $f_2$ soit orthogonal au vecteur précédent construit. On a donc : $$<f_2,e_1>=\int_0^1 (t+\alpha)dt=\frac{1}{2}+\alpha=0.$$ On a donc $f_2=t-1/2$, et il suffit maintenant de normaliser ce vecteur : $$e_2=\frac{f_2}{\|f_2\|}=2\sqrt{3}t-\sqrt{3}.$$ On calcule ensuite la projection de $t^2$ sur $F$, en utilisant : $$<t^2,e_1>=\frac{1}{3},$$ $$<t^2,e_2>=\frac{\sqrt{3}}{6}.$$ On en déduit : $$p(t^2)=\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{3}}{6}\left(\sqrt{3}(2t-1)\right))=t-\frac{1}{6}.$$ Le minimum est donc atteint pour $a=1$ et $b=-1/6$. Il ne reste plus qu'à calculer la dernière intégrale qui fait $1/180$.
$F$ possède une base hilbertienne, car il est lui-même un espace de Hilbert, en tant que sous-espace fermé (donc complet) d'un espace de Hilbert. Si $(e_n)_{n\in I}$ désigne une base hilbertienne de $F$, le même raisonnement que précédemment montre que $$p(x)=\sum_{n\in I}<x,e_n>e_n.$$
D'une part, $M$ est clairement un sous-espace vectoriel de $H$, et il est fermé (caractérisation par les suites, ou bien noyau d'une application linéaire continue). Posons ensuite $N$ le sous-espace vectoriel engendré par $(1,1,1\dots,1,0,0,\dots)$. On pourra vérifier qu'il convient. Enfin, pour calculer la distance de $(1,0,0,\dots)$ à $M$, il suffit de déterminer sa projection sur $M$. Mais $x$ se décompose alors en $$x=p(x)+k(1,1,\dots,1,0,\dots).$$ Prenant la somme des n premiers termes de chaque membre, on trouve que $k=\frac{1}{n+1}$. Il vient finalement : $$d(x,M)=\|\frac{1}{n+1}(1,1,1,\dots,0,\dots)\|=\frac{\sqrt{n+1}}{n+1}.$$

Exercice 6

- $\ell^2(\mathbb N)$ et $\ell^2(I)$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

On rappelle que l'espace $\ell^2(I,\mtc)$ est l'ensemble des familles $x=(x_\alpha)_{\alpha\in I}$, indexées par $I$, et telles que : $$\|x\|=\sup\left\{\left(\sum_{\alpha\in F}|x_\alpha|^2\right)^{1/2};\ F\subset I\textrm{ fini}\right\}<+\infty.$$ Montrer que dans le cas où $I=\mtn$, on a en fait : $$\|x\|=\left(\sum_{n\geq 0}|x_n|^2\right)^{1/2}.$$

Indication

Corrigé

Exercice 7

- Quelques suites de suites [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Dire si les suites suivantes sont convergentes dans $\ell^2$, et si c'est le cas, calculer leur limite.

$x(n)=(\frac{1}{n},0,0,0,\dots)$,
$x(n)=(1,1/2,1/3,\dots,1/n,0,0,\dots)$,
$x(n)=(1,1/\sqrt{2},1/\sqrt{3},\dots,1/\sqrt{n},0,0,\dots)$,
$x(n)_m=1$ si $n=m$, 0 sinon,
$x(n)_m=\frac{1}{m}+\frac{1}{nm^3}$,
$x(n)_m=\frac{1}{m}+\frac{1}{nm^{1/3}}$.

Indication

Corrigé

Exercice 8

- Compacité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Prouver que la boule unité fermée de $\ell^2(\mtn,\mtc)$ n'est pas compacte.

Indication

Corrigé

Exercice 9

- Complétude [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

On se propose de démontrer que l'espace $\ell^2(\mtn,\mtr)$ est complet pour la norme usuelle issue du produit scalaire, $$\|x\|=\left(\sum_{k=0}^{+\infty}|x_k|^2\right)^{1/2}.$$ Soit $(v(n))_{n\geq 0}$ une suite de Cauchy d'éléments de $\ell^2(\mtn,\mtr)$. Etant donné $\veps>0$, il existe donc $N(\veps)\in\mtn$ tel que, si $n,l\geq N(\veps)$, alors : $$\|v(n)-v(l)\|\leq\veps.$$

Montrer que l'on a alors, pour tout $k\in\mtn$ et tous $n,l\geq N(\veps)$ $$|v(n)_k-v(l)_k|\leq\veps.$$
Montrer que $\lim_{n\to\infty}v(n)_k=v_k$ existe pour tout $k\in\mtn$.
Montrer qu'il existe $K\in\mtn$ tel que $$\left(\sum_{k\geq K}v(N(\veps))^2_k\right)^{1/2}\leq\veps.$$
Montrer que pour tout $L\geq K$, on a $$\left(\sum_{L\geq k\geq K}v_k^2\right)^{1/2}\leq2\veps.$$
En déduire que l'on a $v\in\ell^2(\mtn)$, que $$\lim_{n\to\infty}\|v(n)-v\|=0$$ et donc que l'espace $\ell^2(\mtn)$ est complet pour la norme $\|\cdot\|$.

Indication

Corrigé

Exercice 10

- Adjoint, noyau, et orthogonalité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Soit $H$ un espace de Hilbert, et $T$ une application linéaire continue sur $H$. Montrer les relations suivantes :

$\ker(T^*)=\text{Im}(T)^\perp$.
$\text{Im}(T^*)\subset \ker(T)^\perp$.

Indication

Corrigé

Exercice 11

- Calcul de quelques adjoints [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Soit $(\alpha_n)_{n\in\mtn}$ une suite bornée de nombres complexes et $T$ l'application linéaire de $\ell^2=\ell^2(\mtn,\mtc)$ dans lui-même définie par $T(x)=(\alpha_nx_n)_{n\in\mtn}$, pour $x=(x_n)_{n\in\mtn}\in\ell^2$. Vérifier que $T$ est continue, et calculer son adjoint.
Soit $S$ l'application de $\ell^2=\ell^2(\mtn,\mtc)$ dans lui-même définie par $S(x)=(0,x_0,x_1,\dots)$. Vérifier que $S$ est continue et calculer son adjoint.
Soit $H=L^2([0,1],\mtc)$ muni du produit scalaire usuel, et $K:[0,1]\times[0,1]\to\mtc$ une fonction continue. Pour $x\in[0,1]$, on pose $$Tf(x)=\int_0^1K(x,y)f(y)dy.$$ Vérifier que $T$ est une application linéaire continue, et calculer son adjoint.

Indication

Corrigé

Exercice 12

- Un opérateur d'intégration [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Soit $H=L^2([0,1])$. Pour $f\in H$, on pose $$Tf(x)=\int_0^x f(t)dt.$$

Montrer que $T$ est un opérateur continu sur $H$.
Calculer l'adjoint de $T$.

Indication

Corrigé

Exercice 13

- Théorème de représentation de Riesz [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Soit $E$ l'espace préhilbertien des suites complexes $(u_n)_{n\in\mtn}$ satisfaisant $$\exists N\in\mtn,\ \forall n\geq N,\ u_n=0$$ muni du produit scalaire $\dis \langle u,v\rangle = \sum_{n=0}^{+\infty}u_n\overline{v_n}.$

Montrer que l'application $\phi:E\to\mtc$ définie par $\phi(u)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{u_n}{n}$ est une forme linéaire continue sur $E$.
Existe-t-il un élément $a$ de $E$ tel que, pour tout $u$ de $E$, on ait $\phi(u)=\langle u,a\rangle$?
Que peut-on en déduire sur $E$?

Indication

Corrigé

Exercice 14

- Opérateurs de Hilbert-Schmidt [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Soit $H$ un espace de Hilbert de dimension infinie, $(e_n)$, $(f_n)$, $(g_n)$ trois bases hilbertiennes de $H$, et $T$ un opérateur linéaire continu sur $H$.

Montrer que, dans $\mtr_+\cup\{+\infty\}$, $\sum_{n=0}^{+\infty}\|T(e_n)\|^2=\sum_{p=0}^{+\infty}\|T^* g_p\|^2$.
En déduire que $\sum_{n=0}^{+\infty}\|T e_n\|^2=\sum_{n=0}^{+\infty} \|T f_n\|^2$.
On fixe désormais une base hilbertienne $(e_n)$ de $H$. On dira que $T\in\mcl(H)$ est un opérateur de Hilbert-Schmidt si $$\sum_{n=0}^{+\infty}\|T e_n\|^2<+\infty.$$ Par la question précédente, cette propriété ne dépend pas de la base hilbertienne choisie. On note $HS(H)$ l'ensemble des opérateurs de Hilbert-Schmidt sur $H$, et pour $T\in HS(H)$, on note $$\|T\|_2=\left(\sum_{n=0}^{+\infty}\|Te_n\|^2\right)^{1/2}.$$
Montrer que $\|T\|\leq \|T\|_2$, et que $HS(H)\neq \mcl(H)$.
Montrer que $HS(H)$ muni de la norme $\|.\|_2$ est un espace de Hilbert (on précisera le produit scalaire associé). Pour démontrer la complétude, on remarquera qu'une suite de Cauchy pour $HS(H)$ muni de $\|.\|_2$ est aussi une suite de Cauchy pour $\mcl(H)$ muni de $\|.\|$. On rappelle que $\mcl(H)$ muni de $\|.\|$ est complet.
Soit $T\in HS(H)$. On note $P_n$ le projecteur orthogonal sur $\vect(e_0,\dots,e_n)$. Montrer que, pour tout $n$, $T\circ P_n\in HS(H)$ et que $\|T-T\circ P_n\|_2\to 0$. En déduire que les opérateurs de rang fini sont denses dans $HS(H)$.

Indication

Corrigé

Puisque $(g_p)$ est une base hilbertienne de $H$, $$\|Te_n\|^2=\sum_{p=0}^{+\infty}|\langle Te_n,g_p\rangle|^2=\sum_{p=0}^{+\infty}|\langle e_n,T^* g_p\rangle|^2.$$ On somme ceci sur $n$, puis on échange les deux sommations (c'est licite, car tous les termes sont positifs). On obtient $$\sum_{n=0}^{+\infty}\|T e_n\|^2=\sum_{p=0}^{+\infty}\sum_{n=0}^{+\infty}|\langle e_n,T^* g_p\rangle|^2.$$ Utilisant cette fois que $(e_n)$ est une base hilbertienne de $H$, on a $$\sum_{n=0}^{+\infty}|\langle e_n,T^* g_p\rangle|^2=\|T^* g_p\|^2$$ ce qui donne le résultat.
On peut très bien remplacer $(e_n)$ par $(f_n)$ dans les calculs précédents, et on a $$\sum_{n=0}^{+\infty}\| T f_n\|^2=\sum_{p=0}^{+\infty}\|T^* g_p\|^2=\sum_{n=0}^{+\infty}\|T e_n\|^2.$$
Prenons $x$ dans $H$, que l'on décompose en $x=\sum_{n=0}^{+\infty}\langle x,e_n\rangle e_n$. On a : $$\|Tx\|\leq \sum_{n=0}^{+\infty}|\langle x,e_n\rangle|\|T e_n\|.$$ Il suffit alors d'appliquer l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour obtenir $$\|Tx\|\leq \|T\|_2\|x\|,$$ ce qui assure $\|T\|\leq\|T\|_2$. Par ailleurs, l'identité de $H$ n'est pas un opérateur de Hilbert-Schmidt (pour cet opérateur, on a $\|T e_n\|=1$).
Si $S$ et $T$ sont dans $HS(H)$, le produit scalaire associé à la norme est défini par $$\langle S,T\rangle =\sum_{n=0}^{+\infty}\langle Se_n,Te_n\rangle$$ (ceci nous est par exemple suggéré par les formules de polarisation). $HS(H)$ est alors muni d'une structure d'espace préhilbertien. Prenons $(T_n)$ une suite de Cauchy de $HS(H)$. L'inégalité $\|T_n-T_p\|\leq \|T_n-T_p\|_2$ assure que $(T_n)$ est une suite de Cauchy de $\mcl(H)$ qui est un espace complet. Il existe donc $T\in\mcl(E)$ tel que $\|T_n-T\|\to 0$. Reste à voir que $T$ est de Hilbert-Schmidt, et que $\|T_n-T\|_2\to 0$. Fixons $\veps>0$. Il existe $N\in\mtn$ tel que, pour $p,q\geq N$, pour tout $M\geq 1$, on ait $$\sum_{n=0}^M \|T_p e_n -T_q e_n\|^2\leq\|T_p-T_q\|_2^2\leq\veps^2.$$ On fait tendre $q$ vers plus l'infini dans cette somme finie, pour obtenir $$\sum_{n=0}^M\|T_p e_n-T e_n\|^2\leq \veps^2.$$ On fait ensuite tendre $M$ vers l'infini, et on obtient $$\|T_p-T\|_2\leq\veps.$$ Ceci entraîne à la fois que $T$ est dans $HS(H)$ et est la limite dans cet espace de $(T_n)$.
Remarquons d'abord que $T\circ P_n$ est un opérateur de rang fini, son image étant engendrée par $T(e_0),\dots, T(e_n)$. D'autre part, $$\sum_{k=0}^{+\infty}\|T\circ P_n(e_k)\|^2=\sum_{k=0}^n \|T(e_k)\|^2,$$ ce qui assure que $T\circ P_n$ est un opérateur de Hilbert-Schmidt. Enfin, on a $$\|T-T\circ P_n\|_2^2=\sum_{k=n+1}^{+\infty}\|T e_n\|^2,$$ et cette quantité tend vers 0 lorsque $n$ va vers l'infini!

Exercice 15

- Résultats généraux sur les opérateurs orthogonaux [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

On désigne par $I=]a,b[$ un intervalle de $\mtr$ - éventuellement, $a=-\infty$ ou $b=+\infty$, et par $p$ une fonction continue strictement positive, $p:]a,b[\to\mtr$, telle que, pour tout $n\in\mtn$, $\int_a^b t^n p(t)dt$ converge. On note $\mu$ la mesure sur $I$ admettant $p$ pour densité par rapport à la mesure de Lebesgue et $H=L^2(\mu)$. $H$ est donc l'ensemble des (classes de) fonctions de $I$ dans $\mtr$ telles que : $$\|f\|_2^2:=\int_a^b |f(t)|^2p(t)dt<+\infty.$$ $H$ est muni du produit scalaire $$<f,g>=\int_a^b f(t)g(t)p(t)dt,$$ qui lui donne une structure d'espace de Hilbert.

Montrer qu'il existe une unique suite de polynômes $(P_n)_{n\in\mtn}$ telle que chaque $P_n$ est unitaire, et pour $n\neq m$, $<P_n,P_m>=0$. Cette suite est appelée suite de polynômes orthogonaux pour le poids $p$ sur $]a,b[$.
On suppose dans cette question seulement que $I=[0,1]$ et $p(t)=1$ pour tout $t\in[0,1]$. On rappelle le théorème de Weierstrass suivant : toute fonction continue sur un segment est limite uniforme sur ce segment d'une suite de fonctions polynômes. On note enfin $U_n=\frac{P_n}{\|P_n\|}$. Prouver que $(U_n)$ est une base hilbertienne de $H$.
On revient dans le cas général. Montrer qu'il existe deux suites $(\lambda_n)_{n\in\mtn}$ et $(\mu_n)_{n\in\mtn}$ telles que : $$\forall n\in\mtn,\ P_{n+2}=(X+\lambda_n)P_{n+1}+\mu_n P_n.$$ Quel est le signe de $\mu_n$?
On veut montrer que pour tout $n\geq 1$, $P_n$ possède $n$ racines simples dans $]a,b[$. On suppose le contraire, et on note $\alpha_1,\dots,\alpha_p$ les racines de multiplicité impaire de $P_n$. Soit $Q(X)=(X-\alpha_1)\dots (X-\alpha_p)$. Justifier que $QP_n$ est de signe constant. Conclure.

Indication

Corrigé

On construit la suite de polynômes $(P_n)$ par récurrence :
- Nécessairement, on a $P_0=1$.
- Supposons $P_0,\dots,P_{n-1}$ construits, et montrons comment définir $P_n$ de manière unique. Remarquons que par définition, $\vect(P_0,\dots,P_{n-1})=\mtr_{n-1}[X]$. $P_n$ est donc nécessairement orthogonal à $\mtr_{n-1}[X]$. On note $F$ l'orthogonal à $\mtr_{n-1}[X]$ dans $\mtr_n[X]$. On a la somme directe orthogonale $$\mtr_n[X]=F\oplus^\perp \mtr_{n-1}[X].$$ Maintenant, $F$ est nécessairement de dimension 1, et est le sous-espace vectoriel engendré par un certain $A_n$. On a donc $P_n=\lambda A_n$. Maintenant, le fait que $P_n$ est unitaire fixe $\lambda$ de manière unique. Réciproquement, $P_n$ ainsi défini est bien unitaire et est orthogonal aux autres $P_m$.
Il est d'abord clair que $(U_n)_{n\geq 1}$ est une famille orthonormale. Il suffit donc de prouver que l'espace vectoriel engendré par les $U_n$ qui n'est autre que l'ensemble des polynômes est dense dans $H$. Fixons $f\in L^2([0,1])$ et $\veps>0$. Par des propriétés bien connues de $L^2([0,1])$, il existe une fonction $g$ continue sur $[0,1]$ telle que $$\|f-g\|_2\leq\veps.$$ D'autre part, d'après le théorème de Weierstrass, il existe un polynôme $P$ tel que $\|g-P\|_\infty\leq\veps$. Utilisant l'inégalité triangulaire et le fait que $\|g-P\|_2\leq \|g-P\|_\infty$, on obtient que $$\|f-P\|_2\leq 2\veps,$$ ce qui prouve la densité des polynômes dans $L^2([0,1])$.
Puisque $P_{n+2}$ et $XP_{n+1}$ sont tous deux unitaires de degré $n+2$, $P_{n+2}-XP_{n+1}$ est un polynôme de degré $n+1$. On peut donc écrire : $$P_{n+2}-XP_{n+1}=\lambda_nP_{n+1}+\mu_n P_n+\sum_{i=0}^{n-1}\beta_i P_i.$$ On calcule alors le produit scalaire de $P_{n+2}-XP_{n+1}$ avec $P_i$, pour $i\leq n-1$. On a : $$<P_{n+2},P_i>=0,$$ d'après les relations d'orthogonalité sur la suite. D'autre part, il est clair d'après la définition que $<xf,g>=<f,xg>$. On a donc : $$<XP_{n+1},P_i>=<P_{n+1},XP_i>=0$$ car $XP_i$ est de degré inférieur ou égal à $n$. De l'autre côté de l'inégalité, on trouve exactement $\beta_i\|P_i\|_2^2$, ce qui entraîne que $\beta_i=0$. Pour obtenir le signe de $\mu_n$, on calcule le produit scalaire avec $P_n$, et on trouve : $$\mu_n=-\frac{<XP_{n+1},P_n>}{\|P_n\|^2}.$$ En outre, $<XP_{n+1},P_n>=<P_{n+1},XP_n>$ et $XP_n=P_{n+1}+Q_n$, où le degré de $Q_n$ est inférieur ou égal à $n$. On obtient donc : $$\mu_n=-\frac{\|P_{n+1}\|^2}{\|P_n\|^2}.$$ $\mu_n$ est négatif.
C'est très classique, mais difficile la première fois! Supposons que $P_n$ n'admet pas $n$ racines simples dans $]a,b[$. On note $\alpha_1,\dots,\alpha_p$ les racines de multiplicité impaire de $P_n$ dans $]a,b[$, avec nécessairement $p<n$. On note $2m_i+1$ leur multiplicité respective. $P_n$ se factorise en $P_n(X)=(X-\alpha_1)^{2m_1+1}\dots (X-\alpha_p)^{2m_p+1}R(X)$, où le polynôme $R$ garde un signe constant sur $]a,b[$. On a donc : $$P_nQ(X)=(X-\alpha_1)^{2m_1+2}\dots (X-\alpha_p)^{2m_p+2}R(X),$$ et cette fonction garde un signe constant sur $]a,b[$. Il en est de même de la fonction continue $P_nQp(x)$. Comme cette fonction continue n'est pas identiquement nulle sur $]a,b[$, on en déduit que $$<P_n,Q>\neq 0.$$ Mais $Q$ est un polynôme de degré inférieur strict à $n$, et ceci contredit le fait que $P_n$ est orthogonal à tous ces polynômes.

Exercices corrigés - Espaces de Hilbert