$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Espaces de Hilbert

Projection et orthogonalité
Exercice 1 - Projection sur un sous-espace [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour tout entier $N\in\mtn$, on note $M_N$ le sous-espace vectoriel de $\ell^2(\mtn,\mtc)$ formé des suites $(x_n)_{n\in\mtn}$ telles que $\sum_{n=0}^N x_n=0$.
  1. Montrer que l'application $(x_n)_n\mapsto \sum_{k=0}^N x_k$ est linéaire continue de $\ell^2(\mtn,\mtc)$ dans $\mtc$. Que peut-on en déduire sur $M_N$? Conclure que $\ell^2(\mtn,\mtc)=M_N\oplus M_N^\perp$.
  2. Soit $E=\{(y_n)_n\textrm{ telles que, pour }0\leq i<j\leq N,\textrm{ on ait }y_i=y_j\textrm{ et }y_n=0\textrm{ pour }n>N\}.$
    1. Montrer que l'orthogonal $M_N^\perp$ de $M_N$ contient $E$.
    2. Montrer que $M_N^\perp=E$ (remarquer que, pour $0\leq i<j\leq N$, la suite $(x_n)$ telle que $x_i=1$, $x_j=-1$ et $x_n=0$ si $n\neq i$ et $n\neq j$ appartient à $M_N$).
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Projection sur la boule [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $H$ un espace de Hilbert. Déterminer une expression de la projection sur la boule unité fermée de $H$.
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Calcul de la projection [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $H=\ell^2(\mtn,\mtr)$ (espace de Hilbert réel). On note $C=\{x=(x_n)\in H;\ \forall n\in\mtn,\ x_n\geq 0\}.$
  1. Démontrer que $C$ est convexe fermé.
  2. Déterminer la projection sur ce convexe $C$.
  3. Reprendre la question précédente avec $H=\ell^2(\mtn,\mtc)$.
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Propriétés de la projection sur un sous-espace fermé [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $H$ un espace de Hilbert, et $F$ un sous-espace fermé de $H$, non réduit à $\{0\}$. On note $p$ la projection orthogonale de $H$ sur $F$. Démontrer que :
  1. $p\circ p=p$.
  2. $\forall (x,y)\in H^2,\ \langle p(x),y\rangle=\langle x,p(y)\rangle$.
  3. $\|p\|=1$.
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Distance à un sous-espace fermé [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $H$ un espace de Hilbert, et $F$ un sous-espace fermé de $H$, non réduit à $\{0\}$. On note $p$ la projection orthogonale de $H$ sur $F$. Si $x$ est un élément de $H$, on appelle distance de $x$ à $F$ la quantité $$d(x,F)=\inf\{\|x-y\|;\ y\in F\}.$$
  1. Montrer que $d(x,F)=\|x-p(x)\|.$
  2. Montrer que $d(x,F)=\max\{|<x,z>|;\ z\in F^\perp \textrm{ et }\|z\|=1\}.$
  3. On suppose dans cette question que $F$ est un sous-espace de dimension finie, et on note $(e_1,\dots,e_n)$ une base orthonormale de $F$.
    1. Quel résultat du cours assure l'existence d'une telle base orthonormale?
    2. Déterminer en fonction de $e_1,\dots,e_n$, l'expression de $p(x)$.
    3. En déduire la valeur de : $$\inf\left\{\int_0^1|t^2-at-b|^2dt;\ a\in\mtr,\ b\in\mtr\right\}.$$
  4. On suppose désormais que $F$ est un sous-espace de dimension infinie. Justifier que $F$ possède une base hilbertienne, puis exprimer $p(x)$ en fonction de cette base.
  5. On suppose désormais que $H=\ell^2(\mtn,\mtc)$. Pour $n$ un entier fixé, on pose $$M=\left\{x\in H;\ \sum_{k=0}^n x_k=0\right\}.$$ Vérifier que $M$ est un sous-espace fermé de $H$. Chercher un sous-espace $N$ tel que $M\oplus N=H$. Donner la distance de l'élément $(1,0,0,\dots)$ à $M$.
Indication
Corrigé
L'espace $\ell^2$
Exercice 6 - $\ell^2(\mathbb N)$ et $\ell^2(I)$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On rappelle que l'espace $\ell^2(I,\mtc)$ est l'ensemble des familles $x=(x_\alpha)_{\alpha\in I}$, indexées par $I$, et telles que : $$\|x\|=\sup\left\{\left(\sum_{\alpha\in F}|x_\alpha|^2\right)^{1/2};\ F\subset I\textrm{ fini}\right\}<+\infty.$$ Montrer que dans le cas où $I=\mtn$, on a en fait : $$\|x\|=\left(\sum_{n\geq 0}|x_n|^2\right)^{1/2}.$$
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Quelques suites de suites [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Dire si les suites suivantes sont convergentes dans $\ell^2$, et si c'est le cas, calculer leur limite.
  1. $x(n)=(\frac{1}{n},0,0,0,\dots)$,
  2. $x(n)=(1,1/2,1/3,\dots,1/n,0,0,\dots)$,
  3. $x(n)=(1,1/\sqrt{2},1/\sqrt{3},\dots,1/\sqrt{n},0,0,\dots)$,
  4. $x(n)_m=1$ si $n=m$, 0 sinon,
  5. $x(n)_m=\frac{1}{m}+\frac{1}{nm^3}$,
  6. $x(n)_m=\frac{1}{m}+\frac{1}{nm^{1/3}}$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Prouver que la boule unité fermée de $\ell^2(\mtn,\mtc)$ n'est pas compacte.
Indication
Corrigé
Enoncé
On se propose de démontrer que l'espace $\ell^2(\mtn,\mtr)$ est complet pour la norme usuelle issue du produit scalaire, $$\|x\|=\left(\sum_{k=0}^{+\infty}|x_k|^2\right)^{1/2}.$$ Soit $(v(n))_{n\geq 0}$ une suite de Cauchy d'éléments de $\ell^2(\mtn,\mtr)$. Etant donné $\veps>0$, il existe donc $N(\veps)\in\mtn$ tel que, si $n,l\geq N(\veps)$, alors : $$\|v(n)-v(l)\|\leq\veps.$$
  1. Montrer que l'on a alors, pour tout $k\in\mtn$ et tous $n,l\geq N(\veps)$ $$|v(n)_k-v(l)_k|\leq\veps.$$
  2. Montrer que $\lim_{n\to\infty}v(n)_k=v_k$ existe pour tout $k\in\mtn$.
  3. Montrer qu'il existe $K\in\mtn$ tel que $$\left(\sum_{k\geq K}v(N(\veps))^2_k\right)^{1/2}\leq\veps.$$
  4. Montrer que pour tout $L\geq K$, on a $$\left(\sum_{L\geq k\geq K}v_k^2\right)^{1/2}\leq2\veps.$$
  5. En déduire que l'on a $v\in\ell^2(\mtn)$, que $$\lim_{n\to\infty}\|v(n)-v\|=0$$ et donc que l'espace $\ell^2(\mtn)$ est complet pour la norme $\|\cdot\|$.
Indication
Corrigé
Opérateurs et adjoints
Exercice 10 - Adjoint, noyau, et orthogonalité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $H$ un espace de Hilbert, et $T$ une application linéaire continue sur $H$. Montrer les relations suivantes :
  • $\ker(T^*)=\text{Im}(T)^\perp$.
  • $\text{Im}(T^*)\subset \ker(T)^\perp$.
Corrigé
Exercice 11 - Calcul de quelques adjoints [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Soit $(\alpha_n)_{n\in\mtn}$ une suite bornée de nombres complexes et $T$ l'application linéaire de $\ell^2=\ell^2(\mtn,\mtc)$ dans lui-même définie par $T(x)=(\alpha_nx_n)_{n\in\mtn}$, pour $x=(x_n)_{n\in\mtn}\in\ell^2$. Vérifier que $T$ est continue, et calculer son adjoint.
  2. Soit $S$ l'application de $\ell^2=\ell^2(\mtn,\mtc)$ dans lui-même définie par $S(x)=(0,x_0,x_1,\dots)$. Vérifier que $S$ est continue et calculer son adjoint.
  3. Soit $H=L^2([0,1],\mtc)$ muni du produit scalaire usuel, et $K:[0,1]\times[0,1]\to\mtc$ une fonction continue. Pour $x\in[0,1]$, on pose $$Tf(x)=\int_0^1K(x,y)f(y)dy.$$ Vérifier que $T$ est une application linéaire continue, et calculer son adjoint.
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Un opérateur d'intégration [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $H=L^2([0,1])$. Pour $f\in H$, on pose $$Tf(x)=\int_0^x f(t)dt.$$
  • Montrer que $T$ est un opérateur continu sur $H$.
  • Calculer l'adjoint de $T$.
Indication
Corrigé
Exercice 13 - Théorème de représentation de Riesz [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ l'espace préhilbertien des suites complexes $(u_n)_{n\in\mtn}$ satisfaisant $$\exists N\in\mtn,\ \forall n\geq N,\ u_n=0$$ muni du produit scalaire $\dis \langle u,v\rangle = \sum_{n=0}^{+\infty}u_n\overline{v_n}.$
  1. Montrer que l'application $\phi:E\to\mtc$ définie par $\phi(u)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{u_n}{n}$ est une forme linéaire continue sur $E$.
  2. Existe-t-il un élément $a$ de $E$ tel que, pour tout $u$ de $E$, on ait $\phi(u)=\langle u,a\rangle$?
  3. Que peut-on en déduire sur $E$?
Indication
Corrigé
Exercice 14 - Opérateurs de Hilbert-Schmidt [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $H$ un espace de Hilbert de dimension infinie, $(e_n)$, $(f_n)$, $(g_n)$ trois bases hilbertiennes de $H$, et $T$ un opérateur linéaire continu sur $H$.
  1. Montrer que, dans $\mtr_+\cup\{+\infty\}$, $\sum_{n=0}^{+\infty}\|T(e_n)\|^2=\sum_{p=0}^{+\infty}\|T^* g_p\|^2$.
  2. En déduire que $\sum_{n=0}^{+\infty}\|T e_n\|^2=\sum_{n=0}^{+\infty} \|T f_n\|^2$.
    On fixe désormais une base hilbertienne $(e_n)$ de $H$. On dira que $T\in\mcl(H)$ est un opérateur de Hilbert-Schmidt si $$\sum_{n=0}^{+\infty}\|T e_n\|^2<+\infty.$$ Par la question précédente, cette propriété ne dépend pas de la base hilbertienne choisie. On note $HS(H)$ l'ensemble des opérateurs de Hilbert-Schmidt sur $H$, et pour $T\in HS(H)$, on note $$\|T\|_2=\left(\sum_{n=0}^{+\infty}\|Te_n\|^2\right)^{1/2}.$$
  3. Montrer que $\|T\|\leq \|T\|_2$, et que $HS(H)\neq \mcl(H)$.
  4. Montrer que $HS(H)$ muni de la norme $\|.\|_2$ est un espace de Hilbert (on précisera le produit scalaire associé). Pour démontrer la complétude, on remarquera qu'une suite de Cauchy pour $HS(H)$ muni de $\|.\|_2$ est aussi une suite de Cauchy pour $\mcl(H)$ muni de $\|.\|$. On rappelle que $\mcl(H)$ muni de $\|.\|$ est complet.
  5. Soit $T\in HS(H)$. On note $P_n$ le projecteur orthogonal sur $\vect(e_0,\dots,e_n)$. Montrer que, pour tout $n$, $T\circ P_n\in HS(H)$ et que $\|T-T\circ P_n\|_2\to 0$. En déduire que les opérateurs de rang fini sont denses dans $HS(H)$.
Indication
Corrigé
Polynômes orthogonaux
Exercice 15 - Résultats généraux sur les opérateurs orthogonaux [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On désigne par $I=]a,b[$ un intervalle de $\mtr$ - éventuellement, $a=-\infty$ ou $b=+\infty$, et par $p$ une fonction continue strictement positive, $p:]a,b[\to\mtr$, telle que, pour tout $n\in\mtn$, $\int_a^b t^n p(t)dt$ converge. On note $\mu$ la mesure sur $I$ admettant $p$ pour densité par rapport à la mesure de Lebesgue et $H=L^2(\mu)$. $H$ est donc l'ensemble des (classes de) fonctions de $I$ dans $\mtr$ telles que : $$\|f\|_2^2:=\int_a^b |f(t)|^2p(t)dt<+\infty.$$ $H$ est muni du produit scalaire $$<f,g>=\int_a^b f(t)g(t)p(t)dt,$$ qui lui donne une structure d'espace de Hilbert.
  1. Montrer qu'il existe une unique suite de polynômes $(P_n)_{n\in\mtn}$ telle que chaque $P_n$ est unitaire, et pour $n\neq m$, $<P_n,P_m>=0$. Cette suite est appelée suite de polynômes orthogonaux pour le poids $p$ sur $]a,b[$.
  2. On suppose dans cette question seulement que $I=[0,1]$ et $p(t)=1$ pour tout $t\in[0,1]$. On rappelle le théorème de Weierstrass suivant : toute fonction continue sur un segment est limite uniforme sur ce segment d'une suite de fonctions polynômes. On note enfin $U_n=\frac{P_n}{\|P_n\|}$. Prouver que $(U_n)$ est une base hilbertienne de $H$.
  3. On revient dans le cas général. Montrer qu'il existe deux suites $(\lambda_n)_{n\in\mtn}$ et $(\mu_n)_{n\in\mtn}$ telles que : $$\forall n\in\mtn,\ P_{n+2}=(X+\lambda_n)P_{n+1}+\mu_n P_n.$$ Quel est le signe de $\mu_n$?
  4. On veut montrer que pour tout $n\geq 1$, $P_n$ possède $n$ racines simples dans $]a,b[$. On suppose le contraire, et on note $\alpha_1,\dots,\alpha_p$ les racines de multiplicité impaire de $P_n$. Soit $Q(X)=(X-\alpha_1)\dots (X-\alpha_p)$. Justifier que $QP_n$ est de signe constant. Conclure.
Indication
Corrigé