$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Espaces vectoriels normés de dimension finie

Espaces de dimension finie
Exercice 1 - Polynômes, norme infinie et norme 1 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\in\mathbb N$ et $E$ l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à $n$. Démontrer qu'il existe $\lambda>0$ tel que, pour tout $P\in E$, on a $$\int_0^1 |P(t)|dt\geq \lambda\sup_{t\in [0,1]} |P(t)|.$$
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Norme et produit matriciel [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $N$ une norme sur $\mathcal M_n(\mathbb R)$. Démontrer qu'il existe une constante $C>0$ telle que, pour tout $A,B\in\mathcal M_n(\mathbb R)$, on a $$N(AB)\leq CN(A)N(B).$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé de dimension finie, $K$ une partie compacte de $E$ et $r>0$. On pose $L=\bigcup_{x\in K}\bar B(x,r)$. Démontrer que $L$ est compact.
Corrigé
Exercice 4 - Sous-espaces vectoriels [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé de dimension finie. Montrer que tout sous-espace vectoriel de E est fermé.
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Intégrale jamais nulle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\geq 1$ et $E_n$ l'ensemble des polynômes de $\mathbb R[X]$ unitaires de degré $n$. Montrer que $\inf_{P\in E_n}\int_0^1|P(t)|dt>0$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $F$ un sous-espace vectoriel de dimension finie d'un espace vectoriel normé $E$.
  1. Démontrer que pour tout $a\in E$, il existe $x\in F$ tel que $d(a,F)=\|x-a\|$.
  2. On suppose $F\neq E$. Soit $a\in E\backslash F$ et soit $x\in F$ tel que $d(a,F)=\|a-x\|$ On pose $b=(a-x)/\|a-x\|$. Démontrer que $d(b,F)=1\textrm{ et }\|b\|=1.$
  3. On suppose que $E$ est de dimension infinie. Construire une suite $(b_n)$ de $E$ telle que, pour tout $n\in\mathbb N$, $$\|b_n\|=1\textrm{ et }d(b_{n},\textrm{vect}(b_0,\dots,b_{n-1}))=1.$$
  4. En déduire que la boule unité fermée de $E$ n'est pas compacte.
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Boule fermée de rayon minimal contenant une partie bornée. [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé de dimension finie, $A$ une partie bornée non-vide de $E$. On souhaite prouver qu'il existe une boule fermée de rayon minimal contenant $A$. Pour cela, on note $D=\{r>0;\ A$ est contenu dans une boule de rayon $r\}$.
  1. Démontrer que $D$ admet une borne inférieure. Cette borne inférieure sera notée $r_0$.
  2. Pour $n\geq 1$, on pose $r_n=r_0+\frac 1n$. Démontrer qu'il existe $x_n\in E$ tel que $A\subset \bar B(x_n,r_n)$.
  3. Démontrer que $(x_n)$ est bornée.
  4. Conclure.
  5. On suppose dans cette question que $E=(\mathbb R^2,\|\cdot\|_\infty)$. Donner un exemple d'ensemble borné $A$ pour lequel il existe plusieurs boules de rayon minimum contenant $A$.
  6. On suppose dans cette question que $E=(\mathbb R^d,\|\cdot\|_2)$. Démontrer qu'il existe une unique boule de rayon minimal contenant $A$. On rappelle l'identité du parallélogramme $$\|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2\big(\|x\|^2+\|y\|^2\big).$$
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Boule de rayon minimal contenant une partie bornée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $A$ une partie bornée de $E$ non vide.
  1. Soit $a\in E$. Démontrer qu'il existe une boule $\bar B(a,R_a)$ de rayon minimal qui contient $A$.
  2. On pose $R=\inf\{R_a;\ a\in E\}$. Démontrer qu'il existe $b\in E$ tel que $A\subset \bar B(b,R)$.
En particulier, $\bar B(b,R)$ est une boule de $E$ de rayon minimal contenant $A$.
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Convergence uniforme de polynômes de degré borné [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(P_n)$ une suite de polynômes de degré tous inférieurs ou égaux à $d$. On suppose que $(P_n)$ converge simplement en $d+1$ points distincts de $\mathbb C$. Démontrer que $(P_n)$ converge uniformément sur tout compact de $\mathbb C$ vers un polynôme de degré inférieur ou égal à $d$.
Indication
Corrigé
Topologie des espaces de matrices
Enoncé
Démontrer que l'ensemble des matrices symétriques est un fermé de $\mathcal M_n(\mathbb R)$.
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Ensemble des matrices inversibles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Montrer que l'ensemble $GL_n(\mtr)$ des matrices inversibles est un ouvert dense dans $\mcm_n(\mtr)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Montrer que l'ensemble des matrices orthogonales $\mathcal O_n(\mtr)$ (celles qui vérifient $\ \!^tMM=I_n$) est un compact de $\mathcal M_n(\mathbb R)$. Est-il connexe par arcs?
Indication
Corrigé
Exercice 13 - Polynômes caractéristiques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $A,B$ deux matrices de $M_n(\mathbb C)$.
  1. Montrer que si $A$ est inversible, il existe $P\in GL_n(\mathbb C)$ tel que $BA=P^{-1}(AB)P$. En déduire que $AB$ et $BA$ ont le même polynôme caractéristique.
  2. Soit $t\in\mathbb C$. On suppose que $t$ n'est pas valeur propre de $A$. Montrer que les matrices $(A-tI_n)B$ et $B(A-tI_n)$ ont le même polynôme caractéristique.
  3. On fixe $x\in\mathbb C$. On définit $f:\mathbb C\to\mathbb C$ et $g:\mathbb C\to\mathbb C$ les applications définies par $$f(t)=\det\big((A-tI_n)B-xI_n\big)\textrm{ et }g(t)=\det\big(B(A-tI_n)-xI_n\big).$$ Montrer que les fonctions $f$ et $g$ sont continues. En déduire $f(0)=g(0)$.
  4. En déduire que $AB$ et $BA$ ont le même polynôme caractéristique.
Indication
Corrigé
Exercice 14 - Matrices de rang majoré [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n>0$ et $0\leq p\leq n$ deux entiers. Montrer que l'ensemble $F_p$ des éléments de $\mathcal M_n(\mathbb R)$ de rang inférieur ou égal à $p$ est un fermé de $\mathcal M_n(\mathbb R)$.
Indication
Corrigé
Exercice 15 - Adhérence des matrices diagonalisables [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\geq 1$ un entier.
  1. Démontrer que l'ensemble des matrices diagonalisables est dense dans $\mathcal M_n(\mtc)$.
  2. Soit $A=\left(\begin{array}{cc} 0&1\\ -1&0 \end{array}\right)$. Démontrer qu'il existe un voisinage de $A$ dans $\mathcal M_2(\mathbb R)$ ne contenant aucune matrice diagonalisable.
Indication
Corrigé
Exercice 16 - Intérieur de l'ensemble des matrices diagonalisables [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer l'intérieur de l'ensemble des matrices diagonalisables de $\mathcal M_n(\mathbb C)$.
Indication
Corrigé
Avec la norme des applications linéaires
Exercice 17 - Majoration de valeur propre [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé. On munit $\mathcal{L}_c(E)$ de la norme des applications linéaires. Soit $f\in\mathcal{L}_c(E)$, et $\lambda\in \mtc$ une valeur propre de $f$. Montrer que $|\lambda|\leq\|f\|$.
Corrigé
Exercice 18 - Endomorphismes 1-lipschitziens [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un $\mathbb R$-espace vectoriel de dimension finie $n$. Soit $u\in\mathcal L(E)$ vérifiant, pour tout $x\in E$, $\|u(x)\|\leq 1$.
  1. Montrer que $\ker(u-Id_E)=\ker(u-Id_E)^2$.
  2. En déduire que $\ker(u-Id_E)\oplus \textrm{Im}(u-Id_E)=E$.
  3. Pour $n\geq 1$, on pose $u_n=\frac{1}n(Id_E+u+\dots+u^{n-1})$. Montrer que $u_n$ converge dans $\mathcal L(E)$ vers une application $v$ que l'on déterminera.
Indication
Corrigé
Exercice 19 - Endomorphismes qui laissent stables un compact [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un $\mtr-$espace vectoriel normé de dimension finie, et $K$ un compact de $E$ tel que $0\in\stackrel{\circ}{K}$. On note $H$ l'ensemble des $u\in\mathcal{L}(E)$ tels que $u(K)\subset K$. Montrer que pour tout $u\in H$, on a $|\det u|\leq 1$.
Indication
Corrigé