$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Espaces vectoriels normés

Enoncé
Dites si les propositions suivantes sont vraies ou fausses :
  1. Si $(E,N)$ est un espace vectoriel normé, $x\in E$, $r>0$ et $B(x,r)$ est la boule de centre $x$ et de rayon $r>0$, alors pour tout $\lambda>0$, $\lambda B(x,r)=B(x,\lambda r)$.
  2. $N:(x,y)\mapsto |5x+3y|$ est une norme sur $\mtr^2$.
  3. Soit $(E,\|\cdot\|)$ un espace vectoriel normé, et $x,y$ deux vecteurs de $E$ tels que $\|x+y\|=\|x\|+\|y\|$. Alors $x\in\textrm{vect}(y)$.
  4. Soit $E=\mathbb R_1[X]$. Alors $N:P\mapsto |P(0)|+|P(1)|$ est une norme sur $E$.
  5. Si $N_1$ et $N_2$ sont deux normes équivalentes sur $E$, et si on note $B_1=\{x\in E;\ N_1(x)\leq 1\}$ et $B_2=\{x\in E;\ N_2(x)\leq 1\}$, alors il existe $a,b>0$ tels que $aB_1\leq B_2\leq bB_1$.
  6. Soit $(u_n)$ une suite de l'espace vectoriel normé $(E,\|\cdot\|)$ et soit $\ell\in E$. Alors $(u_n)$ converge vers $\ell$ si et seulement si $(\|u_n-\ell\|)$ tend vers 0.
  7. Une suite $(u_n)$ de l'espace vectoriel normé $(E,\|\cdot\|)$ converge si et seulement si toute suite extraite de $(u_n)$ converge.
Indication
Corrigé
Boules et normes
Exercice 2 - Translatée d'une boule [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(E,\|\cdot\|)$ un espace vectoriel normé, $x,y\in E$. Démontrer que $x+\bar B(y,r)=\bar B(x+y,r)$.
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Inégalités sur les normes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(E,\|\cdot\|)$ un espace vectoriel normé.
  1. Démontrer que, pour tous $x,y\in E$, on a $$\|x\|+\|y\|\leq \|x+y\|+\|x-y\|.$$ En déduire que $$\|x\|+\|y\|\leq 2\max(\|x+y\|,\|x-y\|).$$ La constante $2$ peut elle être améliorée?
  2. On suppose désormais que la norme est issue d'un produit scalaire. Démontrer que, pour tous $x,y\in E$, on a $$(\|x\|+\|y\|)^2\leq \|x+y\|^2+\|x-y\|^2.$$ En déduire que $$\|x\|+\|y\|\leq \sqrt 2\max(\|x+y\|,\|x-y\|).$$ La constante $\sqrt 2$ peut elle être améliorée?
Indication
Corrigé
Enoncé
Montrer que si deux boules $\bar B(a,r)$ et $\bar B(a',r')$ d'un espace vectoriel normé $(E,\|\cdot\|)$, $E\neq \{0\}$, sont égales, alors $a=a'$ et $r=r'$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé. Pour $a\in E$ et $r>0$, on note $\bar B(a,r)$ la boule fermée de centre $a$ et de rayon $r$. On fixe $a,b\in E$ et $r,s>0$.
  1. On suppose que $\bar B(a,r)\subset \bar B(b,s)$. Démontrer que $\|a-b\|\leq s-r$.
  2. On suppose que $\bar B(a,r)\cap \bar B(b,s)=\varnothing$. Montrer que $\|a-b\|>r+s$.
Indication
Corrigé
Exercice 6 - Norme invariante par conjugaison [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Donner un exemple de matrice $A$ non-nulle de $\mathcal M_2(\mathbb R)$ qui soit semblable à $2A$.
  2. Existe-t-il sur $\mathcal M_n(\mathbb R)$ une norme $\|\cdot\|$ telle que, pour tout $A\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ et pour tout $P\in GL_n(\mathbb R)$, on a $\|PAP^{-1}\|=\|A\|$?
Indication
Corrigé
Exemples de normes
Enoncé
On définit sur $\mtr^2$ les 3 applications suivantes : $$N_1((x,y))=|x|+|y|,\ N_2((x,y))=\sqrt{x^2+y^2},\ N_\infty((x,y))=\max(|x|,|y|).$$ Prouver que $N_1$, $N_2$, $N_\infty$ définissent 3 normes sur $\mtr^2$. Prouver que l'on a : $$\forall \alpha\in\mtr^2,\ N_\infty(\alpha)\leq N_2(\alpha)\leq N_1(\alpha)\leq 2 N_\infty(\alpha).$$ $N_1$, $N_2$ et $N_\infty$ sont-elles équivalentes? Dessiner les boules unités fermées associées à ces normes.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E$ l'espace vectoriel des fonctions continues sur $[0,1]$ à valeurs dans $\mtr$. On définit pour $f\in E$ $$\|f\|_\infty=\sup\left\{|f(x)|;\ x\in[0,1]\right\},\ \|f\|_1=\int_{0}^1 |f(t)|dt.$$ Vérifier que $\|.\|_\infty$ et $\|.\|_1$ sont deux normes sur $E$. Montrer que, pour tout $f\in E$, $\|f\|_1\leq \|f\|_\infty.$ En utilisant la suite de fonctions $f_n(x)=x^n$, prouver que ces deux normes ne sont pas équivalentes.
Corrigé
Exercice 9 - CNS pour avoir une norme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $a_1,\dots,a_n$ des réels et $N:\mathbb R^n\to\mathbb R$ définie par $$N(x_1,\dots,x_n)=a_1|x_1|+\dots +a_n |x_n|.$$ Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur les $a_k$ pour que $N$ soit une norme sur $\mathbb R^n$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $N_1$ et $N_2$ deux normes sur un espace vectoriel $E$. On pose $N=\max(N_1,N_2)$. Démontrer que $N$ est une norme sur $E$.
Corrigé
Enoncé
Soit $a,b>0$. On pose, pour tout $(x,y)\in\mathbb R^2$, $N(x,y)=\sqrt{a^2x^2+b^2y^2}$.
  1. Prouver que $N$ est une norme.
  2. Dessiner la boule de centre 0 et de rayon 1.
  3. Déterminer le plus petit nombre $p>0$ tel que $N\leq p\|.\|_2$ et le plus grand nombre $q$ tel que $q\|.\|_2\leq N$.
Indication
Corrigé
Enoncé
On définit une application sur $\mathcal M_n(\mtr)$ en posant $$N(A)=n\max_{i,j}{|a_{i,j}|}\textrm{ si }A=(a_{i,j}).$$ Vérifier que l'on définit bien une norme sur $\mathcal M_n(\mtr)$, puis qu'il s'agit d'une norme d'algèbre, c'est-à-dire que $$N(AB)\leq N(A)N(B)\textrm{ pour toutes matrices }A,B\in \mathcal M_n(\mtr).$$
Indication
Corrigé
Exercice 13 - Avec une racine carrée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour tout $x=(a,b)\in\mathbb R^2$, on définit $$N(x)=\sqrt{a^2+2ab+5b^2}.$$ Démontrer que $N$ est une norme sur $\mathbb R^2$.
Indication
Corrigé
Exercice 14 - Une norme induite par la trace [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $A,B\in\mathcal M_n(\mathbb R)$, on définit $$\langle A,B\rangle=\textrm{tr}(A^T B).$$
  1. Démontrer que cette formule définit un produit scalaire sur $\mathcal M_n(\mathbb R)$. On notera $N$ la norme associée.
  2. Démontrer que, pour tous $A,B\in\mathcal M_n(\mathbb R)$, on a $N(AB)\leq N(A)N(B)$.
Indication
Corrigé
Exercice 15 - Sup sur les polynômes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A$ une partie non vide de $\mathbb R$. Pour tout polynôme $P\in\mathbb R[X]$, on pose $$\|P\|_A=\sup_{x\in A}|P(x)|.$$ Quelles conditions $A$ doit-elle satisfaire pour que l'on obtienne une norme sur $\mathbb R[X]$?
Indication
Corrigé
Exercice 16 - Inégalités de Hölder et de Minkowski [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $(x,y,p,q)\in\mtr_+^*$ tels que $1/p+1/q=1$, et $a_1,\dots,a_n,b_1,\dots,b_n$ $2n$ réels strictement positifs.
  1. Montrer que $$xy\leq \frac{1}{p}x^p+\frac{1}{q}y^q.$$
  2. On suppose dans cette question que $\sum_{i=1}^n a_i^p=\sum_{i=1}^n b_i^q=1.$ Montrer que $\sum_{i=1}^n a_ib_i\leq 1$.
  3. En déduire la splendide inégalité de Hölder : $$\sum_{i=1}^n a_ib_i\leq\left(\sum_{i=1}^n a_i^p\right)^{1/p}\left(\sum_{i=1}^n b_i^q\right)^{1/q}.$$
  4. On suppose en outre que $p>1$. Déduire de l'inégalité de Hölder l'inégalité de Minkowski : $$\left(\sum_{i=1}^n (a_i+b_i)^p\right)^{1/p}\leq\left(\sum_{i=1}^na_i^p\right)^{1/p}+\left(\sum_{i=1}^n b_i^p\right)^{1/p}.$$
  5. On définit pour $x=(x_1,\dots,x_n)\in \mathbb R^n$ $$\|x\|_p=(|x_1|^p+\dots+|x_n|^p)^{1/p}.$$ Démontrer que $\|\cdot\|_p$ est une norme sur $\mathbb R^n$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $N$ l'application de $\mtr^2$ dans $\mtr$ : $(x,y)\mapsto \sup_{t\in\mtr}\frac{|x+ty|}{\sqrt{1+t^2}}$.
  1. Montrer que $N$ est une norme sur $\mtr^2$.
  2. La comparer à la norme euclidienne.
  3. Expliquer.
Indication
Corrigé
Normes équivalentes
Exercice 18 - Normes classiques sur les polynômes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E=\mtr[X]$ l'espace vectoriel des polynômes. On définit sur $E$ trois normes par, si $P=\sum_{i=0}^p a_iX^i$ : $$N_1(P)=\sum_{i=0}^p |a_i|,\ N_2(P)=\left(\sum_{i=0}^p |a_i|^2\right)^{1/2},\ N_\infty(P)=\max_i |a_i|.$$ Vérifier qu'il s'agit de 3 normes sur $\mtr[X]$. Sont-elles équivalentes deux à deux?
Indication
Corrigé
Exercice 19 - Normes classiques sur les fonctions continues [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E=\mathcal C([0,1],\mathbb R)$. On définit les normes $\|\cdot\|_1$, $\|\cdot\|_2$ et $\|\cdot\|_\infty$ par $$\|f\|_1=\int_0^1|f(t)|dt,\ \|f\|_2=\left(\int_0^1|f(t)|^2\right)^{1/2}\textrm{ et }\|f\|_\infty=\sup_{x\in [0,1]}|f(x)|.$$ Démontrer que ces trois normes ne sont pas équivalentes deux à deux.
Indication
Corrigé
Enoncé
Sur $E=\mathbb R[X]$, on définit $N_1$ et $N_2$ par $$N_1( P)=\sum_{k=0}^{+\infty}|P^{(k)}(0)|\textrm{ et }N_2( P)=\sup_{t\in [-1,1]}|P(t)|.$$
  1. Démontrer que $N_1$ et $N_2$ sont deux normes sur $E$.
  2. Étudier pour chacune des deux normes la convergence de la suite $(P_n)$ définie par $P_n=\frac 1nX^n$.
  3. Les deux normes sont-elles équivalentes?
Corrigé
Exercice 21 - Deux normes équivalentes sur $\mathcal C^1$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E=\mathcal C^1([0,1],\mathbb R)$. On définit $$N(f)=|f(0)|+\|f'\|_\infty,\ N'(f)=\|f\|_{\infty}+\|f'\|_\infty.$$
  1. Démontrer que $N$ et $N'$ sont deux normes sur $E$.
  2. Démontrer que $N$ et $N'$ sont équivalentes.
  3. Sont-elles équivalentes à $\|\cdot\|_\infty$?
Indication
Corrigé
Exercice 22 - Normes sur les polynômes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $a\geq 0$. Pour $P\in\mathbb R[X]$, on définit $$N_a(P)=|P(a)|+\int_0^1 |P'(t)|dt.$$
  1. Démontrer que $N_a$ est une norme sur $\mathbb R[X]$.
  2. Soit $a,b\geq 0$ avec $a< b$ et $b>1$. Démontrer que $N_a$ et $N_b$ ne sont pas équivalentes.
  3. Démontrer que si $(a,b)\in [0,1]^2$, alors $N_a$ et $N_b$ sont équivalentes.
Indication
Corrigé
Exercice 23 - Norme intégrale sur les fonctions $C^1$. [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E=\mathcal C^1([0,1],\mathbb R)$. Pour $f\in E$, on pose $$N(f)=\left(f^2(0)+\int_0^1 (f'(t))^2dt\right)^{1/2}.$$
  1. Démontrer que $N$ est une norme sur $E$.
  2. Démontrer que, pour tout $f\in E$, $\|f\|_\infty\leq \sqrt 2 N(f)$.
  3. Les deux normes $N$ et $\|\cdot\|_\infty$ sont elles équivalentes?
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E=\mathcal C([0,1],\mathbb R)$. Pour $f,g\in E$, on pose $N_g(f)=\|gf\|_\infty$.
  1. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $g$ pour que $N_g$ soit une norme.
  2. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $g$ pour que $N_g$ soit équivalente à la norme infinie.
Indication
Corrigé