$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Espaces métriques

Exemples de distance
Exercice 1 - Distance sur des booléens [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\geq 1$ et $X=\{0,1\}^n$. Pour $x,y\in X$, on définit $d(x,y)$ comme le nombre de composantes de $x$ et de $y$ qui ont des entrées différentes. Démontrer que $d$ définit une distance sur $X$.
Corrigé
Enoncé
Démontrer que l'application $d(u,v)=\frac{|u-v|}{1+|u-v|}$ définie une distance sur $\mathbb R$.
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Boules pour une certaine distance [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $X=]0,+\infty[$. Pour $x,y\in X$, on note $$\delta(x,y)=\left|\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right|.$$
  1. Démontrer que $\delta$ est une distance sur $X$.
  2. Déterminer $B(1,1)$ pour cette distance.
  3. La partie $A=]0,1]$ est-elle bornée pour cette distance? fermée?
  4. Déterminer les boules ouvertes pour cette distance.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E$ un ensemble. On définit $d$ sur $E\times E$ par $d(x,y)=1$ si $x\neq y$ et $d(x,y)=0$ si $x=y$.
  1. Démontrer que $d$ est une instance.
  2. Déterminer $B(x,r)$ où $x\in E$ et $r>0$.
  3. En déduire les ouverts et les fermés de $(E,d)$.
Indication
Corrigé
Topologie des espaces métriques
Enoncé
Soit $F$ une partie fermée d'un espace métrique $X$. On suppose que $d(x,F)=0$. Démontrer que $x\in F$.
Indication
Corrigé
Exercice 6 - Deux parties disjoints dont l'une est ouverte [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A$ et $B$ deux parties d'un espace métrique. On suppose que $A$ est ouverte et que $A\cap B=\varnothing$. Démontrer que $A\cap\overline{B}=\varnothing$.
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Un fermé est intersection d'ouverts [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer que dans un espace métrique, toute partie fermée est intersection dénombrable de parties ouvertes.
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Séparation par des ouverts [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $A$ et $B$ deux parties d'un espace métrique $X$. On suppose que $\inf\{d(a,b);\ a\in A,\ b\in B\}>0$. Démontrer qu'il existe deux parties ouvertes $U,V$ de $X$ telles que $A\subset U$, $B\subset V$ et $U\cap V=\varnothing$.
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Intersection finie d'ouverts denses [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $U_1,\dots,U_n$ un nombre fini d'ouverts denses d'un espace métrique $(E,d)$. Démontrer que $\bigcap_{i=1}^n U_i$ est un ouvert dense.
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Opérations ensemblistes, intérieur et adhérence [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $A,B$ deux parties d'un espace métrique $(E,d)$.
  1. On suppose $A\subset B$. Démontrer que $\mathring A\subset\mathring B$ et que $\bar A\subset\bar B$.
  2. Démontrer que $(A\cap B)^\circ=\mathring A\cap\mathring B$ et que $\mathring A\cup\mathring B\subset ( A\cup B)^\circ$, mais que l'inclusion peut être stricte.
  3. Comparer $\overline{A\cap B}$ et $\bar A\cap \bar B$, puis $\overline{A\cup B}$ et $\bar A\cup \bar B$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $A$ une partie d'un espace métrique $(E,d)$. On rappelle que la frontière de $A$ est l'ensemble $\Fr(A)=\bar A\backslash \stackrel{\circ}{A}=\bar A\cap \overline{C_E A}$. Montrer que :
  1. $ \Fr(A)=\{x\in E \mid \forall \epsilon>0, B(x,\epsilon)\cap A \neq\emptyset \textrm{ et } B(x,\epsilon)\cap C_E A\neq\emptyset\}$.
  2. $\Fr(A)=\Fr(C_E A)$.
  3. $A$ est fermé si et seulement si $\Fr(A)$ est inclus dans $A$.
  4. $A$ est ouvert si et seulement si $\Fr(A)\cap A=\emptyset$.
  5. Montrer que si $A$ est fermé, alors $\Fr(\Fr(A))=\Fr(A)$.
Indication
Corrigé
Continuité d'applications définies sur des espaces métriques
Exercice 12 - Espace métrique produit, injection et projection [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(E_1,d_1)$ et $(E_2,d_2)$ deux espaces métriques, et soit $E=E_1\times E_2$ l'espace produit.
  1. Démontrer que les projections $\pi_i:E\to E_i,\ (x_1,x_2)\mapsto x_i$, sont continues.
  2. On fixe $(a,b)\in E$. Démontrer que les injections $i_1:E_1\to E,\ x_1\mapsto (x_1,b)$ and $i_2:E_2\to E,\ x_2\mapsto (a,x_2)$, sont continues.
Indication
Corrigé
Exercice 13 - Distance à une partie [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(E,d)$ un espace métrique et $A\subset E$. Montre que, pour tous $(x,y)\in E$, on a $$|d(x,A)-d(y,A)|\leq d(x,y).$$ En déduire que $x\mapsto d(x,A)$ est continue.
Indication
Corrigé
Exercice 14 - Une condition nécessaire et suffisante de continuité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(E,d)$ et $(F,d)$ deux espaces métriques et $f:E\to F$. Démontrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
  1. $f$ est continue;
  2. L'image réciproque de tout ouvert de $F$ par $f$ est un ouvert de $E$;
  3. L'image réciproque de tout fermé de $F$ par $f$ est un fermé de $E$;
  4. Pour toute partie $A$ de $E$, on a $f(\bar A)\subset\overline{f(A)}$.
Indication
Corrigé