$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Exercices corrigés - Espaces connexes, connexes par arcs

Connexité par arcs
Exercice 1 - Intérieur, produit, somme et connexité par arcs [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé et $A$, $B$ deux parties connexes par arcs de $E$.
  1. Démontrer que $A\times B$ est connexe par arcs.
  2. En déduire que $A+B$ est connexe par arcs.
  3. L'intérieur de $A$ est-il toujours connexe par arcs?
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Union de connexes par arcs ayant un point commun [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(A_i)_{i\in I}$ une famille de parties connexes par arcs de l'espace vectoriel normé $E$ telles que $\bigcap_{i\in I}A_i\neq\varnothing$. Démontrer que $\bigcup_{i\in I}A_i$ est connexe par arcs.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $I$ un intervalle de $\mathbb R$ et $f:I\to\mathbb R$. On souhaite démontrer à l'aide de la connexité par arcs le résultat classique suivant : si $f$ est continue et injective, alors $f$ est strictement monotone. Pour cela, on pose $C=\{(x,y)\in\mathbb R^2;\ x>y\}$ et $F(x,y)=f(x)-f(y)$, pour $(x,y)\in C$.
  1. Démontrer que $F(C)$ est un intervalle.
  2. Conclure.
Indication
Corrigé
Enoncé
On dit que deux parties $A$ et $B$ de deux espaces vectoriels normés $E$ et $F$ sont homéomorphes s'il existe une bijection $f:A\to B$ telle que $f$ et $f^{-1}$ soient continues.
  1. Démontrer que $\mathbb R^2\backslash\{0\}$ est connexe par arcs.
  2. Démontrer que $\mathbb R$ et $\mathbb R^2$ ne sont pas homéomorphes.
  3. Démontrer que $[0,1]$ et le cercle trigonométrique ne sont pas homéomorphes.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $I$ un intervalle ouvert de $\mathbb R$ et soit $f:I\to \mathbb R$ une application dérivable. Notons $A=\{(x,y)\in I\times I;\ x<y\}.$
  1. Démontrer que $A$ est une partie connexe par arcs de $\mathbb R^2$.
  2. Pour $(x,y) \in A$, posons $g(x,y) = \frac{f(y)-f(x)}{y-x}$. Démontrer que $g(A)\subset f'(I)\subset \overline{g(A)}$.
  3. Démontrer que $f'(I)$ est un intervalle.
Indication
Corrigé
Exercice 6 - Application localement constante sur un connexe par arcs [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A$ une partie d'un espace vectoriel normé $E$, et $f:A\to F$ une application continue, où $F$ est un espace vectoriel normé. On dit que $f$ est localement constante si, pour tout $a\in A$, il existe $r>0$ tel que $f$ est constante sur $B(a,r)\cap A$. Le but de l'exercice est de démontrer que si $A$ est connexe par arcs et $f$ est localement constante, alors $f$ est constante. Pour cela, on fixe $a,b\in A$ et on considère $\phi:[0,1]\to A$ un chemin continu tel que $\phi(0)=a$ et $\phi(1)=b$. On pose $t=\sup\{s\in [0,1];\ f(\phi(s))=f(a)\}$.
  1. Démontre que $t=1$.
  2. Conclure.
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Parties ouvertes et fermées d'un connexe par arcs [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $A$ une partie connexe par arcs d'un espace vectoriel normé, et soit $B$ une partie de $A$ qui est à la fois ouverte et fermée relativement à $A$. On pose $f:A\to \mathbb R$ définie par $f(x)=1$ si $x\in B$ et $f(x)=0$ si $x\notin B$.
  1. Démontrer que $f$ est continue.
  2. En déduire que $B=\varnothing$ ou $B=A$.
Indication
Corrigé
Connexité
Enoncé
Soient $A,B$ deux parties d'un espace vectoriel normé $E$. Les assertions suivantes sont-elles vraies ou fausses?
  1. Si $A$ est connexe, alors sa frontière est connexe.
  2. Si $\bar A$ est connexe, alors $A$ est connexe.
  3. Si $A$ et $B$ sont connexes, alors $A\cap B$ est connexe.
  4. Si $A$ et $B$ sont convexes, alors $A\cap B$ est connexe.
  5. Si $A$ et $B$ sont connexes, alors $A\cup B$ est connexe.
  6. Si $f:A\to F$ est continue, avec $A$ convexe et $F$ espace vectoriel normé, alors $f(A)$ est convexe.
Corrigé
Exercice 9 - Composantes connexes du complémentaire d'un sous-espace vectoriel [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $H$ un sous-espace vectoriel de $\mathbb R^n$, $n\geq 2$, de dimension $n-1$. Démontrer que $\mathbb R^n\backslash H$ admet deux composantes connexes.
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Fermeture d'une partie connexe [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A$ une partie connexe de $E$ et $B$ une partie telle que $A\subset B\subset \bar A$. Démontrer que $B$ est connexe.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(A_i)_{i\in I}$ une famille de parties connexes de $E$ telles que, pour tout $i,j\in I$, alors $A_i\cap A_j\neq\varnothing$. Démontrer que $\bigcup_{i\in I}A_i$ est connexe.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E_1$ et $E_2$ deux espaces métriques. Démontrer que $E_1\times E_2$ est connexe si et seulement si $E_1$ et $E_2$ sont connexes.
Indication
Corrigé
Exercice 13 - Propriété du point fixe [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On dit qu'une partie $A$ d'un espace vectoriel normé $E$ possède la propriété du point fixe si toute application continue $f:A\to A$ admet un point fixe. Démontrer que si $A$ possède la propriété du point fixe, alors $A$ est connexe. La réciproque est-elle vraie?
Indication
Corrigé
Exercice 14 - Intersection par un connexe [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $A$ et $B$ deux parties de $E$.
  1. Démontrer que la fonction $f$ définie sur $\mathring A\cup \bar A^c$ par $f(x)=1$ si $x\in \mathring A$ et $f(x)=0$ sinon est continue.
  2. En déduire que si $B$ est connexe, si $B\cap A\neq\varnothing$ et si $B\cap A^c\neq\varnothing$, alors $B$ coupe la frontière de $A$.
Indication
Corrigé
Exercice 15 - Ouverts de $\mathbb R$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer que les composantes connexes d'un ouvert de $\mathbb R^n$ sont ouvertes. En déduire que tout ouvert de $\mathbb R$ est réunion d'une famille finie ou dénombrables d'intervalles ouverts deux à deux disjoints.
Corrigé
Exercice 16 - Espaces bien enchainés [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(E,d)$ un espace métrique et $x,y\in E$. On dit qu'il existe une $\veps$-chaine reliant $x$ à $y$ s'il existe $x=x_1,x_2,\dots,x_n=y$ un nombre fini de points de $E$ tels que $d(x_i,x_{i+1})<\veps$ pour tout $i=1,\dots,n-1$. On dit que $E$ est bien enchaîné si, pour tout $\veps>0$ et tous $x,y\in E$, il existe une $\veps$-chaine reliant $x$ à $y$.
  1. Pour $x\in E$ et $\veps>0$, on pose $A(x,\veps)=\{y\in E;$ il existe une $\veps$-chaine reliant $x$ à $y\}$. Démontrer que $A$ est ouvert et fermé.
  2. En déduire que si $E$ est connexe, alors $E$ est bien enchainé.
  3. La réciproque est-elle vraie?
  4. On suppose que $E$ est compact et bien enchaîné. Démontrer que $E$ est connexe.
Indication
Corrigé
Exercice 17 - Connexité de l'ensemble des valeurs d'adhérence [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé de dimension finie. On dit qu'une suite $u=(u_n)$ de $E$ est à évolution lente si $$\lim_{n\to+\infty}\|u_{n+1}-u_n\|=0.$$ Pour une suite $u$ de $E$, on note $V(u)$ l'ensemble de ses valeurs d'adhérence, dont on rappelle que c'est un fermé de $E$. Le but de l'exercice est de démontrer que si une suite $u$ est bornée et à évolution lente, alors l'ensemble $V(u)$ est connexe. On effectue un raisonnement par l'absurde et on suppose que $V(u)$ n'est pas connexe.
  1. Démontrer qu'il existe deux compacts $K_1$ et $K_2$ vérifiant $$\left\{ \begin{array}{rcl} K_1\cap K_2&=&\varnothing\\ K_1\cup K_2&=&V(u). \end{array}\right.$$
  2. Démontrer que la distance entre $K_1$ et $K_2$ est strictement positive. Elle sera notée $a$.
  3. On note $\Omega_1=\{x\in E;\ d(x,K_1)<a\}$ et $\Omega_2=\{x\in E;\ d(x,K_2)<a\}$. On considère $M$ un majorant de la suite $\|u\|=(\|u_n\|)_n$. Démontrer que $$K=\overline{B(0,M)}\backslash (\Omega_1\cup\Omega_2)$$ est un compact.
  4. Démontrer qu'il existe une suite extraite de $u$ à valeurs dans $K$ et conclure.
(d'après un problème d'agrégation interne)
Indication
Corrigé
Exercice 18 - Un exemple d'ensemble connexe et non connexe par arcs [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On note $A=\{(x,\sin(1/x);\ x>0\}$.
  1. Démontrer que $A$ est connexe.
  2. Démontrer que $\bar A=(\{0\}\times [-1,1])\cup A$.
  3. Démontrer que $\bar A$ est connexe.
  4. On souhaite démontrer que $\bar A$ n'est pas connexe par arcs. On raisonne par l'absurde et on suppose qu'il existe un chemin continu $\gamma:[0,1]\to\bar A$ avec $\gamma(0)=(0,0)$ et $\gamma(1)=(1,\sin 1)$. On note $\gamma(t)=(u(t),v(t))$ de sorte que, si $u(t)\neq 0$, alors $v(t)=\sin(1/u(t))$. Enfin, on note $t_0=\sup\{t>0;\ u(t)=0\}$ (l'instant où le chemin quitte l'axe des ordonnées).
    1. Démontrer que $u(t_0)=0$.
    2. On pose $a=v(t_0)$. Justifier qu'il existe $\veps>0$ tel que, si $t_0\leq t\leq t+\veps$, alors $|v(t)-a|<1/2$.
    3. Soit $n\in\mathbb N$ tel que $\frac{1}{2n\pi-\frac\pi 2}<u(t_0+\veps)$. Justifier qu'il existe $t_1,t_2\in [t_0,t_0+\veps]$ avec $u(t_1)=\frac 1{2n\pi-\frac \pi 2}$ et $u(t_2)=\frac{1}{2n\pi+\frac \pi2}$.
    4. Conclure.
Indication
Corrigé