$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Exercices corrigés - Espaces complets, espaces de Banach

Suites de Cauchy
Enoncé
Soit $(E,\|\cdot\|)$ un espace vectoriel normé et $(x_n)_{n\in\mtn}$ une suite d'éléments de $E$. On suppose que $(x_n)$ est de Cauchy. Montrer qu'elle converge si et seulement si elle admet une sous-suite convergente.
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Suite de Cauchy et séries [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(X,d)$ un espace métrique et $(x_n)$ une suite de $X$. Démontrer que si $\sum_{n\geq 1}d(x_n,x_{n+1})<+\infty$, alors la suite $(x_n)$ est de Cauchy. La réciproque est-elle vraie?
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Fonction asymptotiquement linéaire [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction continue telle qu'il existe $a>0$ satisfaisant, pour tous $x,y\in\mathbb R$, $$|f(x+y)-f(x)-f(y)|\leq a.$$
  1. Démontrer que, pour tout $y\in\mathbb R$ et tout $k\geq 1$, $$|f(2^k y)-2^kf(y)|\leq 2^k a.$$
  2. En déduire que, pour tout $x\in\mathbb R$, la suite $\left(\frac{f(2^n x)}{2^n}\right)$ est une suite de Cauchy.
  3. En déduire que la fonction $g(x)=\lim_n \frac{f(2^n x)}{2^n}$ existe et qu'elle vérifie, pour tous $x,y\in\mathbb R$, $$g(x+y)=g(x)+g(y).$$
Indication
Corrigé
Espaces complets
Enoncé
Soit $X=]0,+\infty[$. Pour $x,y\in X$, on note $$\delta(x,y)=\left|\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right|.$$ Montrer que $\delta$ est une distance sur $X$. L'espace métrique $(X,\delta)$ est-il complet?
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E$ l'espace vectoriel des fonctions continues de $[-1,1]$ à valeurs dans $\mtr$. On définit une norme sur $E$ en posant $$\|f\|_1=\int_{-1}^1 |f(t)| \,dt.$$ On va montrer que $E$ muni de cette norme n'est pas complet. Pour cela, on définit une suite $(f_n)_{n\in\mtn^*}$ par \[f_n(t)=\begin{cases} -1 &\text{si } -1\le t \le -\frac1n\\ nt &\text{si } -\frac1n\le t \le \frac1n\\ 1 &\text{si } \frac1n \le t\le 1. \end{cases}\]
  1. Vérifier que $f_n\in E$ pour tout $n\ge 1$.
  2. Montrer que $$\|f_n-f_p\|\le \sup(\frac2n,\frac2p)$$ et en déduire que $(f_n)$ est de Cauchy.
  3. Supposons qu'il existe une fonction $f\in E$ telle que $(f_n)$ converge vers $f$ dans $(E,\|\cdot\|_1)$. Montrer qu'alors on a $$\lim_{n\rightarrow+\infty}\int_{-1}^{-\alpha} |f_n(t)-f(t)|\, dt=0 \qquad \text{et} \qquad \lim_{n\rightarrow+\infty}\int_{\alpha}^1 |f_n(t)-f(t)|\, dt=0$$ pour tout $0<\alpha<1$.
  4. Montrer qu'on a $$\lim_{n\rightarrow+\infty}\int_{-1}^{-\alpha} |f_n(t)+1|\, dt=0 \qquad \text{et} \qquad \lim_{n\rightarrow+\infty}\int_{\alpha}^1 |f_n(t)-1|\, dt=0$$ pour tout $0<\alpha<1$. En déduire que \begin{align*} &f(t)=-1\qquad &\forall t\in[-1,0[\\ &f(t)=1\qquad &\forall t\in ]0,1]. \end{align*} Conclure.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $X$ un ensemble. On note $B(X,\mtr)$ l'espace vectoriel des fonctions bornées de $X$ dans $\mtr$. On munit $B(X,\mtr)$ d'une norme $\|\cdot\|$ en posant $$\forall f\in B(X,\mtr),\ \|f\|=\sup_{x\in X}|f(x)|.$$ Montrer que $(B(X,\mtr),\|\cdot\|)$ est un espace de Banach.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E=\mathcal C^1([0,1])$ que l'on munit de $N(f)=\|f\|_\infty+\|f'\|_\infty$. Démontrer que $(E,N)$ est un espace complet.
Indication
Corrigé
Enoncé
On note $\ell^1$ l'espace vectoriel des suites $x=(x(k))_{k\in\mtn}$ réelles vérifiant : $$\|x\|=\sum_{k=0}^{+\infty}|x(k)|<+\infty.$$ On admettra que l'on définit ainsi une norme sur $\ell^1$. On cherche à prouver que $\ell^1$ est un espace de Banach. Soit donc $(x_n)_{n\in\mtn}$ une suite de Cauchy d'éléments de $\ell^1$. Etant donné $\veps>0$, il existe donc $N(\veps)\in\mtn$ tel que, si $n,l\geq N(\veps)$, alors : $$\|x_n-x_l\|\leq\veps.$$
  1. Montrer qu'on a alors, pour tout $k\in\mtn$, et pour tous $n,l\geq N(\veps)$ $$\left|x_n(k)-x_l(k)\right|\leq\veps.$$
  2. Montrer que $\lim_{n\to+\infty}x_n(k)$ existe pour tout $k\in\mtn$.
  3. Montrer qu'il existe $K\in\mtn$ tel que $$\sum_{k\geq K}|x_{N(\veps)}(k)|\leq \veps.$$
  4. Montrer que pour tout $L\geq K$, on a : $$\sum_{K\leq k\leq L}|x(k)|\leq2\veps.$$
  5. En déduire que l'on a $x\in\ell^1$, et que : $$\lim_{n\to+\infty}\|x_n-x\|=0.$$
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Fonctions lipschitziennes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ l'ensemble des fonction de $[0,1]$ dans $\mathbb R$ qui sont lipschitziennes. On munit $E$ de la norme suivante : $$N(f)=\|f\|_\infty+\sup_{0\leq x<y\leq 1}\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}.$$ Démontrer que $(E,N)$ est un espace de Banach.
Corrigé
Exercice 10 - Applications linéaires continues [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé, $F$ un espace de Banach, et $\mcl_c(E,F)$ l'espace vectoriel normé des applications linéaires continues de $E$ dans $F$, muni de la norme des applications linéaires : $$\|f\|=\sup_{\|x\|=1}\|f(x)\|.$$ Montrer que $\mcl_c(E,F)$ est un espace de Banach.
Indication
Corrigé
Enoncé
On note $E$ l'espace des fonctions continues de $[-1,1]$ à valeurs dans $\mtc$. On définit sur $E$ l'application suivante : $$<f,g>=\int_{-1}^1 f(x)\overline{g(x)}dx.$$
  1. Montrer que l'on définit ainsi une forme hermitienne non dégénérée positive. En déduire que $$\|f\|_2=\left(\int_{-1}^1|f(x)|^2dx\right)^{1/2}$$ est une norme sur $E$.
  2. Si $f\in E$, on définit $$\|f\|_\infty=\sup\left\{|f(x)|;\ x\in[-1,1]\right\}.$$ Vérifier que $\|f\|_\infty$ définit une norme sur $E$.
  3. Montrer que les normes $\|.\|_\infty$ et $\|.\|_2$ ne sont pas équivalentes.
  4. Montrer que l'espace vectoriel normé $(E,\|.\|_\infty)$ est complet.
  5. Le but de cette question est de démontrer que $(E,\|.\|_2)$ n'est pas complet. Pour cela, on définit la suite de fonctions $(f_n)$ en posant : $$f_n(x)=\left\{\begin{array}{cc} -1 &\text{si } -1\le x \le -\frac1n\\ nx &\text{si } -\frac1n< x < \frac1n\\ 1 &\text{si } \frac1n \le x\le 1, \end{array}\right.$$ dont on va montrer que c'est une suite de Cauchy de $(E,\|.\|_2)$ sans que ce soit une suite convergente.
    1. Faire un dessin et vérifier que $f_n\in E$.
    2. Montrer que pour $1\leq n\leq p$, on a : $$\|f_n-f_p\|_2\leq\sqrt{\frac{2}{n}}.$$ En déduire que la suite $(f_n)$ est de Cauchy dans $(E,\|.\|)_2)$.
    3. Supposons que la suite $(f_n)$ converge vers $f$ dans $(E,\|.\|_2)$. Montrer que pour tout $t\in]0,1]$, on a $f(t)=1$. Que doit valoir $f$ sur $[-1,0[$? Conclure.
  6. L'application linéaire $T:E\to \mtc,\ f\mapsto f(0)$ est elle continue si on munit $E$ de $\|.\|_\infty$? si on munit $E$ de $\|.\|_2$?
Indication
Corrigé
Théorème du point fixe
Exercice 12 - Une itérée est contractante [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E=\mtr^d$ muni d'une norme $\|\cdot\|$. On rappelle qu'une application continue $g$ de $E$ dans $E$ est dite \emph{contractante} s'il existe $K\in ]0,1[$ tel que $$ \|g(x)-g(y)\|\le K \|x-y\| \qquad \forall x,y\in E.$$ On rappelle aussi que toute application contractante admet un unique point fixe. Soit $f$ une application continue de $E$ dans $E$ telle qu'il existe un entier $n$ tel que $f^n$ soit contractante. On note $x_0$ le point fixe de $f^n$.
  1. Montrer que tout point fixe de $f$ est un point fixe de $f^n$.
  2. Montrer que si $x$ est un point fixe de $f^n$, il en est de même pour $f(x)$.
  3. En déduire que $x_0$ est l'unique point fixe de $f$.
Indication
Corrigé
Exercice 13 - Un théorème de point fixe [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
L'objectif de cet exercice est de démontrer le théorème suivant : si $K$ est un convexe compact d'un espace de Banach $E$, et si $f:K\to K$ vérifie $$\forall (x,y)\in K^2,\ \|f(x)-f(y)\|\leq \|x-y\|,$$ alors $f$ admet un point fixe. On fixe un point $a\in K$.
  1. On définit sur $K$ la suite de fonctions $(f_n)$ par $$f_n(x)=f\left(\frac 1na+\left(1-\frac 1n\right)x\right).$$ Démontrer que, pour chaque $n$, $f_n$ admet un unique point fixe $(t_n)$.
  2. Conclure.
Indication
Corrigé
Exercice 14 - Résolution de système [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\mathbb R^2$ muni de la norme $$\|(x,y)\|_1=|x|+|y|.$$ On définit l'application $f:\mathbb R^2\to\mathbb R^2$ par : $$f(x,y)=\left(\frac14\sin(x+y),1+\frac23\arctan(x-y)\right).$$
  1. Démontrer qu'il existe une constante $k\in]0,1[$ telle que, quels que soient $(x,y),(x',y')\in\mathbb R^2$, on a $$\|f(x,y)-f(x',y')\|_1\leq k \|(x,y)-(x',y')\|_1.$$
  2. En déduire que le système $$\left\{ \begin{array}{rcl} \frac14\sin(x+y)&=&x\\ 1+\frac23\arctan(x-y)&=&y\\ \end{array} \right.$$ admet une unique solution dans $\mathbb R^2$.
  3. Aurait-on pu appliquer la même méthode en utilisant la norme $\|.\|_\infty$ au lieu de la norme $\|.\|_1$?
Indication
Corrigé
Exercice 15 - Résolution de système [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Montrer que le système $\displaystyle \left\{ \begin{array}{ll} x_1 &=\dis \frac{1}{5}(2\sin x_1 + \cos x_2 )\\[2mm] x_2 &=\dis \frac{1}{5}( \cos x_1 +3 \sin x_2) \end{array} \right. $ admet une solution unique $(x_1,x_2)\in \mathbb{R}^2$.
Indication
Corrigé
Exercice 16 - Théorème du point fixe avec paramètre [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $X$ et $E$ deux parties d'un espace vectoriel normé, $E$ étant une partie complète. On considère une application $F:X\times E\to E$, $(\lambda,x)\mapsto F(\lambda,x)$ continue, et $k$-contractante en la seconde variable, c'est-à-dire qu'elle existe $k\in]0,1[$ tel que : $$\forall \lambda\in X,\ \forall (x,y)\in E^2,\ \|F(\lambda,x)-F(\lambda,y)\|\leq k\|x-y\|.$$ Montrer que, pour tout $\lambda\in X$, il existe un unique $x_\lambda\in E$ tel que $F(\lambda,x_\lambda)=x_\lambda$. Montrer ensuite que l'application $X\to E$, $\lambda\mapsto x_\lambda$ est continue.
Indication
Corrigé
Propriétés topologiques
Exercice 17 - Intersection décroissante de boules fermés [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé complet. Soit $B_n=\bar B(a_n,r_n)$ une suite décroissante de boules fermées telle que $(r_n)$ ne tend pas vers 0.
  1. Question préliminaire : soit $a,b\in E$, $r,\rho>0$ tels que $\bar B(b,\rho)\subset \bar B(a,r)$. Démontrer que $\|a-b\|<r-\rho$.
  2. Démontrer que $(a_n)$ converge vers $a\in E$, que $(r_n)$ converge vers $r>0$, puis que $\bigcap _n B_n=\bar B(a,r)$.
Indication
Corrigé
Exercice 18 - Théorème des fermés emboités [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(X,d)$ un espace métrique complet. Montrer que l'intersection d'une suite décroissante $(F_n)$ de parties fermées non vides et bornées de $(X,d)$ dont le diamètre tend vers 0 a une intersection non vide.
Indication
Corrigé
Exercice 19 - Une condition nécessaire et suffisante pour être un espace de Banach [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé. Démontrer que $E$ est un espace de Banach si et seulement si toute série absolument convergente est convergente.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E$ une partie complète d'un espace vectoriel normé.
  1. Montrer qu'une intersection dénombrable d'ouverts denses dans $E$ est dense dans $E$. Attention, ce n'est pas nécessairement un ouvert!
  2. Que dire de la réunion dénombrable de fermés d'intérieur vide?
Indication
Corrigé