$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Compacité : espaces métriques et propriété de Borel-Lebesgue

Enoncé
Soit $E$ un espace métrique compact, et $f:E\to \mathbb R$ une application localement bornée sur $E$ : pour tout $x\in E$, il existe un voisinage $V_x$ de $x$ et $M_x>0$ tel que, pour tout $y\in V_x$, on a $|f(y)|\leq M_x$. Démontrer que $f$ est bornée sur $E$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(X,d)$ un espace métrique compact, $(\omega_i)_{i\in I}$ un recouvrement ouvert de $X$. Montrer qu'il existe $r>0$ tel que : $$\forall a\in X\ \exists i\in I,\ B(a,r)\subset\omega_i.$$
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Séparation de deux compacts [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $X$ un espace métrique, $A$ une partie compacte de $X$ et $B$ une partie fermée de $X$ avec $A\cap B=\varnothing$.
  1. Démontrer qu'il existe un ouvert $U$ contenant $A$ tel que $\bar U\cap B=\varnothing$.
  2. On suppose de plus que $B$ est compact. Démontrer qu'il existe un ouvert $V$ contenant $B$ tel que $U\cap V=\varnothing$.
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Idéaux de l'anneau des fonctions continues sur un compact [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $X$ un espace métrique compact et soit $A=\mathcal C(X,\mathbb R)$ l'anneau des fonctions continues de $X$ dans $\mathbb R$. Soit $I$ un idéal de $A$.
  1. On suppose qu'il existe $f\in I$ qui ne s'annule pas. Démontrer que $I=A$.
  2. En déduire que si $I$ est un idéal propre de $A$, il existe $x\in X$ tel que, pour tout $f\in A$, alors $f(x)=0$.
Indication
Corrigé