$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Compacité : espaces vectoriels normés et propriété de Bolzano-Weierstrass

Enoncé
Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses?
  1. L'image réciproque d'un compact par une application continue est un compact.
Corrigé
Ensembles compacts
Enoncé
Déterminer si les ensembles suivants sont, ou ne sont pas, compacts : $$ \begin{array}{ll} A=\{(x,y)\in \mathbb R^2,\ x^2+y^4=1\}&B=\{(x,y)\in\mathbb R^2,\ x^2+y^5=2\}\\ C=\{(x,y)\in\mathbb R^2,\ x^2+xy+y^2\leq 1\}&D=\{(x,y)\in\mathbb R^2,\ x^2+8xy+y^2\leq 1\}\\ E=\{(x,y)\in\mathbb R^2,\ y^2=x(1-2x)\}. \end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Boule unité non compacte [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E=\mathcal C([0,2\pi])$ muni de la norme $\|\cdot\|_2$. Pour $n\in\mathbb N$, on pose $f_n(x)=e^{inx}$.
  1. Calculer $\|f_n-f_p\|_2$ pour $p,n\in\mathbb N$.
  2. En déduire que $\bar B(0,1)$ n'est pas compacte.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $K,L$ deux parties compactes d'un espace vectoriel normé $E$. On pose $K+L=\{x+y;\ x\in K,\ y\in L\}$. Démontrer que $K+L$ est une partie compacte de $E$.
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Sphère unité et boule unité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé, $B$ la boule unité fermé de $E$ et $S$ la sphère unité. Démontrer que $B$ est compact si et seulement si $S$ est compact.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $K$ une partie compacte de $E$. Pour tout $r>0$, on pose $K_r=\bigcup_{x\in K}\bar B(x,r)$. Démontrer que $K_r$ est une partie compacte de $E$.
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Suites et valeurs d'adhérence [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(u_n)$ une suite de $\mtr^d$. Pour $n\geq 1$, on pose $A_n=\left\{u_p;\ p\geq n\right\}.$ Démontrer que l'ensemble des valeurs d'adhérence de $(u_n)$ est : $$V=\bigcap_{n\geq 1}\overline{A_n}.$$ En déduire que si la suite est bornée, $V$ (l'ensemble des valeurs d'adhérence) est compact.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(E,\|.\|)$ un espace vectoriel normé. Soit $(x_n)$ une suite convergente de $E$ et soit $x$ sa limite. Montrer que l'ensemble : $$A=\{x\}\cup\{x_n,\ n\in\mtn\}$$ est compact.
Indication
Corrigé
Applications à la topologie
Exercice 9 - Compact contenu dans la boule unité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $K$ une partie compacte d'un espace vectoriel normé $E$ contenu dans la boule unité ouverte. Démontrer qu'il existe $r<1$ tel que $K$ soit contenu dans $\bar B(0,r)$.
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Distance de deux compacts [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $K,L$ deux compacts disjoints d'un espace vectoriel normé $E$. Démontrer que $d(K,L)=\inf_{x\in K,\ y\in L}\|y-x\|>0.$
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Somme d'un fermé et d'un compact [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $F$ un fermé, et $C$ un compact de $\mtr^n$. On note $G=F+C=\left\{x+y;\ x\in F\textrm{ et }y\in C\right\}$. Montrer que $G$ est fermé.
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Distance à une partie [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E=\mtr^d$ muni d'une norme $\|\cdot\|$, et $A$ une partie non vide de $E$. On définit la distance d'un élément $x_0$ de $E$ à une partie $A$ de $E$, notée $d(x_0,A)$, par la formule $$d(x_0,A)=\inf_{x\in A}\|x-x_0\|.$$
  1. Supposons $A$ compact. Montrer que pour tout $x_0\in E$ il existe $y\in A$ tel que $d(x_0,A)=\|y-x_0\|$.
  2. Montrer que le résultat est encore vrai si on suppose seulement que $A$ est fermé. (On remarquera que pour toute partie $B$ de $A$ on a $d(x_0,B)\ge d(x_0,A)$.)
  3. Montrer que l'application qui à $x_0$ associe $d(x_0,A)$ est continue sur $E$ (sans aucune hypothèse sur $A$).
  4. En déduire que si $A$ est un fermé de $E$ et $B$ un compact de $E$ tels que $A$ et $B$ sont disjoints, alors il existe une constante $\delta>0$ telle que $$\|a-b\| \ge \delta \qquad \forall (a,b)\in A\times B.$$
  5. Montrer par un contre-exemple que le résultat est faux si on suppose seulement que $A$ et $B$ sont deux fermés disjoints.
Indication
Corrigé
Exercice 13 - Intersection emboitée de compacts [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé et $(K_n)$ une suite de parties compactes de $E$ telle que, pour chaque entier $n$, on $K_{n+1}\subset K_n$. On pose $K=\bigcap_{n\geq 1}K_n$.
  1. Démontrer que $K\neq\varnothing$.
  2. Soit $U$ un ouvert contenant $K$. Démontrer qu'il existe un entier $n$ tel que $K_n\subset U$.
Indication
Corrigé
Exercice 14 - Suite exhaustive de compacts [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\Omega$ un ouvert de $\mathbb{R}^n$. Démontrer qu'il existe toujours une suite exhaustive de compacts $(K_j)_{j \geq 1}$ qui vérifie
  1. $\forall j\geq 1$, $K_j \subset \Omega$
  2. $\forall j \geq 1$, $K_j \subset K_{j+1}$
  3. $\Omega = \cup_{j \geq 1} K_j$.
Indication
Corrigé
Applications aux fonctions
Enoncé
Soit $\mathcal C=\{(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb R^n;\ x_1+\dots+x_n=1,\ x_1\geq0,\dots,x_n\geq 0\}$. Soit également $f:\mathcal C\to\mathbb R^+$ une fonction continue telle que $f(x)>0$ pour tout $x\in\mathcal C$. Démontrer que $\inf_{x\in\mathcal C}f(x)>0$.
Indication
Corrigé
Exercice 16 - Fonctions non bornées à l'infini [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mtr^d\to\mtr$ une fonction continue telle que $\lim_{\|x\|\to \infty}f(x)=+\infty$. Montrer que $f$ admet un minimum.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $A$ une partie compacte d'un espace vectoriel normé, $f:A\to\mathbb R$. On suppose que $f$ est localement bornée : pour tout $x\in A$, il existe $r>0$ et $M>0$ tels que, pour tout $y\in B(x,r)\cap A$, $|f(y)|\leq M$. Démontrer que $f$ est bornée sur $A$ tout entier.
Indication
Corrigé
Exercice 18 - Fonctions non bornées à l'infini (bis) [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mtr^n\to\mtr$ une fonction continue. Montrer que les trois conditions suivantes sont équivalentes :
  1. $\forall M>0,\ \exists R>0\textrm{ tel que }\|x\|>R\implies |f(x)|>M.$
  2. Pour toute partie bornée $B$ de $\mtr$, $f^{-1}(B)$ est une partie bornée de $\mtr^n$.
  3. Pour toute partie compacte $K$ de $\mtr$, $f^{-1}(K)$ est une partie compacte de $\mtr^n$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Une fonction $f$ définie sur une partie $A\subset\mtr^n$ à valeurs dans $\mathbb R^n$ est dite \emph{localement lipschitzienne} si, pour tout $x\in A$, il existe un voisinage $V_x$ de $x$ et une constante $C>0$ telle que : $$\forall (y,z)\in A\cap V_x,\ \|f(y)-f(z)\|\leq C\|y-z\|.$$ Montrer qu'une fonction localement lipschitzienne sur une partie compacte $K$ de $\mathbb R^n$ est en fait lipschitzienne.
Indication
Corrigé
Exercice 20 - Point fixe et compacité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ une partie compacte d'un espace vectoriel normé, et $f:E\to E$ une fonction continue vérifiant : $$\forall (x,y) \in E^2,\ x\neq y\implies \|f(x)-f(y)\|< \|x-y\|.$$
  1. Montrer que $f$ admet un unique point fixe (que l'on notera $\alpha$).
  2. Ces résultats subsistent-ils si on suppose simplement $E$ fermé?
Indication
Corrigé
Exercice 21 - Graphe d'une fonction continue [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $A,B$ deux parties d'un espace vectoriel normé $E$, $f:A\to B$ une application et $G=\{(x,f(x));\ x\in A\}$ son graphe.
  1. On suppose que $f$ est continue. Démontrer que son graphe est fermé.
  2. On suppose de plus que $B$ est compact et que le graphe de $f$ est fermé. Démontrer que $f$ est continue (on pourra utiliser le théorème suivant : une suite d’éléments d’une partie compacte converge si et seulement si elle admet une unique valeur d’adhérence.)
Indication
Corrigé
Exercice 22 - Dilatation sur un espace compact [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A$ une partie compacte d'un espace vectoriel normé, et $f:A\to A$ vérifiant $\|f(x)-f(y)\|\geq \|x-y\|$ pour tous $x,y\in A$. Le but de l'exercice est de démontrer que $f$ est une isométrie surjective.
  1. Soit $a,b\in A$, et $(a_n)$, $(b_n)$ les suites de $A$ définies par $a_0=a$, $b_0=b$, $a_{n+1}=f(a_n)$ et $b_{n+1}=f(b_n)$. Démontrer que, pour tout $\veps>0$ et tout $p\geq 1$, il existe $k\geq p$ tel que $\|a-a_k\|<\veps$ et $\|b-b_k\|<\veps$. En déduire que $f$ est à image dense.
  2. On pose $u_n=\|a_n-b_n\|$. Montrer que $(u_n)$ est une suite stationnaire.
  3. En déduire que $f$ est une isométrie.
  4. Démontrer que $f$ est surjective.
Indication
Corrigé
Exercice 23 - Discrétisation du maximum [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé de dimension finie $n$. On note $\bar{B}$ sa boule unité fermée. Pour $\veps>0$, on note $N(\veps)$ le nombre minimum de boules fermées de rayon $\veps$ nécessaires pour recouvrir $B$.
  1. Montrer que $\dis \left(\frac{1}{\veps}\right)^n\leq N(\veps)\leq \left(1+\frac{2}{\veps}\right)^n.$
  2. On suppose désormais que $E$ est euclidien. Montrer l'existence d'un ensemble $R$ de cardinal $5^n$ tel que : $$\forall T\in\mcl(E),\ \|T\|\leq 4\sup_{(x,y)\in R^2}<Tx,y>.$$
Indication
Corrigé
Divers
Exercice 24 - Une seule valeur d'adhérence [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A$ une partie compacte d'un espace vectoriel normé, et $(x_n)$ une suite de $A$ n'admettant qu'une seule valeur d'adhérence. Montrer que $(x_n)$ converge.
Indication
Corrigé
Exercice 25 - Valeur propre d'un endomorphisme symétrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace euclidien, et $u$ un endomorphisme symétrique de $E$, c'est-à-dire que $u$ vérifie $$\forall x,y\in E,\ \pss{u(x)}{y}=\pss{x}{u(y)}.$$ On note $\mathcal S$ la sphère unité de $E$ et $\phi:\mathcal S\to \mathbb R$ l'application définie par $\phi(x)=\pss{u(x)}{x}.$
  1. Justifier que $\phi$ atteint son maximum sur $\mathcal S$. On désignera par $x_0$ un point où ce maximum est atteint.
  2. Soit $y$ un vecteur unitaire orthogonal à $x_0$. Pour $t\in\mathbb R$, on pose $$x(t)=(\cos t)x_0+(\sin t)y\textrm{ et }f(t)=\pss{u(x(t))}{x(t)}.$$ Démontrer que $f$ admet un maximum en $0$.
  3. En déduire que $y$ est orthogonal à $u(x_0)$.
  4. En déduire que $x_0$ est un vecteur propre de $u$.
Indication
Corrigé