$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Exercices corrigés - Applications linéaires continues

Applications linéaires continues
Enoncé
Soit $N_1$ et $N_2$ deux normes sur l'espace vectoriel $E$. Montrer que $N_1$ et $N_2$ sont équivalentes si et seulement si $Id:(E,N_1)\to (E,N_2)$ et $Id:(E,N_2)\to (E,N_1)$ sont continues.
Indication
Corrigé
Enoncé
Déterminer si l'application linéaire $T:(E,N_1)\to (F,N_2)$ est continue dans les cas suivants :
  1. $E=\mathcal C([0,1],\mathbb R)$ muni de $\|f\|_1=\int_0^1 |f(t)|dt$ et $T:(E,\|.\|_1)\to (E,\|.\|_1),\ f\mapsto fg$ où $g\in E$ est fixé.
  2. $E=\mathbb R[X]$ muni de $\|\sum_{k\geq 0}a_k X^k\|=\sum_{k\geq 0}|a_k|$ et $T:(E,\|.\|)\to (E,\|.\|)$, $P\mapsto P'$.
  3. $E=\mathbb R_n[X]$ muni de $\|\sum_{k=0}^n a_k X^k\|=\sum_{k=0}^n |a_k|$ et $T:(E,\|.\|)\to (E,\|.\|)$, $P\mapsto P'$.
  4. $E=\mathbb R[X]$ muni de $\|\sum_{k\geq 0}a_k X^k\|=\sum_{k\geq 0}k!|a_k|$ et $T:(E,\|.\|)\to (E,\|.\|)$, $P\mapsto P'$.
  5. $E=\mathcal C([0,1],\mathbb R)$ muni de $\|f\|_2=\left(\int_0^1 |f(t)|^2dt\right)^{1/2}$, $F=\mathcal C([0,1],\mathbb R)$ muni de $\|f\|_1=\int_0^1 |f(t)|dt$ et $T:(E,\|.\|_2)\to (F,\|.\|_1),\ f\mapsto fg$ où $g\in E$ est fixé.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E=\mathcal C([0,1],\mathbb R)$. Pour $f\in E$, on pose $$\|f\|_1=\int_0^1 |f(t)|dt,$$ dont on admettra qu'il s'agit d'une norme sur $E$. Soit $\phi$ l'endomorphisme de $E$ défini par $$\phi(f)(x)=\int_0^x f(t)dt.$$
  1. Justifier la terminologie : "$\phi$ est un endomorphisme de $E$."
  2. Démontrer que $\phi$ est continue.
  3. Pour $n\geq 0$, on considère $f_n$ l'élément de $E$ défini par $f_n(x)=ne^{-nx}$, $x\in[0,1]$. Calculer $\|f_n\|_1$ et $\|\phi(f_n)\|_1$.
  4. On pose $\|\!|\phi\|\!|=\sup_{f\neq 0_E}\frac{\|\phi(f)\|_1}{\|f\|_1}$. Déterminer $\|\!|\phi\|\!|$.
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Applications linéaires sur les polynômes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E=\mathbb R[X]$, muni de la norme $\|\sum_i a_i X^i\|=\sum_i |a_i|$.
  1. Est-ce que l'application linéaire $\phi:(E,\|.\|)\to (E,\|.\|)$, $P(X)\mapsto P(X+1)$ est continue sur $E$?
  2. Est-ce que l'application linéaire $\psi:(E,\|.\|)\to (E,\|.\|)$, $P(X)\mapsto AP$, où $A$ est un élément fixé de $E$, est continue sur $E$?
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E=\mathcal C^{\infty}([0,1],\mathbb R)$. On considère l'opérateur de dérivation $D:E\to E$, $f\mapsto f'$. Montrer que, quelle que soit la norme $N$ dont on munit $E$, $D$ n'est jamais une application linéaire continue de $(E,N)$ dans $(E,N)$.
Indication
Corrigé
Exercice 6 - Orthogonal d'une partie [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace préhilbertien muni de la norme associée au produit scalaire. Démontrer que l'orthogonal de toute partie $A$ de $E$ est un fermé de $E$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E=\mathcal C([0,1],\mathbb R)$ muni de $\|\cdot\|_\infty$. On pose $$A=\left\{f\in E;\ f(0)=0\textrm{ et }\int_0^1 f(t)dt\geq 1\right\}.$$ Démontrer que $A$ est une partie fermée de $E$.
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Espace vectoriel normé des séries absolument convergentes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ l'espace vectoriel des suites $(a_n)_{n\geq 1}$ de nombres complexes telle que $\sum_{n\geq 1}|a_n|$ converge. On pose, pour $a=(a_n)\in E$, $$\|a\|=\sum_{n=1}^{+\infty}|a_n|.$$
  1. Démontrer que $\|\cdot\|$ définit une norme sur $E$.
  2. On pose $F=\{a\in E;\ \sum_{n\geq 1}a_n=1\}$. $F$ est-il ouvert? fermé? borné?
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Norme d'une application linéaire continue [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé et $\mathcal L_c(E)$ l'ensemble des applications linéaires continues sur $E$. Pour $u\in\mathcal L_c(E)$, on pose $$\|u\|=\sup\{\|u(x)\|;\ \|x\|\leq 1\}.$$
  1. Démontrer que ceci définit une norme sur $\mathcal L_c(E)$.
  2. Démontrer que, pour tout $x\in E$ et tout $u\in\mathcal L_c(E)$, on a $$\|u(x)\|\leq \|u\|\times \|x\|.$$ En déduire que, pour tous $u,v\in \mathcal L_c(E)$, alors $\|u\circ v\|\leq \|u\|\times \|v\|.$
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Caractérisation de la continuité des applications linéaires [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé et $u\in\mathcal L(E)$. Démontrer que $u$ est continue si et seulement si $\{x\in E;\ \|u(x)\|=1\}$ est fermé.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé et $u$ un endomorphisme de $E$ vérifiant, pour tout $x\in E$, $\|u(x)\|\leq \|x\|$. Pour tout $n\in\mathbb N$, on pose $$v_n=\frac 1{n+1}\sum_{k=0}^n u^k.$$
  1. Simplifer $v_n\circ(u-Id)$.
  2. Montrer que $\ker(u-Id)\cap\textrm{Im}(u-Id)=\{0\}$.
  3. On suppose désormais que $E$ est de dimension finie. Démontrer que $$\ker(u-Id)\oplus\textrm{Im}(u-Id)=E.$$
  4. Soit $p$ la projection sur $\ker(u-Id)$ parallèlement à $\textrm{Im}(u-Id)$. Démontrer que, pour tout $x\in E$, $v_n(x)\to p(x)$.
Indication
Corrigé
Norme des applications linéaires continues
Enoncé
Soit $E=\mathcal M_n(\mathbb R)$ muni de la norme $N$ définie pour tout $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ par $N(A)=\sup_{i=1}^n \big\{\sum_{j=1}^n |a_{i,j}|\}$ (on admet qu'il s'agit d'une norme). Démontrer que l'application trace $\textrm{Tr}:E\to\mathbb R$ est continue, et calculer sa norme.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E=\mathcal C([0,1])$ muni de $\|\cdot\|_\infty$ et $F=\mathcal C^1([0,1])$ muni de $\|f\|_F=\|f\|_\infty+\|f'\|_\infty$. Soit $T:E\to F$ défini par $Tf(x)=\int_0^x f(t)dt$. Démontrer que $T$ est continue et calculer sa norme.
Indication
Corrigé
Exercice 14 - Formes linéaires sur les polynômes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On munit $\mathbb R[X]$ de la norme suivante : $$\|\sum_{k=0}^n a_k X^k\|=\sup\{|a_k|;\ 0\leq k\leq n\}.$$ Pour $c\in \mathbb R$, on définit la forme linéaire $\phi_c:(\mathbb R[X],\|\cdot\|)\to(\mathbb R,|\cdot|),P\mapsto P(c)$. Pour quelles valeurs de $c$ la forme linéaire $\phi_c$ est-elle continue? Dans ce cas, déterminer la norme de $\phi_c$.
Indication
Corrigé
Exercice 15 - Forme linéaire continue et noyau fermé [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé (sur $\mathbb R$) et soit $\phi:E\to\mathbb R$ une forme linéaire non identiquement nulle. Le but de l'exercice est de démontrer que $\phi$ est continue si et seulement si le noyau de $\phi$ est fermé.
  1. Démontrer le sens direct.
  2. Réciproquement, on suppose que le noyau de $\phi$, noté $H$, est fermé. On fixe $y\in E$ tel que $\phi(y)=1$.
    1. Démontrer que $\phi^{-1}(\{1\})$ est fermé.
    2. En déduire qu'il existe $r>0$ tel que $B(0,r)\cap \phi^{-1}(\{1\})=\varnothing$.
    3. Démontrer que $x\in B(0,r)\implies |\phi(x)|\leq 1$.
    4. Conclure.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $I=[a,b]$ un intervalle de $\mathbb R$. On munit $\mathcal C(I)$ de la norme $\|.\|_\infty$. On dit qu'une forme linéaire $u:\mathcal C(I)\to\mathbb R$ est positive si $u(f)\geq 0$ pour tout $f\in C(I)$ vérifiant $f(x)\geq 0$ si $x\in I$.
  1. Démontrer que, pour toute forme linéaire $u:\mathcal C(I)\to\mathbb R$ positive, $|u(f)|\leq u(|f|)$.
  2. Soit $e$ la fonction définie par $e(x)=1$ pour tout $x\in I$. Déduire de la question précédente que toute forme linéaire positive est continue, et calculer $\|u\|$ en fonction de $u(e)$.
Indication
Corrigé