$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Suites de nombres réels ou complexes - étude théorique

Autour de la notion de limite
Enoncé
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites réelles. Dire si les assertions suivantes sont vraies ou fausses. Lorsqu'elles sont vraies, les démontrer. Lorsqu'elles sont fausses, donner un contre-exemple.
  1. Si $(u_n)$ et $(v_n)$ divergent, alors $(u_n+v_n)$ diverge.
  2. Si $(u_n)$ et $(v_n)$ divergent, alors $(u_n\times v_n)$ diverge.
  3. Si $(u_n)$ converge et $(v_n)$ diverge, alors $(u_n+v_n)$ diverge.
  4. Si $(u_n)$ converge et $(v_n)$ diverge, alors $(u_n\times v_n)$ diverge.
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Avec des quantificateurs [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(u_n)$ une suite de nombres réels. Écrire avec des quantificateurs les propositions suivantes :
  1. $(u_n)$ est bornée.
  2. $(u_n)$ n'est pas croissante.
  3. $(u_n)$ n'est pas monotone.
  4. $(u_n)$ n'est pas majorée.
  5. $(u_n)$ ne tend pas vers $+\infty$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(u_n)$ une suite de nombre réels croissante.
  1. On suppose que $(u_n)$ converge vers $l$. Démontrer que pour tout entier $n$, on a $u_n\leq l$.
  2. On suppose que $(u_n)$ n'est pas majorée. Démontrer que $(u_n)$ tend vers $+\infty$.
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Une variation sur les suites adjacentes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(u_n)_{n\in\mathbb N}$ et $(v_n)_{n\in\mathbb N}$ deux suites de réels possédant les propriétés suivantes :
  • $(u_n)$ est croissante et $(v_n)$ est décroissante.
  • Pour tout entier $n\in\mathbb N$, on a $1\leq u_n\leq v_n$.
  • $\lim_{n\to+\infty}\frac{u_n}{v_n}=1$.
  1. Démontrer que $(u_n)$ et $(v_n)$ sont convergentes. On note $\ell$ et $\ell'$ leurs limites respectives.
  2. Démontrer que $\ell=\ell'$.
  3. Les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont-elles adjacentes?
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Suite convergente à valeurs dans $\mathbb Z$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(u_n)$ une suite à valeurs dans $\mathbb Z$, convergente. Montrer, en utilisant la définition, que $(u_n)$ est stationnaire.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites réelles convergeant respectivement vers $l$ et $l'$.
  1. On suppose que $l=l'$. Montrer que la suite $(\min(u_n,v_n))$ converge vers $l=\min(l,l')$.
  2. On suppose que $l<l'$.
    1. Montrer qu'il existe un entier $n_0$ tel que, pour tout $n\geq n_0$, on a $u_n\leq v_n$.
    2. En déduire que la suite $(\min(u_n,v_n))$ converge vers $l=\min(l,l')$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(u_n)$ une suite convergente. La suite $(\lfloor u_n\rfloor)$ est-elle convergente?
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $a,b\in \mathbb R$ et soient $(u_n)$, $(v_n)$ deux suites réelles telles que $$\left\{\begin{array}{l} u_n\leq a,\ v_n\leq b\ \textrm{pour tout $n\in\mathbb N$}\\ u_n+v_n\to a+b. \end{array}\right.$$ Montrer que $(u_n)$ converge vers $a$ et que $(v_n)$ converge vers $b$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites telles que $$0\leq u_n\leq 1,\ 0\leq v_n\leq 1\textrm{ et }u_nv_n\to 1.$$ Que pouvez-vous dire des suites $(u_n)$ et $(v_n)$?
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Critère de d'Alembert [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(u_n)$ une suite à termes réels strictement positifs telle que $\left(\frac{u_{n+1}}{u_n}\right)$ converge vers un réel $l$.
  1. On suppose $l<1$ et on fixe $\varepsilon>0$ tel que $l+\varepsilon<1$.
    1. Démontrer qu'il existe un entier $n_0$ tel que, pour $n\geq n_0$, on a $$u_n\leq (l+\varepsilon)^{n-n_0}u_{n_0}.$$
    2. En déduire que $(u_n)$ converge vers 0.
  2. On suppose $l>1$. Démontrer que $(u_n)$ converge vers $+\infty$.
  3. Étudier le cas $l=1$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(u_n)_{n\in\mathbb N}$ une suite croissante de réels, $(v_n)_{n\in\mathbb N}$ une suite décroissante de réels. On suppose que $(u_n-v_n)_{n\in\mathbb N}$ tend vers 0. Démontrer que, pour tous $n,p\in\mathbb N^2$, on a $u_n\leq v_p$.
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Jouer avec la définition [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(u_n)$ une suite de réels positifs vérifiant $u_n\leq\frac1k+\frac kn$ pour tous $(k,n)\in\mathbb N^*$. Démontrer que $(u_n)$ tend vers 0.
Indication
Corrigé
Exercice 13 - Comparaison logarithmique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites de réels strictement positifs, tels que, pour tout $n\geq 0$, on a $$\frac{u_{n+1}}{u_n}\leq\frac{v_{n+1}}{v_n}.$$
  1. On suppose que $(v_n)$ converge vers 0. Montrer que $(u_n)$ converge aussi vers 0.
  2. On suppose que $(u_n)$ tend vers $+\infty$. Quelle est la nature de $(v_n)$?
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(u_n)_{n\geq 1}$ une suite réelle. On pose $S_n=\frac{u_1+\dots+u_n}{n}$.
  1. On suppose que $(u_n)$ converge vers 0. Soient $\veps>0$ et $n_0\in\mathbb N$ tel que, pour $n\geq n_0$, on a $|u_n|\leq\veps$.
    1. Montrer qu'il existe une constante $M$ telle que, pour $n\geq n_0$, on a $$|S_n|\leq \frac{M(n_0-1)}{n}+\veps.$$
    2. En déduire que $(S_n)$ converge vers 0.
  2. On suppose que $u_n=(-1)^n$. Que dire de $(S_n)$? Qu'en déduisez-vous?
  3. On suppose que $(u_n)$ converge vers $l$. Montrer que $(S_n)$ converge vers $l$.
  4. On suppose que $(u_n)$ tend vers $+\infty$. Montrer que $(S_n)$ tend vers $+\infty$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites réelles convergeant respectivement vers $u$ et $v$. Montrer que la suite $\displaystyle w_n=\frac{u_0v_n+\dots+u_nv_0}{n+1}$ converge vers $uv$.
Indication
Corrigé
Suites extraites - valeurs d'adhérence
Exercice 16 - Suites extraites - pour bien comprendre... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(u_n)_{n\in\mathbb N}$ une suite réelle.
  1. Parmi les suites ci-dessous, trouver celles qui sont extraites d'une autre : $$(u_{2n})_{n\in\mathbb N},\ (u_{3n})_{n\in\mathbb N},\ (u_{6n})_{n\in\mathbb N},\ (u_{3.2^n})_{n\in\mathbb N},\ (u_{3.2^{n+1}})_{n\in\mathbb N}, (u_{2^n})_{n\in\mathbb N},\ (u_{2^{n+1}})_{n\in\mathbb N}.$$
  2. Soit $(u_{\varphi(n)})_{n\in\mathbb N}$ une suite extraite de $(u_n)_{n\in\mathbb N}$. Montrer que toute suite extraite de $(u_{\varphi(n)})_{n\in\mathbb N}$ est extraite de $(u_n)_{n\in\mathbb N}$.
Indication
Corrigé
Exercice 17 - Convergence des suites extraites [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(u_n)$ une suite de nombres réels.
  1. On suppose que $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ convergent vers la même limite. Prouver que $(u_n)$ est convergente.
  2. Donner un exemple de suite telle que $(u_{2n})$ converge, $(u_{2n+1})$ converge, mais $(u_{n})$ n'est pas convergente.
  3. On suppose que les suites $(u_{2n})$, $(u_{2n+1})$ et $(u_{3n})$ sont convergentes. Prouver que $(u_n)$ est convergente.
Indication
Corrigé
Exercice 18 - Suites extraites vérifiant certaines propriétes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(u_n)$ une suite de nombre réels.
  1. On suppose que $(u_n)$ est croissante et qu'elle admet une suite extraite convergente. Que dire de $(u_n)$?
  2. On suppose que $(u_n)$ est croissante et qu'elle admet une suite extraite majorée. Que dire de $(u_n)$?
  3. On suppose que $(u_n)$ n'est pas majorée. Montrer qu'elle admet une suite extraite qui diverge vers $+\infty$.
Indication
Corrigé
Exercice 19 - Suites extraites et coordonnées [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Une suite $(u_n)$ de $(\mathbb R^m,\|\cdot\|_\infty)$ telle que chacune des suites composantes admet une valeur d'adhérence admet-elle une valeur d'adhérence?
Indication
Corrigé
Exercice 20 - Exemples de valeurs d'adhérence [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Quelles sont les valeurs d'adhérence de la suite $(-1)^n$? de la suite $\cos(n\pi/3)$?
  2. Donner un exemple de suite qui ne converge pas et qui possède une unique valeur d'adhérence.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(u_n)$ une suite bornée de nombre réels. Pour tout $n\in\mathbb N$, on pose $$x_n=\inf\{u_p;\ p\geq n\}\textrm{ et }y_n=\sup\{u_p;\ p\geq n\}.$$
  1. Pourquoi les suites $(x_n)$ et $(y_n)$ sont-elles bien définies?
  2. Déterminer les suites $(x_n)$ et $(y_n)$ dans les cas suivants : $$\mathbf a.\ u_n=(-1)^n\quad \mathbf b.\ u_n=1-\frac1{n+1}.$$
  3. Démontrer que $(x_n)$ est croissante, que $(y_n)$ est décroissante. En déduire que ces deux suites sont convergentes. On notera $\alpha=\lim_{n\to+\infty} x_n$ et $\beta=\lim_{n\to+\infty}y_n$.
  4. Démontrer que $\alpha\leq \beta$.
  5. Démontrer que si $\alpha=\beta$, alors la suite $(u_n)$ converge.
  6. Démontrer que si $(u_n)$ admet une sous-suite convergeant vers un réel $\ell$, alors $\alpha\leq \ell\leq \beta$.
  7. Démontrer que, pour tout $\veps>0$ et pour tout $n\in\mathbb N$, il existe $p\geq n$ tel que $$y_n-\veps\leq u_p\leq y_n.$$
  8. Démontrer que, pour tout $\veps>0$ et pour tout $p_0\in\mathbb N$, il existe $p\geq p_0$ tel que $$\beta-2\veps\leq u_p\leq \beta+2\veps.$$
  9. En déduire qu'il existe une sous-suite de $(u_n)$ qui converge vers $\beta$.
  10. Quel théorème vient-on de redémontrer?
Indication
Corrigé
Exercice 22 - Suite de rationnels convergeant vers un irrationnel [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Montrer qu'une suite $(u_n)$ de réels ne tend pas vers $+\infty$ si et seulement si on peut en extraire une suite majorée.
  2. Montrer que, de toute suite $(q_n)$ d'entiers naturels qui ne tend pas vers $+\infty$, on peut extraire une suite constante.
  3. Soit $x$ un irrationnel et $(r_n)$ une suite de rationnels convergeant vers $x$. Pour tout entier $n$, on écrit $r_n=\frac{p_n}{q_n}$ avec $p_n\in\mathbb Z$ et $q_n\in\mathbb N^*$. Démontrer que $(q_n)$ tend vers $+\infty$.
Indication
Corrigé
Exercice 23 - Suite bornée et valeurs d'adhérence [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(u_n)$ une suite de réels bornée. Démontrer que $(u_n)$ converge si et seulement si elle admet une unique valeur d'adhérence.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(u_n)$ une suite réelle. On dit que le réel $l$ est valeur d'adhérence de la suite s'il existe une suite extraite de $(u_n)$ qui converge vers $l$.
  1. Quelles sont les valeurs d'adhérence d'une suite convergente?
  2. Quelles sont les valeurs d'adhérence de la suite $(-1)^n$? de la suite $\cos(n\pi/3)$?
  3. Donner un exemple de suite qui ne converge pas et qui possède une unique valeur d'adhérence.
  4. Prouver que si $(u_n)$ est bornée et est divergente, elle admet toujours deux valeurs d'adhérence distinctes.
Indication
Corrigé
Enoncé
Une suite $(u_n)$ de nombre réels est appelée suite de Cauchy si, pour tout $\veps>0$, il existe un entier $N$ tel que, pour tout $p,q\geq N$, on a $$|u_p-u_q|<\veps.$$
  1. Montrer que toute suite convergente est une suite de Cauchy.
  2. On souhaite prouver la réciproque à la question précédente. Soit $(u_n)$ une suite de Cauchy.
    1. Montrer que $(u_n)$ est bornée.
    2. On suppose que $(u_n)$ admet une suite extraite convergente. Montrer que $(u_n)$ est convergente.
    3. Conclure.
Indication
Corrigé
Exercice 26 - Valeurs d'adhérence d'une suite dont les différences tendent vers zéro [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $u$ une suite réelle telle que $\lim_{n\to+\infty}u_{n+1}-u_n=0$.
  1. Démontrer que l'ensemble $\textrm{Vad}(u)$ des valeurs d'adhérence de $u$ est un intervalle.
  2. Application : soit $f$ une fonction continue $f:[a,b]\to [a,b]$ et $u$ une suite définie par $u_0\in [a,b]$ et $u_{n+1}=f(u_n)$. Démontrer que $(u_n)$ converge si et seulement si $\lim_{n\to+\infty}(u_{n+1}-u_n)=0$.
Indication
Corrigé
Exercice 27 - Valeurs d'adhérence de la suite $\cos(n)$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour cet exercice, on rappelle que $\mathbb Z+2\pi\mathbb Z$ est dense dans $\mathbb R$. On fixe $a\in ]-1,1]$ et $\veps>0$ tel que $a-\veps\geq -1$.
  1. Démontrer qu'il existe au moins un entier $n\geq 0$ tel que $\cos(n)\in ]a-\veps,a[$.
  2. En déduire qu'il existe une infinité d'entiers $n\geq 0$ tels que $\cos(n)\in ]a-\veps,a[$.
  3. Quel est l'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite $(\cos (n))$?
Indication
Corrigé
Pour master MEEF
Enoncé
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites de nombres réels. On suppose que $(u_n)$ converge vers $a$, que $(v_n)$ converge vers $b$, et que $a<b$. Démontrer que pour tous les entiers à partir d'un certain rang, on a $u_n<v_n$. On n'utilisera que des arguments accessibles à un élève de Terminale S.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(u_n)$ une suite d'entiers naturels qui converge. Démontrer qu'il existe un entier $k$ tel que, à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite $(u_n)$ sont égaux à $k$. On n'utilisera que des arguments accessibles à un élève de Terminale S.
Corrigé
Exercice 30 - Toute suite croissante et majorée converge [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Le but de cet exercice est de démontrer que toute suite croissante et majorée converge.
  1. Rappeler la définition de la borne supérieure d'une partie $A$ de $\mathbb R$.
  2. La condition "$A$ est non-vide et majorée" est-elle une condition nécessaire pour que $A\subset \mathbb R$ admette une borne supérieure? une condition suffisante? une condition nécessaire et suffisante?
  3. Les ensembles suivants admettent-ils une borne supérieure? Si oui, la déterminer. $$A=\left\{\frac 1n;\ n\in\mathbb N^*\right\},\ B=\left\{1-\frac 1n;\ n\in\mathbb N^*\right\}.$$
  4. Soit $(u_n)_{n\in\mathbb N}$ une suite croissante de réels, majorée. On note $A=\{u_n;\ n\in\mathbb N\}$ et $\ell =\sup A$. Soit $\veps>0$. Justifier qu'il existe $n_0\in\mathbb N$ tel que $u_{n_0}\in [\ell-\veps;\ell]$.
  5. En déduire que $(u_n)_{n\in\mathbb N}$ converge vers $\ell$.
Indication
Corrigé