$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Suites de nombres réels ou complexes - étude pratique

Enoncé
Dire si les assertions suivantes sont vraies ou fausses. On justifiera les réponses :
  1. Soit $(u_n)$ une suite croissante et $\ell\in\mathbb R$. Alors les propositions "si $(u_n)$ converge vers $\ell$, alors $u_n\leq \ell$ quelque soit $n\in\mathbb N$ et "s'il existe $n_0\in\mathbb N$ tel que $u_{n_0}>\ell$, alors $(u_n)$ ne converge pas vers $\ell$" sont équivalentes.
  2. Si $(u_n)$ est une suite géométrique non-nulle de raison $q\neq 0$, alors $\left(\frac 1{u_n}\right)$ est une suite géométrique de raison $\frac 1q$.
  3. Soit $(u_n)_{n\geq 0}$ une suite à termes positifs convergeant vers $0$. Alors, $(u_n)$ est décroissante à partir d’un certain rang.
  4. Si $f:\mathbb R\to\mathbb R$ est croissante et que $(u_n)$ vérifie $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout entier $n$, alors $(u_n)$ est croissante.
  5. Toute suite non-majorée tend vers $+\infty$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Donner un exemple dans chacune des situations suivantes :
  1. une suite décroissante positive dont le terme général ne tend pas vers 0.
  2. une suite bornée non convergente.
  3. une suite positive non bornée ne tendant pas vers $+\infty$.
  4. une suite non monotone qui tend vers 0.
  5. une suite positive qui tend vers 0 et qui n'est pas décroissante.
Corrigé
Convergentes ou divergentes
Enoncé
Étudier la nature des suites suivantes, et déterminer leur limite éventuelle : $$\begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf 1.\ u_n=\frac{\sin(n)+3\cos\left(n^2\right)}{\sqrt{n}}&&\displaystyle \mathbf 2.\ u_n=\frac{2n+(-1)^n}{5n+(-1)^{n+1}}\\ \displaystyle \mathbf 3.\ u_n=\frac{n^3+5n}{4n^2+\sin(n)+\ln(n)}&&\displaystyle \mathbf 4.\ u_n= \sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}\\ \displaystyle \mathbf 5.\ u_n=3^ne^{-3n}. \end{array}$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Étudier la nature des suites suivantes, et déterminer leur limite éventuelle : $$\begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf 1.\ u_n=\ln\left(2n^2-n\right)-\ln(3n+1)&&\displaystyle \mathbf 2.\ u_n=\sqrt{n^2+n+1}-\sqrt{n^2-n+1}\\ \displaystyle \mathbf 3.\ u_n=\frac{a^n-b^n}{a^n+b^n},\ a,b\in ]0,+\infty[&& \displaystyle \mathbf 4.\ u_n=\frac{\ln(n+e^n)}{n}\\ \displaystyle \mathbf 5.\ u_n=\frac{\ln(1+\sqrt n)}{\ln(1+n^2)}. \end{array} $$
Indication
Corrigé
Enoncé
Étudier la nature des suites suivantes, et déterminer leur limite éventuelle : $$\begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf 1.\ u_n=\frac{\ln(n!)}{n^2}&&\displaystyle \mathbf 2. u_n=e^{-\sqrt n}\ln(1+n+e^n)\\ \displaystyle \mathbf 3.\ u_n=\sqrt n\ln\left(\frac{\sqrt n+1}{\sqrt n-1}\right) \end{array} $$
Indication
Corrigé
Enoncé
Étudier la nature des suites suivantes, et déterminer leur limite éventuelle : $$\begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf 1.\ u_n=\frac{\ln(n!)}n&&\displaystyle\mathbf 2.\ u_n=\frac{\lfloor nx\rfloor}{n^\alpha}\textrm{ en fonction de }x,\alpha\in\mathbb R\\ \displaystyle \mathbf 3.\ u_n=\frac{1}{n!}\sum_{k=1}^n k! \end{array}$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Quelle est la nature de la suite $u_n=\left(2\sin{\left(\frac{1}{n}\right)} + \frac{3}{4}\cos{n}\right)^n$?
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(u_n)_{n\geq 1}$ la suite définie par $$u_n=\left(1+\frac{1}{n^2}\right)\left(1+\frac{2}{n^2}\right)...\left(1+\frac{n-1}{n^2}\right)\left(1+\frac{n}{n^2}\right).$$ On pose $v_n=\ln(u_n)$.
  1. Montrer, pour tout $x\geq 0$, l'inégalité $$x-\frac{x^2}{2}\leq \ln(1+x)\leq x.$$
  2. En déduire que $$\frac{n+1}{2n} - \frac{(n+1)(2n+1)}{12n^3}\leq v_n\leq \frac{n+1}{2n}.$$ On admettra que $$\sum_{k=1}^n k^2\,=\,\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$$
  3. Montrer que $(v_n)$ converge, et préciser sa limite.
  4. Montrer que $(u_n)$ converge, et préciser sa limite.
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Deux exemples avec des suites trigonométriques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Montrer que la suite $(x_n)$ définie par $x_n=\cos\left(\left(n+\frac1n\right)\pi\right)$ est divergente.
    1. Montrer que, pour tout $n\in\mathbb N$, $(3+\sqrt 5)^n+(3-\sqrt 5)^n$ est un entier pair.
    2. En déduire que la suite $\left(\sin\left(\left(3+\sqrt 5)^n\pi\right)\right)\right)$ converge et déterminer sa limite.
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Une suite définie comme étant la racine d'un polynôme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $n\geq 1$, on considère le polynôme $P_n(X)=X^n+X^{n-1}+\dots+X-1$.
  1. Démontrer que $P_n$ possède une seule racine dans $\mathbb R_+$, que l'on note $u_n$.
  2. Démontrer que la suite $(u_n)$ est décroissante, et en déduire qu'elle converge.
  3. Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, $u_n\geq\frac 12$.
  4. Soit $\rho\in ]1/2,1[$. Démontrer que $\lim_{n\to+\infty}P_n(\rho)>0$.
  5. Démontrer que $(u_n)$ converge vers $\frac 12$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Comparer $\lim_{n\to+\infty}\left(\lim_{m\to+\infty}\left(1+\frac 1m\right)^n\right)$ et $\lim_{m\to+\infty}\left(\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac 1m\right)^n\right)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $\theta\in\mathbb R$ tel que $\theta$ n'est pas congru à 0 modulo $\pi$. On pose $u_n=\cos(n\theta)$ et $v_n=\sin(n\theta)$.
  1. Montrer que $(u_n)$ converge si et seulement si $(v_n)$ converge.
  2. En déduire que les deux suites sont divergentes.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $u_n=\sqrt{n+\sqrt{n-1+\sqrt{\dots+\sqrt 1}}}$.
  1. Écrire une formule de récurrence liant $u_{n-1}$ et $u_n$.
  2. Montrer que la suite $\left(\frac{u_n}{\sqrt n}\right)$ est bornée.
  3. Déterminer sa limite.
Indication
Corrigé
Exercice 14 - A partir d'inégalités [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Etudier la convergence d'une suite $u$ vérifiant $u_0>0$ et, pour tout $n$, $$0<u_{n+1}\leq 2-\frac{1}{u_n}.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=x-x^2$, et $(u_n)$ la suite définie par $u_0\in]0,1[$ et $u_{n+1}=f(u_n)$.
  1. Etudier les variations de $f$.
  2. Montrer que, pour tout $n$, $0<u_n<\frac{1}{n+1}$.
  3. En déduire que la suite $(v_n)$ définie par $v_n=nu_n$, $n\geq 0$, est croissante.
  4. Montrer que la suite $(v_n)$ admet une limite $l$ appartenant à $]0,1]$ (on ne demande pas de calculer $l$ pour le moment).
  5. On pose $w_n=n(v_{n+1}-v_n)$. Montrer que $(w_n)$ converge vers $l(1-l)$.
  6. Soit $(t_n)$ une autre suite telle qu'il existe $n_0\geq 1$ vérifiant que, pour $n\geq n_0$, on a $$t_{n+1}-t_n\geq \frac an,$$ où $a>0$. Montrer que $t_{2n}-t_n\geq\frac a2$ pour $n\geq n_0$, puis que $(t_n)$ est divergente.
  7. Montrer que si $l\neq 1$, la suite $(v_n)$ vérifie les mêmes conditions que la suite $(t_n)$ de la question précédente. En déduire la valeur de $l$.
Indication
Corrigé
Suites définies par une somme
Enoncé
  1. Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que $$\frac{1}{k^2-1}=\frac{a}{k-1}+\frac{b}{k+1}.$$
  2. En déduire la limite de la suite $$u_n=\sum_{k=2}^n \frac{1}{k^2-1}.$$
  3. Sur le même modèle, déterminer la limite de la suite $$v_n=\sum_{k=0}^n\frac{1}{k^2+3k+2}.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Etudier les suites $(u_n)$ définies par $$\begin{array}{lcl} \displaystyle 1.\ \sum_{k=1}^n \frac{n}{n+k}&&\displaystyle 2.\ u_n=\sum_{k=0}^{2n+1}\frac n{n^2+k}. \end{array}$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Montrer que, pour tout $n\in\mathbb N^*$, on a $$\sqrt{n+1}-\sqrt n\leq\frac{1}{2\sqrt n}.$$ En déduire le comportement de la suite $(u_n)$ définie par $$u_n=1+\frac{1}{\sqrt 2}+\dots+\frac{1}{\sqrt n}.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Pour tout $n\in\mathbb N^*$, on pose $$H_n=\sum_{k=1}^n \frac 1k.$$ Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, $$H_{2n}-H_n\geq\frac 12.$$ En déduire que $\lim_{n\to+\infty}H_n=+\infty.$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $\alpha>0$ et $u_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{n^\alpha+k^\alpha}$.
  1. Démontrer que si $\alpha > 1$ alors $u_n \to 0$.
  2. Démontrer que si $\alpha<1$, alors $u_n\to+ \infty$.
  3. Démontrer que si $\alpha=1$, la suite est monotone et convergente.
  4. Démontrer que, pour tout $x\in[0,1[$, $\ln (1 + x) \leq x \leq - \ln (1 - x)$ .
  5. En déduire que $u_n\to\ln 2$.
Indication
Corrigé
Suites adjacentes
Exercice 21 - Suites adjacentes en Terminale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont dites adjacentes si la suite $(u_n)$ est croissante, la suite $(v_n)$ est décroissante et $\lim_{n\to+\infty}v_n-u_n=0$.
  1. Question préliminaire : soit $(x_n)$ une suite décroissante de réels tels que $(x_n)$ converge vers 0. Démontrer que pour tout $n\in\mathbb N$, on a $x_n\geq 0$.
  2. On fixe désormais $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites adjacentes. On pose, pour tout $n\in\mathbb N$, $w_n=v_n-u_n$. Justifier que la suite $(w_n)$ est décroissante.
  3. En déduire que pour tout $n\in\mathbb N$, on a $w_n\geq 0$.
  4. Démontrer que $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers la même limite.
Indication
Corrigé
Exercice 22 - Exemple de suites adjacentes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ données ci-dessous forment des couples de suites adjacentes. $$ \begin{array}{ll} \mathbf{1.}\quad \displaystyle u_n=\sum_{k=1}^n \frac1{k^2}\textrm{ et }v_n=u_n+\frac 1n\\ \mathbf{2.}\quad \displaystyle u_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k+n}\textrm{ et }v_n=\sum_{k=n}^{2n}\frac 1k. \end{array}$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n=\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k+1}$. Etudier les suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$. Quelle est la nature de $(u_n)$?
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ les deux suites définies pour $n\geq 1$ par : $$u_n=\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!},\ \ v_n=u_n+\frac{1}{n\times n!}.$$
  1. Montrer que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes. On note $e$ leur limite commune.
  2. Montrer que, pour tout $n\in\mathbb N^*$, $n! u_n< n! e < n!u_n+\frac 1n.$
  3. En déduire que $e$ est un nombre irrationnel (on pourra procéder par l'absurde).
  4. Écrire une fonction approx(ecart) sous Python qui renvoie un encadrement de $e$ avec un écart inférieur à ecart.
Indication
Corrigé
Exercice 25 - Un équivalent de $\sum_{k=1}^n \frac 1{\sqrt k}$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Étant donné $n\in\mathbb N^*$, on pose $$u_n=\sum_{k=1}^n \frac 1{\sqrt k}-2\sqrt n\textrm{ et }v_n=\sum_{k=1}^n \frac1{\sqrt k}-2\sqrt{n+1}.$$
  1. Calculer $\lim_{n\to+\infty}(u_n-v_n)$.
  2. Montrer que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont monotones.
  3. En déduire que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers la même limite $\ell$ avec $\ell\leq -1$.
  4. Quelle est la limite de $\frac{\sum_{k=1}^n \frac1{\sqrt k}}{2\sqrt n}$?
Indication
Corrigé
Exercice 26 - Une preuve du théorème des séries alternées [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Le but de l'exercice est de démontrer le théorème des séries alternées : si $(a_n)$ est une suite décroissante de réels positifs qui tend vers $0$, alors la suite $(S_n)$ définie pour $n\geq 0$ par $$S_n=\sum_{k=0}^n (-1)^k a_k$$ est convergente. On pose pour $n\geq0$, $u_n=S_{2n}$ et $v_n=S_{2n+1}$.
  1. Démontrer que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes.
  2. En déduire que la suite $(S_n)$ est convergente. On note $\ell$ sa limite.
  3. Justifier que, pour tout $n\in\mathbb N$, $v_n\leq \ell\leq u_n$.
  4. On suppose pour toute la suite de l'exercice que $a_n=\frac{1}{n+1}$. Donner un algorithme donnant un encadrement de $\ell$ d'amplitude inférieur ou égal à $10^{-6}$.
  5. Dans cette question, on va prouver que $\ell=\ln 2$.
    1. Pour $n\geq 1$ et $x\in[0,1]$, justifier l'égalité $$\frac{1}{1+x}=1-x+\dots+(-1)^n x^n+\frac{(-1)^{n+1}x^{n+1}}{1+x}.$$
    2. On pose, pour $n\geq 1$, $$I_n=\int_0^1 \frac{x^{n+1}}{1+x}dx.$$ Démontrer que $(I_n)$ tend vers 0.
    3. Conclure.
Indication
Corrigé
Limites inférieures - Limites supérieures
Enoncé
Soient $u_n=\frac{n+1}{n}\cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)$ et $v_n=\frac{n-1}{n}\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)$. Calculer $\limsup_{n\to+\infty}u_n$, $\liminf_{n\to+\infty}u_n$, $\limsup_{n\to+\infty}v_n$, $\liminf_{n\to+\infty}v_n$, $\limsup_{n\to+\infty}(u_n+v_n)$, $\liminf_{n\to+\infty}(u_n+v_n)$.
Indication
Corrigé