$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Suites de nombres réels ou complexes - étude pratique

Enoncé
Dire si les assertions suivantes sont vraies ou fausses. On justifiera les réponses :
  1. Soit $(u_n)$ une suite croissante et $\ell\in\mathbb R$. Alors les propositions "si $(u_n)$ converge vers $\ell$, alors $u_n\leq \ell$ quelque soit $n\in\mathbb N$ et "s'il existe $n_0\in\mathbb N$ tel que $u_{n_0}>\ell$, alors $(u_n)$ ne converge pas vers $\ell$" sont équivalentes.
  2. Si $(u_n)$ est une suite géométrique non-nulle de raison $q\neq 0$, alors $\left(\frac 1{u_n}\right)$ est une suite géométrique de raison $\frac 1q$.
  3. Soit $(u_n)_{n\geq 0}$ une suite à termes positifs convergeant vers $0$. Alors, $(u_n)$ est décroissante à partir d’un certain rang.
  4. Si $f:\mathbb R\to\mathbb R$ est croissante et que $(u_n)$ vérifie $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout entier $n$, alors $(u_n)$ est croissante.
  5. Toute suite non-majorée tend vers $+\infty$.
Indication
Corrigé
Convergentes ou divergentes
Enoncé
Étudier la nature des suites suivantes, et déterminer leur limite éventuelle : $$\begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf 1.\ u_n=\frac{\sin(n)+3\cos\left(n^2\right)}{\sqrt{n}}&&\displaystyle \mathbf 2.\ u_n=\frac{2n+(-1)^n}{5n+(-1)^{n+1}}\\ \displaystyle \mathbf 3.\ u_n=\frac{n^3+5n}{4n^2+\sin(n)+\ln(n)}&&\displaystyle \mathbf 4.\ u_n= \sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}\\ \displaystyle \mathbf 5.\ u_n=3^ne^{-3n}. \end{array}$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Étudier la nature des suites suivantes, et déterminer leur limite éventuelle : $$\begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf 1.\ u_n=\ln\left(2n^2-n\right)-\ln(3n+1)&&\displaystyle \mathbf 2.\ u_n=\sqrt{n^2+n+1}-\sqrt{n^2-n+1}\\ \displaystyle \mathbf 3.\ u_n=\frac{a^n-b^n}{a^n+b^n},\ a,b\in ]0,+\infty[&& \displaystyle \mathbf 4.\ u_n=\frac{\ln(n+e^n)}{n}\\ \displaystyle \mathbf 5.\ u_n=\frac{\ln(1+\sqrt n)}{\ln(1+n^2)}. \end{array} $$
Indication
Corrigé
Enoncé
Étudier la nature des suites suivantes, et déterminer leur limite éventuelle : $$\begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf 1.\ u_n=\frac{\ln(n!)}{n^2}&&\displaystyle \mathbf 2. u_n=e^{-\sqrt n}\ln(1+n+e^n)\\ \displaystyle \mathbf 3.\ u_n=\sqrt n\ln\left(\frac{\sqrt n+1}{\sqrt n-1}\right) \end{array} $$
Indication
Corrigé
Enoncé
Étudier la nature des suites suivantes, et déterminer leur limite éventuelle : $$\begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf 1.\ u_n=\frac{\ln(n!)}n&&\displaystyle\mathbf 2.\ u_n=\frac{\lfloor nx\rfloor}{n^\alpha}\textrm{ en fonction de }x,\alpha\in\mathbb R\\ \displaystyle \mathbf 3.\ u_n=\frac{1}{n!}\sum_{k=1}^n k! \end{array}$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Quelle est la nature de la suite $u_n=\left(2\sin{\left(\frac{1}{n}\right)} + \frac{3}{4}\cos{n}\right)^n$?
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(u_n)_{n\geq 1}$ la suite définie par $$u_n=\left(1+\frac{1}{n^2}\right)\left(1+\frac{2}{n^2}\right)...\left(1+\frac{n-1}{n^2}\right)\left(1+\frac{n}{n^2}\right).$$ On pose $v_n=\ln(u_n)$.
  1. Montrer, pour tout $x\geq 0$, l'inégalité $$x-\frac{x^2}{2}\leq \ln(1+x)\leq x.$$
  2. En déduire que $$\frac{n+1}{2n} - \frac{(n+1)(2n+1)}{12n^3}\leq v_n\leq \frac{n+1}{2n}.$$ On admettra que $$\sum_{k=1}^n k^2\,=\,\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$$
  3. Montrer que $(v_n)$ converge, et préciser sa limite.
  4. Montrer que $(u_n)$ converge, et préciser sa limite.
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Deux exemples avec des suites trigonométriques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Montrer que la suite $(x_n)$ définie par $x_n=\cos\left(\left(n+\frac1n\right)\pi\right)$ est divergente.
    1. Montrer que, pour tout $n\in\mathbb N$, $(3+\sqrt 5)^n+(3-\sqrt 5)^n$ est un entier pair.
    2. En déduire que la suite $\left(\sin\left(\left(3+\sqrt 5)^n\pi\right)\right)\right)$ converge et déterminer sa limite.
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Une suite définie comme étant la racine d'un polynôme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $n\geq 1$, on considère le polynôme $P_n(X)=X^n+X^{n-1}+\dots+X-1$.
  1. Démontrer que $P_n$ possède une seule racine dans $\mathbb R_+$, que l'on note $u_n$.
  2. Démontrer que la suite $(u_n)$ est décroissante, et en déduire qu'elle converge.
  3. Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, $u_n\geq\frac 12$.
  4. Soit $\rho\in ]1/2,1[$. Démontrer que $\lim_{n\to+\infty}P_n(\rho)>0$.
  5. Démontrer que $(u_n)$ converge vers $\frac 12$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $\theta\in\mathbb R$ tel que $\theta$ n'est pas congru à 0 modulo $\pi$. On pose $u_n=\cos(n\theta)$ et $v_n=\sin(n\theta)$.
  1. Montrer que $(u_n)$ converge si et seulement si $(v_n)$ converge.
  2. En déduire que les deux suites sont divergentes.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $u_n=\sqrt{n+\sqrt{n-1+\sqrt{\dots+\sqrt 1}}}$.
  1. Écrire une formule de récurrence liant $u_{n-1}$ et $u_n$.
  2. Montrer que la suite $\left(\frac{u_n}{\sqrt n}\right)$ est bornée.
  3. Déterminer sa limite.
Indication
Corrigé
Exercice 12 - A partir d'inégalités [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Etudier la convergence d'une suite $u$ vérifiant $u_0>0$ et, pour tout $n$, $$0<u_{n+1}\leq 2-\frac{1}{u_n}.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=x-x^2$, et $(u_n)$ la suite définie par $u_0\in]0,1[$ et $u_{n+1}=f(u_n)$.
  1. Etudier les variations de $f$.
  2. Montrer que, pour tout $n$, $0<u_n<\frac{1}{n+1}$.
  3. En déduire que la suite $(v_n)$ définie par $v_n=nu_n$, $n\geq 0$, est croissante.
  4. Montrer que la suite $(v_n)$ admet une limite $l$ appartenant à $]0,1]$ (on ne demande pas de calculer $l$ pour le moment).
  5. On pose $w_n=n(v_{n+1}-v_n)$. Montrer que $(w_n)$ converge vers $l(1-l)$.
  6. Soit $(t_n)$ une autre suite telle qu'il existe $n_0\geq 1$ vérifiant que, pour $n\geq n_0$, on a $$t_{n+1}-t_n\geq \frac an,$$ où $a>0$. Montrer que $t_{2n}-t_n\geq\frac a2$ pour $n\geq n_0$, puis que $(t_n)$ est divergente.
  7. Montrer que si $l\neq 1$, la suite $(v_n)$ vérifie les mêmes conditions que la suite $(t_n)$ de la question précédente. En déduire la valeur de $l$.
Indication
Corrigé
Suites définies par une somme
Enoncé
  1. Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que $$\frac{1}{k^2-1}=\frac{a}{k-1}+\frac{b}{k+1}.$$
  2. En déduire la limite de la suite $$u_n=\sum_{k=2}^n \frac{1}{k^2-1}.$$
  3. Sur le même modèle, déterminer la limite de la suite $$v_n=\sum_{k=0}^n\frac{1}{k^2+3k+2}.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Etudier les suites $(u_n)$ définies par $$\begin{array}{lcl} \displaystyle 1.\ \sum_{k=1}^n \frac{n}{n+k}&&\displaystyle 2.\ u_n=\sum_{k=0}^{2n+1}\frac n{n^2+k}. \end{array}$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Montrer que, pour tout $n\in\mathbb N^*$, on a $$\sqrt{n+1}-\sqrt n\leq\frac{1}{2\sqrt n}.$$ En déduire le comportement de la suite $(u_n)$ définie par $$u_n=1+\frac{1}{\sqrt 2}+\dots+\frac{1}{\sqrt n}.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Pour tout $n\in\mathbb N^*$, on pose $$H_n=\sum_{k=1}^n \frac 1k.$$ Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, $$H_{2n}-H_n\geq\frac 12.$$ En déduire que $\lim_{n\to+\infty}H_n=+\infty.$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $\alpha>0$ et $u_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{n^\alpha+k^\alpha}$.
  1. Démontrer que si $\alpha > 1$ alors $u_n \to 0$.
  2. Démontrer que si $\alpha<1$, alors $u_n\to+ \infty$.
  3. Démontrer que si $\alpha=1$, la suite est monotone et convergente.
  4. Démontrer que, pour tout $x\in[0,1[$, $\ln (1 + x) \leq x \leq - \ln (1 - x)$ .
  5. En déduire que $u_n\to\ln 2$.
Indication
Corrigé
Suites adjacentes
Exercice 19 - Suites adjacentes en Terminale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont dites adjacentes si la suite $(u_n)$ est croissante, la suite $(v_n)$ est décroissante et $\lim_{n\to+\infty}v_n-u_n=0$.
  1. Question préliminaire : soit $(x_n)$ une suite décroissante de réels tels que $(x_n)$ converge vers 0. Démontrer que pour tout $n\in\mathbb N$, on a $x_n\geq 0$.
  2. On fixe désormais $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites adjacentes. On pose, pour tout $n\in\mathbb N$, $w_n=v_n-u_n$. Justifier que la suite $(w_n)$ est décroissante.
  3. En déduire que pour tout $n\in\mathbb N$, on a $w_n\geq 0$.
  4. Démontrer que $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers la même limite.
Indication
Corrigé
Exercice 20 - Exemple de suites adjacentes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ données ci-dessous forment des couples de suites adjacentes. $$ \begin{array}{ll} \mathbf{1.}\quad \displaystyle u_n=\sum_{k=1}^n \frac1{k^2}\textrm{ et }v_n=u_n+\frac 1n\\ \mathbf{2.}\quad \displaystyle u_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k+n}\textrm{ et }v_n=\sum_{k=n}^{2n}\frac 1k. \end{array}$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n=\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k+1}$. Etudier les suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$. Quelle est la nature de $(u_n)$?
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ les deux suites définies pour $n\geq 1$ par : $$u_n=\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!},\ \ v_n=u_n+\frac{1}{n\times n!}.$$
  1. Montrer que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes. On note $e$ leur limite commune.
  2. Montrer que, pour tout $n\in\mathbb N^*$, $n! u_n< n! e < n!u_n+\frac 1n.$
  3. En déduire que $e$ est un nombre irrationnel (on pourra procéder par l'absurde).
  4. Écrire un algorithme donnant un encadrement de $e$ avec un écart inférieur strict à $a$, $a$ étant un réel entré par l'utilisateur.
Indication
Corrigé
Exercice 23 - Un équivalent de $\sum_{k=1}^n \frac 1{\sqrt k}$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Étant donné $n\in\mathbb N^*$, on pose $$u_n=\sum_{k=1}^n \frac 1{\sqrt k}-2\sqrt n\textrm{ et }v_n=\sum_{k=1}^n \frac1{\sqrt k}-2\sqrt{n+1}.$$
  1. Calculer $\lim_{n\to+\infty}(u_n-v_n)$.
  2. Montrer que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont monotones.
  3. En déduire que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers la même limite $\ell$ avec $\ell\leq -1$.
  4. Quelle est la limite de $\frac{\sum_{k=1}^n \frac1{\sqrt k}}{2\sqrt n}$?
Indication
Corrigé
Exercice 24 - Une preuve du théorème des séries alternées [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Le but de l'exercice est de démontrer le théorème des séries alternées : si $(a_n)$ est une suite décroissante de réels positifs qui tend vers $0$, alors la suite $(S_n)$ définie pour $n\geq 0$ par $$S_n=\sum_{k=0}^n (-1)^k a_k$$ est convergente. On pose pour $n\geq0$, $u_n=S_{2n}$ et $v_n=S_{2n+1}$.
  1. Démontrer que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes.
  2. En déduire que la suite $(S_n)$ est convergente. On note $\ell$ sa limite.
  3. Justifier que, pour tout $n\in\mathbb N$, $v_n\leq \ell\leq u_n$.
  4. On suppose pour toute la suite de l'exercice que $a_n=\frac{1}{n+1}$. Donner un algorithme donnant un encadrement de $\ell$ d'amplitude inférieur ou égal à $10^{-6}$.
  5. Dans cette question, on va prouver que $\ell=\ln 2$.
    1. Pour $n\geq 1$ et $x\in[0,1]$, justifier l'égalité $$\frac{1}{1+x}=1-x+\dots+(-1)^n x^n+\frac{(-1)^{n+1}x^{n+1}}{1+x}.$$
    2. On pose, pour $n\geq 1$, $$I_n=\int_0^1 \frac{x^{n+1}}{1+x}dx.$$ Démontrer que $(I_n)$ tend vers 0.
    3. Conclure.
Indication
Corrigé
Suites récurrentes
Exercice 25 - Approximation du nombre d'or [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On appelle nombre d'or et on note $\phi$ la solution positive réelle de l'équation d'inconnue réelle $x$ : $$x^2-x-1=0.$$ En particulier, on a $\phi=\sqrt{1+\phi}$.
  1. Justifier, sans calculatrice, que $1<\phi<2$.
  2. On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb N^*$ par $$u_1=\sqrt 1,\ u_2=\sqrt{1+\sqrt{1}},\ u_3=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt 1}}$$ et ainsi de suite, $$u_n=\sqrt{1+\dots+\sqrt{1+\sqrt 1}}$$ avec $n$ radicaux.
    Exprimer, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $1$, $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
  3. Montrer que, pour tout $n\geq 1$, $$1\leq u_n\leq\phi.$$
  4. Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
  5. Démontrer que $(u_n)$ converge vers $\phi$.
  6. Montrer que, pour tout entier $n\geq 1$, $$|u_{n+1}-\phi|\leq \frac 12 |u_n-\phi|.$$
  7. En déduire que, pour tout $n\geq 1$, $$|u_n–\phi|\leq\frac 1{2^{n-1}}.$$
  8. Écrire un algorithme permettant de déterminer une valeur approchée de $\phi$ à $\veps$ près.
Indication
Corrigé
Exercice 26 - Suite arithmético-géométrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $a,b\in\mathbb R$ avec $a\neq 1$ et $(u_n)$ la suite définie par $u_{n+1}=au_n+b$.
  1. Quelle est la seule limite possible $l$ de la suite $(u_n)$?
  2. Soit $v_n=u_n-l$. Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique, et en déduire la nature de la suite $(u_n)$.
  3. Application : on considère un carré de côté 1. On le partage en 9 carrés égaux, et on colorie le carré central. Puis, pour chaque carré non-colorié, on réitère le procédé. On note $u_n$ l'aire hachurée après l'étape $n$. Quelle est la limite de $(u_n)$?
Indication
Corrigé
Exercice 27 - Fonction croissante - avec indications [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère la suite récurrente $u_{n+1}=f(u_n)$ avec $f(x)=x^2+\frac{3}{16}$ et $u_0\geq 0$.
  1. Étudier $f$ et le signe de $f(x)-x$. Quelles sont les limites possible de $(u_n)$?
  2. On suppose $u_0\in[0,1/4]$. Montrer que $u_n\in[0,1/4]$ pour tout $n$, puis que $(u_n)$ est croissante. Quelle est la nature de $(u_n)$ (si elle est convergente, préciser sa limite)?
  3. On suppose $u_0\in[1/4;3/4]$. Montrer que $(u_n)$ est décroissante et minorée. Quelle est la nature de $(u_n)$ (si elle est convergente, préciser sa limite)?
  4. On suppose $u_0>3/4$. Montrer que $(u_n)$ est croissante. Quelle est la nature de $(u_n)$ (si elle est convergente, préciser sa limite)?
Indication
Corrigé
Exercice 28 - Fonction décroissante - avec indications [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:]0,+\infty[\to]0,+\infty[$ définie par $f(x)=1+\frac{2}{x}$. On considère la suite récurrente $(u_n)$ vérifiant $u_{n+1}=f(u_n)$ et $u_0=1$.
  1. Étudier le sens de variation de $f$ sur $[1,3]$ et montrer que l'intervalle $[1,3]$ est stable par $f$. Que peut-on en déduire sur $(u_n)$?
  2. Soient $(v_n)$ et $(w_n)$ les suites définies par $v_{n}=u_{2n}$ et $w_n=u_{2n+1}$. Montrer que $(v_n)$ est croissante.
  3. Démontrer que $(w_n)$ est décroissante.
  4. En déduire que $(v_n)$ et $(w_n)$ sont convergentes et déterminer leur limite respective.
  5. Quelle est la nature de la suite $(u_n)$?
Indication
Corrigé
Exercice 29 - Fonction croissante - sans indication [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Étudier les suites récurrentes suivantes :
  1. $u_0>0$ et $u_{n+1}=u_n+\frac{1}{u_n}$;
  2. $u_0=1$ et $u_{n+1}=\sqrt{1+u_n}$. Que se passe-t-il si on choisit $u_0=2$?
Indication
Corrigé
Exercice 30 - Fonctions décroissantes - sans indications [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Étudier les suites récurrentes suivantes :
  1. $u_0=1/2$ et $u_{n+1}=(1-u_n)^2$.
  2. $u_0=1/2$ et $u_{n+1}=\sqrt{1-u_n}$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Étudier la suite définie par $u_0\in\mathbb C$ et $u_{n+1}=\frac{1}5(3u_n-2\overline{u_n})$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(u_n)$ la suite de nombres réels définie par $u_0=-1,\ u_1=-1$ et $u_{n+2}=(n+1)u_{n+1}-(n+2)u_n$.
  1. Calculer les quinze premiers termes de la suite.
  2. Que peut-on conjecturer pour $u_{n+1}-u_n$?
  3. En déduire une conjecture sur la suite $(u_n)$.
  4. Démontrer cette dernière conjecture.
Indication
Corrigé
Exercice 33 - Suites récurrentes linéaires d'ordre 2 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Donner l'expression du terme général des suites récurrentes $(u_n)$ suivantes :
  1. $u_{n+2}=3u_{n+1}-2u_n$, $u_0=3$, $u_1=5$.
  2. $u_{n+2}=4u_{n+1}-4u_n$, $u_0=1$, $u_1=0$.
  3. $u_{n+2}=u_{n+1}-u_n$, $u_0=1$ et $u_1=2$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(z_n)$ une suite définie par $z_0\in\mathbb C$ et la relation $$z_{n+1}=\frac{az_n+b}{cz_n+d},$$ où $a,b,c,d$ sont des complexes tels que $ad-bc\neq 0$ et $c\neq 0$. On suppose dans toute la suite que $z_0$ est choisi de sorte que la suite $(z_n)$ soit bien définie.
  1. Montrer que la fonction $f(z)=\frac{az+b}{cz+d}$ admet un ou deux points fixes dans $\mathbb C$.
  2. On suppose que $f$ admet deux points fixes $\alpha$ et $\beta$ et on pose $$w_n=\frac{z_n-\alpha}{z_n-\beta}.$$ Montrer que la suite $(w_n)$ est géométrique. En déduire la nature de la suite définie par $z_0=i$ et $z_{n+1}=\frac{1}{1-z_n}$.
  3. On suppose que $f$ admet un unique point fixe $\alpha$ et on pose $$w_n=\frac{1}{z_n-\alpha}.$$ Calculer la valeur de $\alpha$ et prouver que $$f(z)=z-\frac{c(z-\alpha)^2}{cz+d}.$$ Montrer ensuite que la suite $(w_n)$ est arithmétique. En déduire la nature de la suite définie par $z_0=i$ et $z_{n+1}=\frac{3z_n-1}{z_n+1}$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $a\in\mathbb C$. A quelle condition la suite $u_{n+1}=a u_n^2$, avec $u_0\in\mathbb C$, converge-t-elle vers zéro?
Indication
Corrigé
Suites croisées
Enoncé
Soient $(x_n)$ et $(y_n)$ deux suites de nombres réels définies par $0<x_0<y_0$ et $$\left\{ \begin{array}{rcl} x_{n+1}&=&\displaystyle \frac{x_n^2}{x_n+y_n}\\ y_{n+1}&=&\displaystyle \frac{y_n^2}{x_n+y_n} \end{array}\right.$$
  1. Montrer que $(y_n-x_n)$ est une suite constante.
  2. En déduire que $(x_n)$ est décroissante.
  3. Montrer que les deux suites sont convergentes, et calculer leur limite respective.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $x$ et $y$ deux nombres réels strictement positifs. On définit :
  • leur moyenne arithmétique, notée $m$, par la relation $m=\frac{x+y}{2}$;
  • leur moyenne géométrique, notée $g$, par la relation $g=\sqrt{xy}$;
  • leur moyenne harmonique, notée $h$, par la relation $\frac 1h=\frac12\left(\frac 1x+\frac 1y\right)$.
  1. Montrer que $h\leq g\leq m$ et vérifier que $\sqrt{mh}=g$.
  2. On définit deux suites $u$ et $v$ par récurrence par la donnée de $u_0$ et $v_0$, avec $0<v_0\leq u_0$, et par les relations de récurrence suivante :
    • $u_{n+1}$ est la moyenne arithmétique de $u_n$ et $v_n$;
    • $v_{n+1}$ est la moyenne harmonique de $u_n$ et $v_n$.
    1. Montrer que pour tout $n\in\mathbb N$, on a $0<v_n\leq u_n$.
    2. Montrer que la suite $u$ est décroissante et que la suite $v$ est croissante.
    3. Montrer que les deux suites $u$ et $v$ convergent vers la même limite notée $l$.
    4. Montrer que $l$ est la moyenne géométrique de $u_0$ et $v_0$.
Indication
Corrigé
Exercice 38 - Moyenne arithmético-géométrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $a,b\geq 0$ et $(u_n)$, $(v_n)$ les deux suites définies par $$u_0=a,\ v_0=b,\ u_{n+1}=\frac{u_n+v_n}{2},\ v_{n+1}=\sqrt{u_nv_n}.$$
  1. Démontrer que pour tous réels positifs $x$ et $y$, on a $$\sqrt{xy}\leq \frac{x+y}2.$$
  2. Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, $u_n\geq v_n$, $u_n\geq u_{n+1}$ et $v_{n+1}\geq v_n$.
  3. Démontrer que $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers la même limite. Cette limite est appelée moyenne arithmético-géométrique de $a$ et $b$ et est notée $M(a,b)$.
  4. Calculer $M(a,a)$ et $M(a,0)$.
  5. Démontrer que, pour tout $\lambda>0$, $M(\lambda a,\lambda b)= \lambda M(a,b)$.
  6. Écrire un algorithme donnant une valeur approchée de la moyenne arithmético-géométrique de deux réels $a$ et $b$, avec une erreur inférieure à un réel donné par l'utilisateur.
Indication
Corrigé
Enoncé
On définit deux suites $(p_n)$ et $(q_n)$ par les formules suivantes : $$\left\{ \begin{array}{rcl} p_0&=&\displaystyle \frac{3\sqrt 3}2\\ q_0&=&3\sqrt 3\\ q_{n+1}&=&\displaystyle \frac{2p_nq_n}{p_n+q_n}\\ p_{n+1}&=&\displaystyle \sqrt{p_n q_{n+1}} \end{array} \right. $$ On admettra que les suites $(p_n)$ et $(q_n)$ sont bien définies et vérifient, pour tout $n\in\mathbb N$, $p_n>0$ et $q_n>0$. Pour les quatre premières questions, on fera très attention à la nécessité, ou non, d'utiliser un raisonnement par récurrence.
  1. Montrer que, pour tout $n\in\mathbb N$, on a $p_n\leq q_n$.
  2. En déduire que la suite $(q_n)$ est décroissante.
  3. Montrer que, pour tout $n\in\mathbb N$, on a $p_n\leq q_{n+1}$.
  4. En déduire que la suite $(p_n)$ est croissante.
    1. Vérifier que, si $x,y$ sont des réels strictement positifs, alors $\frac{2xy}{x+y}\leq\frac 12(x+y)$.
    2. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a $$q_{n+1}-p_{n+1}\leq \frac 12\left(q_n-p_n\right).$$
  5. Démontrer que les suites $(p_n)$ et $(q_n)$ sont adjacentes. On note $\ell$ leur limite.
  6. Écrire un algorithme donnant un encadrement de $\ell$ à $10^{-10}$ près.
  7. Dans la suite, on souhaite déterminer la valeur de $\ell$ (et donner une explication géométrique à la construction de ces deux suites). On se place dans le plan muni d'un repère orthonormé. Soit $\theta\in [0,\pi]$ et $A(\theta)$ le point d'affixe $e^{i\theta}$. Démontrer que la distance $A(0)A(\theta)$ vaut $2\sin(\theta/2)$.
  8. Pour $n\in\mathbb N$, on note $u_n$ la moitié du périmètre d'un polygone régulier inscrit dans le cercle unité à $3\times 2^n$ côtés. Démontrer que $$u_n=3\times 2^n\times\sin(a_n)$$ où $a_n=\frac{\pi}{3\times 2^n}$.
  9. On définit de même la suite $(v_n)$ pour $n\in\mathbb N$ par $$v_n=3\times 2^n\times\tan(a_n).$$ On démontre que, pour $n\in\mathbb N$, $v_n$ est la moitié du périmètre d'un polygone régulier à $3\times 2^n$ côtés dont le cercle inscrit est le cercle unité.
    Vérifier que, pour tout $n\in\mathbb N$, $$u_{n+1}=\sqrt{u_n v_{n+1}}\textrm{ et }v_{n+1}=\frac{2u_nv_n}{u_n+v_n}.$$
  10. Que peut-on en déduire sur les suites $(u_n)$, $(v_n)$, $(p_n)$ et $(q_n)$?
  11. Quelle est la limite commune des suites $(p_n)$ et $(q_n)$?
Indication
Corrigé
Limites inférieures - Limites supérieures
Enoncé
Soient $u_n=\frac{n+1}{n}\cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)$ et $v_n=\frac{n-1}{n}\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)$. Calculer $\limsup_{n\to+\infty}u_n$, $\liminf_{n\to+\infty}u_n$, $\limsup_{n\to+\infty}v_n$, $\liminf_{n\to+\infty}v_n$, $\limsup_{n\to+\infty}(u_n+v_n)$, $\liminf_{n\to+\infty}(u_n+v_n)$.
Indication
Corrigé