$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Suites de fonctions - convergence uniforme

Enoncé
Soit $(f_n)$ une suite de fonctions qui converge simplement vers une fonction $f$ sur un intervalle $I$. Dire si les assertions suivantes sont vraies ou fausses :
  1. Si les $f_n$ sont croissantes, alors $f$ aussi.
  2. Si les $f_n$ sont strictement croissantes, alors $f$ aussi.
  3. Si les $f_n$ sont périodiques, alors $f$ aussi.
  4. Si les $f_n$ sont continues en $a$, alors $f$ aussi.
Reprendre l'exercice en remplaçant la convergence simple par la convergence uniforme.
Corrigé
Convergence de suites de fonctions
Exercice 2 - Étude de convergence simple et uniforme détaillée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $x\in\mathbb R$, on pose $f_n(x)=1+x+\dots+x^{n-1}$.
  1. Étudier la convergence simple de la suite de fonctions $(f_n)$. On note $f(x)$ la limite de la suite $(f_n(x))$ lorsque cette limite existe.
  2. On pose, pour $x\in ]-1,1[$, $\varphi_n(x)=f(x)-f_n(x)$. Vérifier que $$\varphi_n(x)=\frac{x^n}{1-x}.$$
  3. Quelle est la limite de $\varphi_n$ en $1$? En déduire que la convergence n'est pas uniforme sur $]-1,1[$.
  4. Démontrer que $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $[-a,a]$.
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Convergence uniforme sur un intervalle plus petit... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On pose, pour $n\geq 1$ et $x\in ]0,1]$, $f_n(x)=nx^n\ln(x)$ et $f_n(0)=0$.
  1. Démontrer que $(f_n)$ converge simplement sur $[0,1]$ vers une fonction $f$ que l'on précisera. On note ensuite $g=f-f_n$.
  2. Étudier les variations de $g$.
  3. En déduire que la convergence de $(f_n)$ vers $f$ n'est pas uniforme sur $[0,1]$.
  4. Soit $a\in ]0,1]$. En remarquant qu'il existe $n_0\in\mathbb N$ tel que $e^{-1/n}\geq a$ pour tout $n\geq n_0$, démontrer que la suite $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $[0,a]$.
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Exemples de converge uniforme, ou non! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Étudier la convergence simple et la convergence uniforme des suites de fonctions $(f_n)$ suivantes :
  1. $f_n(x)=e^{-nx}\sin(2nx)$ sur $\mtr^+$ puis sur $[a,+\infty[$, avec $a>0$.
  2. $f_n(x)=\frac 1{(1+x^2)^n}$ sur $\mathbb R$, puis sur $[a,+\infty[$ avec $a>0$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $a\geq 0$. On définit la suite de fonctions $(f_n)$ sur $[0,1]$ par $f_n(x)=n^a x^n(1-x)$. Montrer que la suite $(f_n)$ converge simplement vers 0 sur $[0,1]$, mais que la convergence est uniforme si et seulement si $a<1.$
Indication
Corrigé
Enoncé
On pose $f_n:x\mapsto ne^{-n^2x^2}$. Étudier la convergence simple de $(f_n)$ sur $\mathbb R$. Montrer la convergence uniforme sur $[a,+\infty[$, avec $a>0$. Étudier la convergence uniforme sur $]0,+\infty[$.
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Convergence uniforme et dérivabilité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f_n:\mathbb R\to\mathbb R$ définie par $f_n(x)=\sqrt{x^2+\frac 1n}$. Démontrer que chaque $f_n$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $\mathbb R$ et que la suite de fonctions $(f_n)$ converge uniformément vers une fonction $f$. $f$ est-elle $\mathcal C^1$ sur $\mathbb R$?
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Permutation limite/intégrale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(f_n)$ la suite de fonctions définie sur $[0,1]$ par $f_n(x)=n^2x(1-nx)$ si $x\in [0,1/n]$ et $f_n(x)=0$ sinon.
  1. Étudier la limite simple de la suite $(f_n)$.
  2. Calculer $\int_0^1 f_n(t)dt$. Y-a-t-il convergence uniforme sur $[0,1]$?
  3. Étudier la convergence uniforme sur $[a,1]$ pour $a\in ]0,1]$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(f_n)_{n\geq 1}$ la suite de fonctions définies sur $[0,1]$ par $\displaystyle f_n(x)=\frac{2^n x}{1+2^n nx^2}.$
  1. Étudier la convergence simple de cette suite de fonctions.
  2. Calculer $I_n=\int_0^1 f_n(t)dt$ et $\lim_{n\to+\infty}I_n$. En déduire que la suite $(f_n)$ n'est pas uniformément convergente sur $[0,1]$.
  3. Donner une démonstration directe du fait que la suite $(f_n)$ ne converge pas uniformément sur $[0,1]$.
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Exemples plus difficiles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Étudier la convergence simple et la convergence uniforme des suites de fonctions $(f_n)$ suivantes :
  1. $f_n(x)=\frac{\sin nx}{n\sqrt{x}}$ sur $\mtr_+$;
  2. $f_n(x)=(\sin x)^n \cos(x)$ sur $\mathbb R$.
  3. $f_n(x)=e^{\frac{(n-1)x}{n}}$ sur $\mathbb R$, puis sur $]-\infty,b]$ avec $b\in\mathbb R$.
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Produit avec une fonction s'annulant en $0$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction continue, bornée, et vérifiant $f(0)=0$. On pose, pour $n\geq 0$ et $x\in\mathbb R$, $$f_n(x)=\frac{1}{1+(nx)^2}f(x).$$ Démontrer que la suite de fonctions $(f_n)$ converge uniformément vers $0$ sur $\mathbb R$.
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Limite de la dérivée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On définit une suite de fonction $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ sur $[0,1]$ par $f_n(x)=\frac{x}{1+n^2x^2}$. Montrer que
  • $(f_n)$ converge uniformément sur $[0,1]$ vers une fonction dérivable $f$;
  • $(f_n')$ converge simplement sur $[0,1]$ vers une fonction $g$;
  • $f'\neq g$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Etudier la convergence simple et la convergence uniforme de la suite $(f_n)$ de fonctions définies sur $\mtr_+$ par : $$f_n(x)=\left(1-\frac{x}{n}\right)^n\textrm{ pour }x\in[0,n],\textrm{ et }0 \textrm{ ailleurs.}$$
Indication
Corrigé
Exercice 14 - Approximation polynômiale de la racine carrée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On définit une suite de fonctions $f_n:[0,1]\to\mathbb R$ par $f_0=0$ et, pour tout $n\in\mathbb N$ et tout $x\in I=[0,1]$, $$f_{n+1}(x)=f_n(x)+\frac12\left(x-(f_n(x))^2\right).$$
  1. Montrer que la suite $(f_n)$ converge simplement sur $I$ vers la fonction $x\mapsto \sqrt x$.
  2. Démontrer que, pour tout entier $n\geq 1$, $$0\leq \sqrt x-f_{n}(x)=\sqrt x\left(1-\frac{\sqrt x}{2}\right)^n.$$
  3. En déduire que la convergence est uniforme sur $I$.
Indication
Corrigé
Exercices théoriques
Exercice 15 - Convergence uniforme et fonctions bornées [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(f_n)$ une suite de fonctions \emph{bornées}, $f_n:\mathbb R\to\mathbb R$. On suppose que la suite $(f_n)$ converge uniformément vers $f$. Montrer que $f$ est bornée. Le résultat persiste-t-il si on suppose uniquement la convergence simple?
Indication
Corrigé
Exercice 16 - Convergence simple et fonctions décroissantes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(f_n)$ une suite de fonctions décroissantes définies sur $[0,1]$ telle que $(f_n)$ converge simplement vers la fonction nulle. Montrer que la convergence est en fait uniforme.
Indication
Corrigé
Exercice 17 - Convergence uniforme et produit [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $(f_n)$ et $(g_n)$ deux suites de fonctions définies sur un même intervalle $I$ et à valeurs dans $\mathbb R$. On suppose que $(f_n)$ et $(g_n)$ convergent uniformément sur $I$ vers respectivement $f$ et $g$. On suppose de plus que $f$ et $g$ sont bornées. Démontrer que $(f_ng_n)$ converge uniformément vers $fg$.
Indication
Corrigé
Exercice 18 - Convergence uniforme et continuité uniforme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer que la limite uniforme d'une suite de fonctions uniformément continues est elle-même uniformément continue.
Indication
Corrigé
Exercice 19 - Avec dérivée seconde bornée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ de classe $\mathcal C^2$ telle que $f''$ est bornée. Démontrer que la suite de fonctions $(f_n)$ définie par $f_n(x)=n\big(f(x+1/n)-f(x)\big)$ converge uniformément vers $f'$.
Indication
Corrigé
Exercice 20 - Limite uniforme de polynômes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction et $(P_n)$ une suite de fonctions polynomiales convergeant uniformément vers $f$.
  1. Justifier qu'il existe un entier $N$ tel que, pour tout $n\geq N$, on ait $|P_n(x)-P_N(x)|\leq 1$.
  2. Que dire du polynôme $P_n-P_N$?
  3. En déduire que $f$ est nécessairement un polynôme.
Indication
Corrigé
Exercice 21 - Convergence uniforme de sommes de Riemann [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction continue, et soit $a<b$ deux réels. Pour $x\in [a,b]$, on pose $$f_n(x)=\sum_{i=0}^{n-1}\frac 1n f\left(x+\frac in\right).$$
  1. Étudier la convergence simple de la suite $(f_n)$ sur $[a,b]$.
  2. Démontrer que la suite $(f_n)$ converge uniformément sur $[a,b]$.
Indication
Corrigé
Exercice 22 - Convergence uniforme et composition [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $I$ et $J$ deux intervalles et $(g_n)$ une suite de fonctions de $I$ dans $J$ qui converge uniformément sur $I$ vers une fonction $g$. Soit $f\in C^0(J,\mathbb R)$ et $(h_n)$ la suite définie par $h_n=f\circ g_n$.
  1. Montrer que si $J$ est un segment, alors la suite $(h_n)$ converge uniformément.
  2. Que se passe-t-il si on ne suppose plus que $J$ est un segment?
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(f_n)$ une \emph{suite croissante} (ie $f_n\leq f_{n+1}$) de fonctions continues sur un segment $[a,b]$ qui converge simplement vers une fonction $f$ continue. Pour $\veps>0$ et $n\geq 1$, on pose $$K_n(\veps)=\{x\in[a,b];\ |f(x)-f_n(x)|\geq \veps\}.$$
  1. Justifier que si pour tout $\veps>0$, il existe un entier $n$ tel que $K_n(\veps)=\varnothing$, alors $(f_n)$ converge uniformément vers $f$.
  2. Démontrer que $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $[a,b]$.
Indication
Corrigé
Exercice 24 - Convergence uniforme des suites de fonctions convexes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Soient $(\alpha,\beta)\in\mathbb R^2$ avec $\alpha<\beta$, $M\geq 0$ et $(f_n)_{n\geq 0}$ une suite de fonctions $M$-lipschitziennes de $[\alpha,\beta]$ dans $\mathbb R$. Montrer que si $(f_n)$ converge simplement vers une fonction $f$ sur $[\alpha,\beta]$, la convergence est en fait uniforme.
  2. Soient $]a,b[$ un intervalle ouvert, et $(f_n)$ une suite de fonctions convexes de $I$ dans $\mathbb R$ qui converge simplement vers $f$. Montrer que $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur tout segment inclus dans $]a,b[$.
Indication
Corrigé
Exercice 25 - Une drôle d'équation différentielle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On définit une suite $(u_n)$ de fonctions de $[0,1]$ dans $\mathbb R$ par $u_0(x)=1$ et pour tout $n\geq 0$, $$u_{n+1}(x)=1+\int_0^x u_n(t-t^2)dt.$$
  1. Montrer que, pour tout $x\in [0,1]$, $$0\leq u_{n+1}(x)-u_n(x)\leq \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}.$$
  2. En déduire la convergence simple de la suite $(u_n)$ sur $[0,1]$. On note $u$ sa limite.
  3. Démontrer que la suite $(u_n)$ converge uniformément vers $u$ sur $[0,1]$ et que $u$ n'est pas identiquement nulle.
  4. Démontrer que $u$ est solution de l'équation différentielle $u'(x)=u(x-x^2)$.
Indication
Corrigé
Théorème de Weierstrass
Exercice 26 - Théorème des moments [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction continue. On suppose que, pour tout $k\geq 0$, on a $\int_a^b f(t) t^k dt=0$.
  1. Démontrer que $\int_a^b f^2(t)dt=0$.
  2. En déduire que $f$ est la fonction nulle.
Indication
Corrigé
Exercice 27 - Polynômes de Bernstein et théorème de Weierstrass [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ une application continue de $[0,1]$ dans $\mtc$. Pour tout entier $n\geq 1$, on définit le polynôme $B_n$ de degré $n$ par : $$B_n(x)=\sum_{0\leq k\leq n}\binom{n}{k} x^k(1-x)^{n-k}f\left(\frac{k}{n}\right).$$ On rappelle que la fonction $f$, continue sur $[0,1]$, est uniformément continue, i.e. pour tout $\veps>0$, il existe $\eta_\veps>0$ tel que, pour couple $(x,y)\in[0,1]^2$ vérifiant $|x-y|\leq\eta_\veps$, on a : $|f(x)-f(y)|\leq \veps$. On note par ailleurs $M=\sup_{0\leq x\leq 1}|f(x)|$.
  1. Pour $x,y\in\mathbb R$, donner une expression simple des quantités suivantes : $$\sum_{0\leq k\leq n}k\binom{n}{k}x^ky^{n-k}\textrm{ et }\sum_{0\leq k\leq n}k(k-1)\binom{n}{k}x^ky^{n-k}.$$
  2. Pour $x\in[0,1]$, on pose $r_k(x)=\binom{n}{k} x^k(1-x)^{n-k}$. Montrer que $$\sum_{0\leq k\leq n}r_k(x)=1,\ \sum_{0\leq k\leq n}kr_k(x)=nx,\ \sum_{0\leq k\leq n}k(k-1)r_k(x)=n(n-1)x^2.$$ En déduire l'égalité : $$\sum_{0\leq k\leq n}(k-nx)^2r_k(x)=nx(1-x).$$
  3. Montrer que pour tout $x\in[0,1]$, on a : $$|f(x)-B_n(x)|\leq\sum_{0\leq k\leq n}\left|f(x)-f\left(\frac{k}{n}\right)\right|r_k(x).$$
  4. Pour $x\in[0,1]$, on note $J(x)=\left\{0\leq k\leq n;\ |k-nx|\leq n\eta_\veps\right\}.$ Prouver que : $$\sum_{k\in J(x)}\left|f(x)-f\left(\frac{k}{n}\right)\right|r_k(x)\leq\veps.$$
  5. Prouver que : $$\sum_{k\in J(x)^c}\left|f(x)-f\left(\frac{k}{n}\right)\right|r_k(x)\leq 2M \sum_{k\in J(x)^c}\frac{(k-nx)^2}{n^2\eta_\veps^2}r_k(x),$$ puis que $$\sum_{k\in J(x)^c}\left|f(x)-f\left(\frac{k}{n}\right)\right|r_k(x)\leq \frac{M}{2n\eta_\veps^2}.$$
  6. En déduire que la suite de polynômes $B_n$ converge uniformément vers $f$ sur $[0,1]$.
  7. En déduire le théorème d'approximation de Weierstrass : si $f$ est continue sur $[a,b]$, il existe une suite de fonctions polynomiales qui converge uniformément vers $f$ sur $[a,b]$.
Indication
Corrigé