$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Séries numériques - exercices théoriques

Enoncé
Soit $(u_n)$ une suite de nombres réels. Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
  1. Si $u_n>0$ et si la série $\sum u_n$ converge, alors $u_{n+1}/u_n$ a une limite strictement inférieure à 1.
  2. Si $u_n>0$ et si la série $\sum u_n$ converge, alors $(u_n)$ est décroissante à partir d'un certain rang.
  3. Si $u_n>0$, et si la série $\sum u_n$ converge, alors la série de terme général $u_n^2$ converge.
  4. Si $(-1)^n n u_n\to 1$, la série $\sum u_n$ converge.
  5. Si $(-1)^n n^2 u_n\to 1$, la série $\sum u_n$ converge.
Indication
Corrigé
Convergence de séries
Exercice 2 - Théorème des gendarmes pour les séries [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ trois suites réelles telles que $u_n\leq v_n\leq w_n$ pour chaque $n\geq 0$. On suppose que les séries $\sum_n u_n$ et $\sum_n w_n$ sont convergentes. Démontrer que la série $\sum_n v_n$ est convergente.
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Produit de racines carrées et maximum [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites réelles positives. On suppose que les deux séries $\sum_n u_n$ et $\sum_n v_n$ convergent. Prouver la convergence de $\sum_n \sqrt{u_nv_n}$ et de $\sum_n \max(u_n,v_n)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $\sum_n u_n$ une série à termes positifs.
  1. On suppose que $\sum_n u_n$ converge. Prouver que, pour tout $\alpha>1$, $\sum_n u_n^\alpha$ converge.
  2. On suppose que $\sum_n u_n$ diverge. Prouver que, pour tout $\alpha\in]0,1[$, $\sum_n u_n^\alpha$ diverge.
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Deux séries de même nature [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(u_n)$ une suite de réels positifs. On pose $v_n=\frac{u_n}{1+u_n}$.
  1. Prouver que la fonction $x\mapsto \frac{x}{1+x}$ est croissante sur $[0,+\infty[$.
  2. Démontrer que les séries $\sum_n u_n$ et $\sum_n v_n$ sont de même nature.
Indication
Corrigé
Exercice 6 - Terme général positif et décroissant [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(u_n)$ une suite positive et décroissante. Prouver que si la série $\sum_n u_n$ est convergente, alors $(nu_n)$ tend vers 0.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(u_n)$ une suite décroissante positive. Montrer que les séries $\sum_n u_n$ et $\sum_n 2^nu_{2^n}$ sont de même nature.
Indication
Corrigé
Critères
Enoncé
Soit $(u_n)$ une suite de réels positifs. On suppose qu'il existe $l\in\mathbb R$ tel que $$\frac{u_{n+1}}{u_n}\to l.$$
    On suppose $l<1$ et on fixe $\varepsilon>0$ tel que $l+\varepsilon<1$.
    1. Démontrer qu'il existe un entier $n_0$ tel que, pour $n\geq n_0$, on a $$u_n\leq (l+\varepsilon)^{n-n_0}u_{n_0}.$$
    2. En déduire que $\sum_n u_n$ converge.
  1. On suppose $l>1$. Démontrer que $\sum_n u_n$ diverge.
  2. Étudier le cas $l=1$.
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Règle de Raabe-Duhamel [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(u_n)$ une suite à termes positifs telle qu'il existe $a\in\mathbb R$ vérifiant $$\frac{u_{n+1}}{u_n}=1-\frac an+o\left(\frac1n\right).$$
  1. On suppose $a>1$. Soit $b\in]1,a[$ et posons $v_n=\frac1{n^b}$. Comparer $u_n$ et $v_n$. En déduire que $\sum_n u_n$ converge si $a>1$.
  2. Démontrer que $\sum_n u_n$ diverge si $a<1$.
  3. En utilisant les séries de Bertrand, montrer que le cas $a=1$ est douteux.
  4. On suppose que $\frac{u_{n+1}}{u_n}=1-\frac1n+O\left(\frac1{n^2}\right).$ On pose $v_n=\ln(nu_n)$ et $w_n=v_{n+1}-v_n$.
    1. Montrer que $w_n=O\left(\frac1{n^2}\right)$.
    2. En déduire que $u_n\sim \frac{\lambda}{n}$ avec $\lambda>0$ et que $\sum u_n$ est divergente.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $(u_n)$ et $(a_n)$ deux suites de réels strictement positifs.
  1. On suppose qu'il existe $p\in\mathbb N$ et $A>0$ tels que, pour tout $n\geq p$, on a $$a_n\frac{u_n}{u_{n+1}}-a_{n+1}\geq A.$$ Démontrer que la série $\sum_n u_n$ converge.
  2. On suppose qu'il existe un entier $p\in\mathbb N$ tel que, pour tout $n\geq p$, on a $$a_n\frac{u_n}{u_{n+1}}-a_{n+1}\leq 0.$$ On suppose en outre que $\sum_n \frac 1{a_n}$ diverge. Prouver que $\sum_n u_n$ diverge.
  3. Application 1 : retrouver la règle de d'Alembert.
  4. Application 2 : étudier la convergence de $\sum_n u_n$ pour $$u_n=\frac{1\times 3\times 5\times\dots\times (2n-1)}{2\times 4\times\dots\times 2n}\textrm{ et }u_n=\frac 1n\times \frac{1\times 3\times 5\times\dots\times (2n-1)}{2\times 4\times\dots\times 2n}.$$
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Une preuve du théorème des séries alternées [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Le but de l'exercice est de démontrer le théorème des séries alternées : si $(a_n)$ est une suite décroissante de réels positifs qui tend vers $0$, alors la suite $(S_n)$ définie pour $n\geq 0$ par $$S_n=\sum_{k=0}^n (-1)^k a_k$$ est convergente. On pose pour $n\geq0$, $u_n=S_{2n}$ et $v_n=S_{2n+1}$.
  1. Démontrer que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes.
  2. En déduire que la suite $(S_n)$ est convergente. On note $\ell$ sa limite.
  3. Justifier que, pour tout $n\in\mathbb N$, $v_n\leq \ell\leq u_n$.
  4. On suppose pour toute la suite de l'exercice que $a_n=\frac{1}{n+1}$. Donner un algorithme donnant un encadrement de $\ell$ d'amplitude inférieur ou égal à $10^{-6}$.
  5. Dans cette question, on va prouver que $\ell=\ln 2$.
    1. Pour $n\geq 1$ et $x\in[0,1]$, justifier l'égalité $$\frac{1}{1+x}=1-x+\dots+(-1)^n x^n+\frac{(-1)^{n+1}x^{n+1}}{1+x}.$$
    2. On pose, pour $n\geq 1$, $$I_n=\int_0^1 \frac{x^{n+1}}{1+x}dx.$$ Démontrer que $(I_n)$ tend vers 0.
    3. Conclure.
Indication
Corrigé
Comparaison à une intégrale
Exercice 12 - Une convergence étonnante [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(u_n)$ une suite de réels positifs telle que $\sum_n u_n$ diverge. On note $S_n=\sum_{k=1}^n u_k$. A l'aide d'une comparaison à une intégrale, démontrer que pour tout $\alpha>1$, la série $\sum_n \frac{u_n}{S_n^\alpha}$ est convergente.
Indication
Corrigé
Exercice 13 - La dérivée est intégrable [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[1,+\infty[\to\mathbb C$ une fonction de classe $\mathcal C^1$ telle que $f'$ est intégrable sur $[1,+\infty[$.
  1. Pour $n\in\mathbb N$, on pose $$u_n=\int_n^{n+1}f(t)dt-f(n).$$ Démontrer que $\sum_n u_n$ est absolument convergente.
  2. Démontrer que la série numérique $\sum f(n)$ converge si et seulement si la suite $\left(\int_1^n f(t)dt\right)$ converge.
  3. Application : étudier la nature de $\sum_n \frac{\sin(\sqrt n)}n$.
Indication
Corrigé
Sommes partielles et restes
Exercice 14 - Comparaison à une intégrale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ une application croissante, continue et positive de $]0,1]$ dans $\mathbb R$. On pose, pour $n\geq 1$, $u_n=f(e^{-n})$ et $v_n=\frac1nf\left(\frac1n\right)$. Démontrer que la convergence de la série $\sum_n u_n$ est équivalente à la convergence d'une intégrale impropre. Faire de même pour la série $\sum_n v_n$. En déduire que la série $\sum_n u_n$ converge si et seulement si la série $\sum_n v_n$ converge.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(u_n)$ une suite réelle telle que $\sum_n |u_n|$ et $\sum_n n|u_n|$ convergent. On note $v_n=\sum_{k=n}^{+\infty}u_k$.
  1. Montrer que $nv_n\to 0$.
  2. En déduire que $\sum_{n=1}^{+\infty}v_n=\sum_{n=1}^{+\infty}nu_n$.
  3. Application : pour $|r|<1$, calculer $\sum_{n=1}^{+\infty}nr^n$.
Indication
Corrigé
Exercice 16 - Décroissance très rapide à l'infini [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[0,+\infty[\to[0,+\infty[$ une fonction de classe $C^1$ telle que $f'/f$ tend vers $-\infty$ en $+\infty$. Montrer que la série converge et donner un équivalent, lorsque $n\to+\infty$, de $R_n=\sum_{k\geq n}f(k)$.
Indication
Corrigé
Exercice 17 - Reste de certaines séries alternées [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Le but de l'exercice est de déterminer un équivalent du reste de certaines séries alternées. On considère $(u_n)_{n\geq 0}$ une suite de réels positifs décroissant vers $0$, et on considère la série $\sum_{n\geq 0}(-1)^n u_n$ dont on rappelle qu'elle est convergente. On note $R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}(-1)^k u_k$ son reste. On suppose de plus que la suite $(u_n)$ vérifie les deux conditions suivantes : $$\forall n\geq0,\ u_{n+2}-2u_{n+1}+u_n\geq 0\qquad\textrm{et}\qquad \lim_{n\to+\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=0.$$
  1. Démontrer que pour tout $n\geq 0$, $|R_n|+|R_{n+1}|=u_{n+1}$.
  2. Démontrer que la suite $(|R_n|)$ est décroissante.
  3. En déduire que $R_n\sim_{+\infty}\frac{(-1)^{n+1} u_n}2.$
Indication
Corrigé
Exercice 18 - Série divergente divisée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(a_n)$ une suite de réels strictement positive. On suppose que la série de terme général $a_n$ est divergente, et on note $S_n=a_0+\dots+a_n$, $b_n=a_{n+1}/S_n$. Quelle est la nature de la série de terme général $b_n$?
Indication
Corrigé
Divers
Enoncé
Soit $(u_n)$ une suite de réels tous strictement supérieurs à $-1$. On dit que le produit infini $\prod_n(1+u_n)$ converge lorsque la suite de terme général $\prod_{k=0}^n (1+u_k)$ admet une limite \emph{non nulle} notée alors $\prod_{n=0}^{+\infty}(1+u_n)$.
  1. Montrer que $\prod_n(1+u_n)$ converge si et seulement si la série $\sum_n \ln(1+u_n)$ converge.
  2. On suppose que la série $\sum_n u_n^2$ converge. Montrer que $\prod_n(1+u_n)$ est convergent si et seulement si $\sum_n u_n$ converge.
  3. En déduire que si la série $\sum_n u_n$ est \emph{absolument} convergente, alors le produit infini $\prod_n (1+u_n)$ est convergent.
  4. Montrer que, si $u_n\geq 0$, alors le produit $\prod(1+u_n)$ est convergent si et seulement si la série $\sum_n u_n$ est convergente.
  5. Montrer que le produit $\prod_n \left(1+\frac{(-1)^n}{\sqrt n}\right)$ est divergent.
Indication
Corrigé
Exercice 20 - Multiplication d'une série divergente [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(a_n)$ une suite de nombres réels positifs tels que $\sum_n a_n$ diverge. Prouver qu'il existe une suite $(b_n)$ positive et qui converge vers 0 de sorte que $\sum_{n}a_nb_n$ diverge.
Indication
Corrigé
Exercice 21 - Inégalité de Carleman [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(a_n)$ une suite à termes positifs tels que $\sum_{n}a_n$ converge.
  1. Prouver que la série de terme général $\frac{a_1+2a_2+\dots+n a_n}{n(n+1)}$ converge et est de même somme que la série de terme général $a_n$.
  2. Montrer l'inégalité $\frac 1{(n!)^{1/n}}\leq \frac{e}{n+1}$.
  3. En conclure que $$\sum_{n=1}^{+\infty}(a_1\dots a_n)^{1/n}\leq e\sum_{n=1}^{+\infty}a_n.$$
Indication
Corrigé