Exercices corrigés - Séries de Fourier

Donner la décomposition en série de Fourier de la fonction $f$ définie par $f(x)=\cos(5x)$.
En utilisant le théorème de Parseval, prouver que deux fonctions continues $2\pi$-périodiques ayant les mêmes coefficients de Fourier sont égales.
Soit $f$ une fonction continue $2\pi-$périodique. Montrer que $(c_n(f))$ tend vers 0 lorsque $|n|$ tend vers $+\infty$.
On suppose de plus que $f$ est de classe $C^k$. Prouver que $c_n(f)=o(1/n^k)$.
Soit $f$ la fonction "créneau" définie par $f(x)=1$ si $x\in[0,\pi[$, $f(x)=-1$ si $x\in[-\pi,0[$, et prolongée par $2\pi$-périodicité. Quelle est la régularité de cette fonction? Que dire de la série de Fourier de $f$ en 0? Peut-on avoir convergence normale de la série de Fourier de $f$ vers $f$ sur $[-\pi,\pi]$?
Soit $f$ la fonction paire $2\pi$-périodique définie par $f(x)=\sqrt{x}$ sur $[0,\pi]$. $f$ est-elle $C^1$ par morceaux?

On peut bien sûr se lancer dans des calculs très complexes.... On peut! Mais quand même, la décomposition en série de Fourier consiste à représenter une fonction périodique comme somme des fonctions périodiques les plus élémentaires possibles (à savoir les sinus et les cosinus). Alors, bien entendu, la décomposition en série de Fourier de $\cos(5x)$ est $\dots \cos(5x)$! A vous de voir si vous jugez utile de justifier cela! Cela dit, c'est une bonne occasion de rappeler que $$\int_0^{2\pi}\cos(px)\cos(qx)dx=0\textrm{ si }p\neq q$$ et $$\int_0^{2\pi}\cos(px)\sin(qx)dx=0\textrm{ pour tous }p,q.$$
Posons $h=f-g$. Alors $c_n(h)=c_n(f)-c_n(g)=0$. De plus, $h$ est continue et vérifie donc les conclusions du théorème de Parseval, à savoir $$\int_{-\pi}^{\pi}|h(t)|^2dt=\sum_{n\in\mathbb Z}|c_n(h)|^2=0.$$ Puisque $t\mapsto |h(t)|^2$ est continue, positive, d'intégrale nulle sur $[-\pi,\pi]$, on en déduit que $h=0$ sur $[-\pi,\pi]$. Par $2\pi-$périodicité, $f=g$ sur $\mathbb R$ tout entier.
D'après le théorème de Parseval, on sait que $$\int_{-\pi}^{\pi}|f(t)|^2dt=\sum_{n\in\mathbb Z}|c_n(f)|^2.$$ La série $\sum_{n\in\mathbb Z)}|c_n(f)|^2$ est donc convergente. Son terme général tend vers 0, et on conclut que $(c_n(f))$ converge bien vers 0 lorsque $|n|$ tend vers $+\infty$.
Tout repose sur des intégrations par parties. En effet, si $f$ est $C^1$ et $2\pi-$périodique, on a \begin{eqnarray*} c_n(f')&=&\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f'(t)e^{-int}dt\\ &=&\frac{1}{2\pi}\left[f(t)e^{-int}\right]_{-\pi}^{\pi}+\frac{in}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)e^{-int}dt\\ &=&(in)c_n(f). \end{eqnarray*} Par récurrence, on obtient que $c_n(f^{(k)})=(in)^kc_n(f)$. Pour $n\neq 0$, on a donc : $$c_n(f)=\frac{1}{i^k n^k}c_n(f^{(k)}).$$ Pour conclure, il suffit de remarquer que $c_n(f^{(k)})$ tend vers 0 lorsque $|n|$ tend vers $+\infty$ d'après la question précédente. Cette idée d'intégration par parties est très utile lorsqu'on veut relier régularité d'une fonction et comportement de ses coefficients de Fourier.
La fonction $f$ est de classe $C^1$ par morceaux. En effet, sur l'intervalle $[0,\pi[$, elle est la restriction à $[0,\pi[$ d'une fonction de classe $C^1$ sur $[0,\pi]$ (la fonction identiquement égale à 1), et sur $[-\pi,0[$, elle est la restriction de d'une fonction de classe $C^1$ sur $[0,\pi]$ (la fonction identiquement égale à $-1$). Le théorème de convergence simple peut donc s'appliquer. En particulier, en 0, la série de Fourier de $f$ converge vers $$\frac{1}{2}\left(\lim_{x\to 0^-}f(x)+\lim_{x\to 0^+}f(x)\right)=0.$$ La série de Fourier de $f$ ne peut pas converger normalement vers $f$. En effet, si on avait convergence normale, chaque somme partielle étant continue, la limite serait elle aussi continue. Et $f$ n'est pas continue en 0.
$f$ n'est pas $C^1$ par morceaux : en effet, sinon, on pourrait définir sur $[0,\pi]$ une fonction de classe $C^1$ qui coïncide avec $f$ sur $]0,\pi]$. Ce n'est pas possible car $f'(x)$ tend vers $+\infty$ en 0.

Exercice 2

- Quelques décompositions en séries de Fourier [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Déterminer les séries de Fourier (termes en sinus et cosinus) des fonctions suivantes :

$f$ $2\pi-$périodique, définie par $f(x)=x$ si $-\pi\leq x<\pi$.
la fonction créneau : $f$ est $2\pi$-périodique, définie par $f(x)=1$ si $x\in[0,\pi[$, et $f(x)=-1$ si $x\in[-\pi,0[$.
la fonction $L-$périodique, où $L>0$, définie par $f(x)=|x|$ si $x\in[-L/2,L/2]$.

Exercice 3

- Application aux calculs de séries [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Déterminer la série de Fourier de la fonction périodique de période $2\pi$ définie par $f(x)=x^2$ pour $-\pi\leq x\leq \pi$. En déduire la somme des séries $\dis \sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^2}$, $\dis \sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2},\ \sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^4}$.

Exercice 4

- Application au calcul de séries [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $f$ la fonction $2\pi-$périodique, définie pour $x\in[0,2\pi[$ par $f(x)=x^2$.

Déterminer la série de Fourier de $f$.
Calculer $\dis \sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^2}$, puis $\dis \sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^4}.$

Exercice 5

- Termes impairs [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Déterminer la série de Fourier de la fonction $2\pi-$périodique définie sur $[-\pi,\pi]$ par $f(x)=|x|$. En déduire la valeur des sommes suivantes : $$\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{(2n+1)^2}\textrm{ et }\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{(2n+1)^4}.$$

Exercice 6

- Exponentielle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $f$ la fonction $2\pi$-périodique telle que $f(x)=e^x$ si $x\in[-\pi,\pi[$. Déterminer la série de Fourier de $f$. En déduire la valeur des sommes suivantes : $\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^2+1}$ et $\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^n}{n^2+1}$.

On calcule les coefficients de Fourier de $f$. On trouve $$a_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx=\frac{1}{2\pi}\left(e^{\pi}-e^{-\pi}\right)=\frac{\sinh \pi}{\pi}.$$ Pour $n\geq 1$, il vient \begin{eqnarray*} a_n&=&\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)dx\\ &=&\frac{1}\pi \int_{-\pi}^\pi e^x\cos (nx)dx\\ &=&\frac1\pi \int_{-\pi}^\pi e^x\Re e(e^{inx})dx\\ &=&\Re e\left(\frac1\pi \int_{-\pi}^\pi e^{(1+in)x}dx\right)\\ &=&\Re e\left(\frac1\pi\left[\frac{1}{1+in}e^{(1+in)\pi}-e^{(1+in)-\pi}\right]\right)\\ &=&\frac1\pi \Re e\left(\frac{(-1)^n e^{\pi}-(-1)^n e^{-\pi}}{1+in}\right)\\ &=&\frac{(-1)^n}{\pi}\Re e\left(\frac{2\sinh \pi}{1+in}\right)\\ &=&\frac{(-1)^n}{\pi}\Re e\left(\frac{2(1-in)\sinh \pi}{n^2+1}\right)\\ &=&\frac{2(-1)^n\sinh \pi}{\pi(n^2+1)}. \end{eqnarray*} Pour les coefficients en sinus, une démarche similaire donne \begin{eqnarray*} b_n&=&\frac{(-1)^n}{\pi}\Im m\left(\frac{2\sinh \pi}{1+in}\right)\\ &=&\frac{(-1)^n}{\pi}\Im m \left(\frac{2(1-in)\sinh \pi}{n^2+1}\right)\\ &=&\frac{2n(-1)^{n+1}\sinh \pi}{\pi(n^2+1)}. \end{eqnarray*} La série de Fourier de $f$ est donc $$\frac{\sinh \pi}{\pi}+\sum_{n\geq 1}\left(\frac{2(-1)^n\sinh \pi}{\pi(n^2+1)}\cos(nx)+\frac{2n(-1)^{n+1}\sinh \pi}{\pi(n^2+1)}\sin(nx)\right).$$ Remarquons aussi que la fonction $f$ est de classe $C^1$ par morceaux (mais elle n'est pas continue en les points $\pi+2k\pi$, $k\in\mathbb Z$). D'après le théorème de Dirichlet, la série de Fourier de $f$ converge en chaque réel $x$ vers $\frac12\left(f(x^+)+f(x^-)\right)$. En particulier, pour $x=0$, on trouve $$\frac{\sinh \pi}{\pi}+\sum_{n\geq 1}\left(\frac{2(-1)^n\sinh \pi}{\pi(n^2+1)}\cos(n0)+\frac{2n(-1)^{n+1}\sinh \pi}{\pi(n^2+1)}\sin(n0)\right)=f(0)$$ soit $$\frac{\sinh \pi}{\pi}+\sum_{n\geq 1}\frac{2(-1)^n\sinh\pi}{\pi(n^2+1)}=1.$$ On trouve donc \begin{eqnarray*} \sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^n}{n^2+1}&=&\frac{\pi}{2\sinh \pi}\times \left(1-\frac{\sinh \pi}{\pi}\right)=\frac{\pi-\sinh \pi}{2\sinh \pi}. \end{eqnarray*} Pour calculer la première somme, on choisit $x=\pi$, et on remarque que $$\frac{f(\pi^+)+f(\pi-)}{2}=\frac{e^\pi+e^{-\pi}}{2}=\cosh \pi.$$ On trouve donc $$\frac{\sinh \pi}{\pi}+\sum_{n\geq 1}\frac{2(-1)^n\sinh \pi}{\pi(n^2+1)}\cos(n\pi)+\frac{2n(-1)^{n+1}\sinh \pi}{\pi(n^2+1)}\sin(n\pi)=\cosh\pi$$ soit \begin{eqnarray*} \sum_{n\geq 1}\frac1{n^2+1}=\frac{\pi}{2\sinh \pi}\times\left(\cosh \pi-\frac{\sinh \pi}{\pi}\right)=\frac{\pi\cosh \pi-\sinh\pi}{2\sinh \pi}. \end{eqnarray*}

Exercice 7

- Avec une autre période [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $f$ la fonction périodique de période $2$ vérifiant $f(x)=x-x^3$ pour tout $x\in]-1,1]$.

Déterminer les coefficients de Fourier de $f$.
En déduire la somme de la série $\sum_{p=0}^{+\infty}\frac{(-1)^p}{(2p+1)^3}$.

Exercice 8

- Une égalité étonnante! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $f$ la fonction impaire et $2\pi$-périodique définie par $f(x)=\frac{\pi-x}{2}$ si $x\in]0,\pi[$, et soit $g$ définie sur $\mathbb R$ par $g(x)=f(x+1)-f(x-1)$.

Déterminer les séries de Fourier de $f$ et de $g$.
En déduire que $\sum_{n\geq 1}\frac{\sin n}{n}=\sum_{n\geq 1}\frac{\sin^2 n}{n^2}.$

On commence par remarquer que la fonction est $C^1$ par morceaux (elle n'est pas continue en les points de $\pi\mathbb Z$) et est impaire, et donc les coefficients de Fourier en cosinus sont nuls. Pour calculer ceux en sinus, il suffit d'une simple intégration par parties, et on trouve que la série de Fourier de $f$ est $$\sum_{n\geq 1}\frac{\sin nx }{n}.$$ Pour trouver la série de Fourier de $g$, on peut chercher la valeur de $g$ sur un intervalle de longueur $2\pi$ puis intégrer... On peut aussi ruser de la façon suivante : on commence par remarquer que $g$ est paire (vérification facile). De plus, on a \begin{eqnarray*} \int_0^{2\pi}g(x)\cos(nx)dx&=& \int_{0}^{2\pi}f(x+1)\cos(nx)dx-\int_0^{2\pi}f(x-1)\cos(nx)dx\\ &=&\int_{-1}^{2\pi-1}f(x+1)\cos(nx)dx-\int_1^{2\pi+1}f(x-1)\cos(nx)dx\\ &=&\int_0^{2\pi}f(u)\cos(nu-n)du-\int_0^{2\pi}f(u)\cos(nu+n)du\\ &=&\int_0^{2\pi}2f(u)\sin(n)\sin(nu)du\\ &=&2\frac{\sin n}{n}. \end{eqnarray*} La série de Fourier de $g$ est donc $$\sum_{n\geq 1}\frac{2\sin n}{n}\cos(nx).$$
Puisque $f$ est $C^1$ par morceaux et qu'elle est continue en 1, on a $$\sum_{n\geq 1}\frac{\sin n}{n}=f(1)=\frac{\pi-1}{2}.$$ D'autre part, $g$ est continue par morceaux, $2\pi$-périodique, on peut donc lui appliquer le théorème de Parseval, et on obtient $$\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\big(g(x)\big)^2dx=\frac{1}2\sum_{n\geq 1}\frac{4\sin^2 n}{n^2}.$$ Reste à calculer l'intégrale. On commence par remarquer que $g$ est paire et on se contente de calculer $g$ sur $]0,\pi[$. Remarquons aussi que si $y\in ]-\pi,0[$, alors $f(y)=\frac{-\pi-y}2$. On a donc :
- si $x\in]0,1]$, alors $x+1\in [0,\pi]$ et $f(x+1)=\frac{\pi-x-1}2$. D'autre part, $x-1\in ]-\pi,0]$ et $f(x-1)=\frac{-\pi-(x-1)}{2}=\frac{-\pi-x+1}2$. On a alors $$g(x)=f(x+1)-f(x-1)=\frac{\pi-x-1+\pi+x-1}2=\pi-1.$$
- si $x\in]1,\pi-1]$, alors $$g(x)=\frac{\pi-x-1}{2}-\frac{\pi-x+1}{2}=-1.$$
- si $x\in]\pi-1,\pi]$ alors $f(x+1)=f(x+1-2\pi)=-f(2\pi-x-1)=\frac{\pi-x-1}2$ et on obtient $$g(x)=-1.$$
On en déduit $$\int_0^{\pi}\big(g(x)\big)^2dx=(-1+\pi)^2+(\pi-1)(-1)^2=\pi(\pi-1).$$ Revenant à l'identité de Parseval, on trouve $$\sum_{n\geq 1}\frac{\sin^2 n}{n^2}=\frac{\pi-1}{2},$$ ce qui est bien l'égalité demandée.

Exercice 9

- Avec des séries entières [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Développer en série entière la fonction $f(x)=\frac{1}{x+e^a}$, $a>0$.
Démontrer que, pour tout $x\in\mathbb R$ et tout $a>0$, on a $$\frac{1}{\cos x+\cosh a}=\frac{1}{\sinh a}\left(\frac{e^a}{e^{ix}+e^a}-\frac{e^{-a}}{e^{ix}+e^{-a}}\right).$$
En déduire le développement en série de Fourier de la fonction $g$ définie par $$g(x)=\frac{1}{\cos x+\cosh a},\ a>0.$$

Exercice 10

- Décomposition de sinus en produit infini [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $\alpha\in\mathbb R\backslash\mathbb Z$.

Prouver que la série de Fourier de la fonction $f:\mathbb R\to\mathbb R$ définie par $f(t)=\cos(\alpha t)$ pour $t\in[-\pi,\pi[$, et prolongée par $2\pi$-périodicité est : $$\frac{\sin(\alpha \pi)}{\alpha \pi}\left(1+2\alpha^2\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{\alpha^2-n^2}\cos(nt)\right).$$
En déduire que $$\textrm{cotan} (\alpha\pi)=\frac{1}{\alpha \pi}+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2\alpha}{\pi(\alpha^2-n^2)}.$$
Démontrer que la série $\sum_{n\geq 1}\ln\left(1-\frac{t^2}{n^2}\right)$ converge pour tout $t\in]-1,1[$. On note, pour $t\in]-1,1[$, $g(t)$ la somme de cette série. Prouver que $g$ est une fonction de classe $C^1$, et calculer $g'$.
En déduire que, pour tout $t\in]-1,1[$, on a $$\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}=\prod_{k=1}^{+\infty}\left(1-\frac{t^2}{k^2}\right).$$

La fonction est paire, on a donc $b_n(f)=0$ pour tout $n\geq 1$. De plus, $$a_0(f)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(\alpha t)dt=\frac{2\sin(\alpha\pi)}{2\alpha \pi}.$$ De même, pour $n\geq 1$, on réalise une double intégration par parties pour calculer $a_n(f)$ : \begin{eqnarray*} a_n(f)&=&\frac{1}\pi\int_{-\pi}^\pi\cos(\alpha t)\cos(nt)dt\\ &=&\frac1{n\pi}\left[-\cos(\alpha t)\sin(nt)\right]_{-\pi}^{\pi}+\frac{\alpha}{n\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\sin(\alpha t)\sin(nt)dt\\ &=&\frac{\alpha}{\pi n}\int_{-\pi}^{\pi}\sin(\alpha t)\sin(nt)dt\\ &=&\frac{\alpha}{\pi n^2}\left[-\sin(\alpha t)\cos(nt)\right]_{-\pi}^\pi+\frac{\alpha^2}{n^2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(\alpha t)\cos(nt)dt\\ &=&\frac{2(-1)^{n+1}\alpha\sin(\alpha \pi)}{\pi n^2}+\frac{\alpha^2}{n^2}a_n(f). \end{eqnarray*} On en déduit que $$a_n(f)\left(1-\frac{\alpha^2}{n^2}\right)=\frac{2\alpha(-1)^{n+1}\sin(\alpha\pi)}{\pi n^2}$$ soit $$a_n(f)=\frac{2\alpha(-1)^{n+1}\sin(\alpha\pi)}{\pi(n^2-\alpha^2)}=\frac{\sin(\alpha \pi)}{\alpha \pi}\times\frac{(-1)^{n}2\alpha^2}{\alpha^2-n^2}.$$ Ceci démontre bien que la série de Fourier de $f$ est $$\frac{\sin(\alpha \pi)}{\alpha \pi}\left(1+2\alpha^2\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{\alpha^2-n^2}\cos(nt)\right).$$
On remarque que, par parité de $\cos$, la fonction $f$ est continue (les seuls points qui pourraient poser problème sont ceux de $\pi+2\pi\mathbb Z$, mais on a bien par construction $$\lim_{x\to \pi^-}f(x)=\cos(\alpha\pi)=\cos(-\alpha \pi)=\lim_{x\to\pi^+}f(x)$$ et donc $f$ est aussi continue en ces points). De plus, $f$ est $C^1$ par morceaux. Ainsi, $f$ est en tout point somme de sa série de Fourier. En particulier, en $\pi$, on a $$\cos(\alpha\pi)=\frac{\sin(\alpha\pi)}{\alpha\pi}\left(1+2\alpha^2\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{\alpha^2-n^2}(-1)^n\right).$$ Ceci entraine immédiatement que $$\textrm{cotan} (\alpha\pi)=\frac{1}{\alpha \pi}+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2\alpha}{\pi(\alpha^2-n^2)}.$$
On a $$\ln\left(1-\frac{t^2}{n^2}\right)\sim_{n\to+\infty}\frac{-t^2}{n^2}.$$ Puisque, à $t$ fixé, la série $\sum_{n\geq 1}\frac{-t^2}{n^2}$ est une série numérique convergente dont le terme général est toujours négatif, on en déduit par critère d'équivalence que la série $\sum_{n\geq 1}\ln\left(1-\frac{t^2}{n^2}\right)$ converge pour chaque $t\in]-1,1[$. Ainsi, la série de fonctions $\sum_{n\geq 1}\ln\left(1-\frac{t^2}{n^2}\right)$ converge simplement vers une fonction $g$ sur $]-1,1[$. Pour prouver que $g$ est $C^1$, on va utiliser un argument de convergence uniforme de la série des dérivées. Soit $a\in]0,1[$, et posons, pour $n\geq 1$ et $t\in[-a,a]$, $$u_n(t)=\ln\left(1-\frac{t^2}{n^2}\right).$$ Chaque fonction $u_n$ est dérivable sur $[-a,a]$, avec $$u_n'(t)=\frac{2t}{t^2-n^2}.$$ De plus, pour $t\in[-a,a]$, on a $$n^2-t^2\geq n^2-a^2\textrm{ et }|2t|\leq a.$$ On en déduit que $$|u_n'(t)|\leq\frac{2a}{n^2-a^2}.$$ Le membre de droite (qui ne dépend pas de $t$!) est le terme général d'une série numérique convergente. Ainsi, la série de fonctions $\sum_{n\geq 1}u_n'(t)$ converge normalement, donc uniformément, sur $[-a,a]$. On en déduit que $g$ est de classe $C^1$ sur tout segment $[-a,a]\subset]-1,1[$, donc sur $]-1,1[$, avec $$g'(t)=\sum_{n\geq 1}\frac{2t}{t^2-n^2}.$$
D'après les résultats des questions précédentes, on a, pour tout $t\in]-1,1[$, $t\neq 0$, $$g'(t)=\pi\textrm{cotan} (\pi t)-\frac{1}{t}.$$ On intègre cette relation et on obtient qu'il existe une constante $C\in\mathbb R$ tel que, pour tout $t\in]0,1[$, on a $$g(t)=\ln\left(\frac{\sin(\pi t)}{t}\right)+C.$$ On fait tendre $t$ vers 0. Le membre de gauche tend vers 0, celui de droite vers $\ln(\pi)+C$. On en déduit que $C=-\ln\pi$ et donc que, pour tout $t\in[0,1]$, on a $$g(t)=\ln\left(\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}\right).$$ Un raisonnement similaire donne le même résultat sur $[-1,0]$. Passant à l'exponentielle, on obtient \begin{eqnarray*} \frac{\sin(\pi t)}{\pi t}&=&\exp(g(t))\\ &=&\exp\left(\sum_{k=1}^{+\infty}\ln\left(\left(1-\frac{t^2}{k^2}\right)\right)\right)\\ &=&\prod_{k=1}^{+\infty}\left(1-\frac{t^2}{k^2}\right), \end{eqnarray*} le symbole $\prod_{k=1}^{+\infty}$ devant être compris comme $\lim_{n\to+\infty}\prod_{k=1}^n$.

Exercice 11

- Des sommes partielles à $f$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $f$ une fonction continue $2\pi-$périodique telle que, pour chaque $n$, on ait $\|S_n(f)\|_\infty\leq 1$. Montrer que $\|f\|_\infty\leq 1$.

Exercice 12

- Régularité et décroissance des coefficients - sans indications [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une application continue et $2\pi$-périodique. Montrer que $f$ est de classe $C^\infty$ si et seulement si, pour tout $k\in\mathbb N$, on a $c_n(f)=o(1/n^k)$ quand $|n|$ tend vers $+\infty$.

Exercice 13

- Régularité et décroissance des coefficients - avec indications [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une application continue et $2\pi$-périodique.

Démontrer que $(c_n(f))$ tend vers 0 lorsque $|n|$ tend vers $+\infty$.
On suppose que $f$ est $C^k$. Établir une relation entre les coefficients de Fourier de $f$ et ceux de $f^{(k)}$.
En déduire que si $f$ est de classe $C^\infty$, alors $c_n(f)=o(1/n^k)$ pour tout entier $k$.
Réciproquement, on suppose que $c_n(f)=o(1/n^k)$ quand $|n|\to+\infty$ pour tout entier $k$ et on pose $S(x)=\sum_{n\in\mathbb Z}c_n(f)e^{inx}$.
1. Calculer les coefficients de Fourier de $S$.
2. Démontrer que $S$ est de classe $C^\infty$.
3. En utilisant le théorème de Parseval, démontrer que deux fonctions continues qui ont les mêmes coefficients de Fourier sont égales.
4. En déduire que $f=S$ et donc que $f$ est de classe $C^\infty$.
Quel théorème a-t-on démontré dans cet exercice?

Exercice 14

- Régularité et fonctions höldériennes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $f:\mathbb R\to\mathbb C$ $2\pi$-périodique. On suppose qu'il existe $\alpha>0$ et $C>0$ tels que, pour tous $x,y\in\mathbb R$, $$|f(x)-f(y)|\leq C|x-y|^\alpha.$$

Pour $a\in\mathbb R$ et $n\in\mathbb Z$, exprimer $$\int_0^{2\pi}f(t+a)e^{-int}dt$$ en fonction de $c_n(f)$.
En déduire l'existence de $M>0$ tel que, pour tout $n\in\mathbb Z^*$, $$|c_n(f)|\leq \frac M{n^\alpha}.$$

Exercice 15

- Phénomène de Gibbs [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

On se propose dans cet exercice d'étudier la convergence de la série de Fourier de la fonction impaire, $2\pi$-périodique, définie par $$f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 1&\textrm{ si }x\in]0,\pi[\\ 0&\textrm{ si }x=k\pi,\ k\in\mathbb Z. \end{array}\right.$$

Question préliminaire :
1. Montrer que, pour tout $x\in[0,\pi/2]$, on a $\sin(x)\geq\frac{2}\pi x.$
2. Montrer que, pour tout $x\in\mathbb R$, on a $|\sin x-x|\leq \frac{|x|^3}6.$
3. Soit $h_n$ la fonction définie sur $[0,\pi]$ par $$h_n(t)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{\sin t}{(2n)\sin\left(\frac{t}{2n}\right)}&\textrm{ si }t\neq 0\\ 1&\textrm{si }t=0. \end{array}\right.$$ Déduire des questions précédentes que $(h_n)$ converge uniformément sur $[0,\pi]$ vers une fonction $h$ que l'on précisera.
Calculer la série de Fourier de $f$ et prouver qu'elle converge simplement vers $f$. Y-a-t-il convergence uniforme?
Soit $S_n$ la $(2n-1)$-ième somme partielle de la série de Fourier de $f$, $$S_n(x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^n \frac{\sin\big((2k-1)x\big)}{2k-1}.$$ Justifier que $S_n$ est dérivable sur $\mathbb R$ et que sa dérivée vérifie $$S_n'(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{2}\pi\times\frac{\sin(2nx)}{\sin x}&\textrm{ si }x\notin\pi\mathbb Z\\ \frac{(-1)^q 4n}\pi&\textrm{ si }x=q\pi,\ q\in\mathbb Z. \end{array}\right.$$ En déduire que $S_n$ présente $(2n-1)$ extrema locaux sur l'intervalle $]0,\pi[$. Montrer que le premier d'entre eux est un maximum et qu'il est atteint en $x_n=\frac{\pi}{2n}$. On posera pour la suite $a_n=S_n(x_n)$.
Montrer que, pour tout $x\in[0,\pi[$, on a $$S_n(x)=\frac2\pi\int_0^x\frac{\sin(2nt)}{\sin t}dt.$$ En déduire que $$a_n=\frac{2}\pi\int_0^{\pi}\frac{\sin t}{(2n)\sin\left(\frac{t}{2n}\right)}dt.$$
Montrer que $\lim_{n\to+\infty}a_n=\frac2\pi\int_0^{\pi}\frac{\sin t}tdt.$

On peut vérifier que $\frac2\pi\int_0^{\pi}\frac{\sin t}tdt>1.$

1. La fonction $\sin$ est concave dans $[0,\pi/2]$. Son graphe est au-dessus de ses cordes, en particulier au dessus de la corde qui relie le point $(0,0)$ au point $(\pi/2,1)$. Ceci donne exactement l'inégalité demandée.
2. Il s'agit juste de l'inégalité de Taylor-Lagrange à l'ordre 3 appliquée à la fonction $t\mapsto \sin t$, entre les points $0$ et $x$.
3. Puisque $\sin(t/2n)\sim_{+\infty}t/2n$, on en déduit que pour $t\in]0,\pi]$, $(h_n(t))$ converge vers $\frac{\sin t}{t}$. Soit $h$ défini par $h(t)=\frac{\sin t}{t}$ si $t\in]0,\pi]$ et $h(0)=1$. On va démontrer que $(h_n)$ converge uniformément vers $h$ sur $]0,\pi]$. On a, pour $t\in]0,\pi]$, \begin{eqnarray*} |h_n(t)-h(t)|&=&\frac{(2n)|\sin t|\times |\sin(t/2n)-(t/2n)|}{|(2n)t\sin(t/2n)|}. \end{eqnarray*} Mais, $|\sin t|\leq 1$ et $|\sin(t/2n)-(t/2n)|\leq\frac{t^3}{8n^3}$. De plus, puisque $t\in]0,\pi]$, $t/2n\in]0,\pi/2]$ et on a $$\sin(t/2n)\geq \frac{2}{\pi}\times\frac{t}{2n}=\frac{t}{\pi n}$$ ce qui donne finalement $$|h_n(t)-h(t)|\leq 2n\times\frac{t^3}{8n^3}\times \frac{\pi n}{t^2}=\frac{\pi t}{4 n^2}\leq\frac{\pi^2}{4n^2}.$$ Ceci prouve bien la convergence uniforme de $(h_n)$ vers $h$ sur l'intervalle $[0,\pi]$.
La fonction $f$ est impaire, donc $a_n(f)=0$ pour tout $n\in\mathbb N$. Pour $n\geq 1$, on a \begin{eqnarray*} b_n(f)&=&\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\sin(nt)dt=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^0-\sin(nt)dt+\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin(nt)dt\\ &=&+\frac1{\pi n}\big(\cos(0)-\cos(-n\pi)\big)+\frac{1}{n}\big(\cos(n\pi)-\cos(0)\big)\\ &=&-\frac{1}{\pi n}\big(2-2(-1)^n\big). \end{eqnarray*} Ainsi, si $n$ est pair, $b_n(f)=0$ et si $n$ est impair, $b_n(f)=\frac{4}{\pi n}.$ Puisque $f$ est $C^1$ par morceaux, sa série de Fourier converge en tout point $x\in\mathbb R$ vers la demi-somme des limites à gauche et à droite de $f$ en $x$. En les points où $f$ est continue, cette demi-somme est bien sûr égale à $f(x)$. En $k\pi$, cette demi-somme fait 0, et donc vaut aussi $f(k\pi)$. Bien sûr, la convergence ne saurait être uniforme, puisque $f$ n'est pas continue alors que chaque somme partielle de la série de Fourier l'est.
$S_n$ est dérivable comme somme de fonctions dérivables, et de plus, pour tout $x\in\mathbb R$, on a $$S_n'(x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^n \cos\big((2k-1)x\big).$$ Reste à calculer cette somme. Si $x=k\pi$, on trouve bien que $S_n'(x)=\frac{(-1)^q4n}\pi$. Pour $x\neq k\pi$, $k\in\mathbb Z$, on écrit que $$S_n'(x)=\frac4\pi\Re e\left(\sum_{k=1}^n e^{i(2k-1)x}\right).$$ On utilise ensuite la somme d'une série géométrique : \begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n e^{i(2k-1)x}&=&e^{-ix}\sum_{k=1}^n e^{2ikx}\\ &=&e^{-ix}\frac{e^{2ix}-e^{i(2n+2)x}}{1-e^{2ix}}\\ &=&\frac{e^{-ix}e^{i(n+2)x}}{e^{ix}}\frac{e^{-inx}-e^{inx}}{e^{-ix}-e^{ix}}\\ &=&e^{inx}\frac{\sin(nx)}{\sin(x)}. \end{eqnarray*} En prenant la partie réelle, on trouve finalement $$S_n'(x)=\frac{4}{\pi}\frac{\cos (nx)\sin(nx)}{\sin x}=\frac{2}\pi\times\frac{\sin 2nx}{\sin x}.$$ Ainsi, en chaque point de la forme $\frac{k\pi}{2n}$, $k\in\{1,\dots,2n-1\}$, la fonction $S_n'$ s'annule et change de signe. Ainsi, $S_n$ présente un extremum en ces points. De plus, $S_n'$ ne s'annule sur l'intervalle $]0,\pi[$ qu'en ces points. On a donc trouvé les $2n-1$ extrema locaux de $f$ sur $]0,\pi[$. Le premier d'entre eux est bien atteint en $x_n=\frac{\pi}{2n}$, et $S_n'\geq 0$ avant $x_n$ tandis que $S_n'\leq 0$ après $x_n$. $x_n$ est bien un maximum local de $S_n$.
Puisque $S_n'$ est continue, le théorème fondamental du calcul intégral nous dit que, pour tout $x\in\mathbb R$, on a $$S_n(x)-S_n(0)=\int_0^x S_n'(t)dt.$$ D'après les calculs effectués précédemment, on trouve $$S_n(x)=\frac2\pi\int_0^x\frac{\sin(2nt)}{\sin t}dt.$$ En particulier, $$a_n=S_n(x_n)=\frac2\pi\int_0^{\pi/2n}\frac{\sin(2nt)}{\sin t}dt.$$ Le changement de variables $u=nt$ donne le résultat souhaité.
On a $$a_n=\frac2\pi\int_0^\pi h_n(t)dt.$$ Or, la fonction $(h_n)$ converge uniformément vers $h$ sur $[0,\pi]$. On peut donc permuter la limite et l'intégrale et on a $$\lim_{n\to+\infty}a_n=\frac2\pi\int_0^{\pi}\frac{\sin t}tdt.$$

Exercice 16

- Séries trigonométriques qui convergent uniformément [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit une série de fonctions $\sum_n u_n$ uniformément convergente sur un intervalle $I$. Démontrer que les fonctions $u_n$ sont toutes bornées sur $I$ pour $n$ assez grand, et que $\|u_n\|_\infty$ tend vers 0 lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
Soit $I$ un intervalle fermé de longueur au moins égale à $\pi$, et $a,b$ deux réels quelconques. Montrer que le maximum de $|a\cos x+b\sin x|$ sur $I$ est $\sqrt{a^2+b^2}$.
Soit $I=[\alpha,\beta]$ un intervalle fermé de longueur strictement positive. On suppose que la série de fonctions $\sum_{n\geq 0}\big(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\big)$ converge uniformément sur $I$. Montrer que $\lim_{n\to+\infty}a_n=\lim_{n\to+\infty}b_n=0$.

Ceci découle directement du critère de Cauchy uniforme. On peut aussi reprouver ceci simplement (c'est le sens facile du critère de Cauchy uniforme que l'on utilise). Puisque la série converge uniformément sur $I$, pour tout $\veps>0$, il existe $N\in\mathbb N$ tel que, pour tout $x\in I$ et tout $n\geq N$, $$\left|\sum_{k=n}^{+\infty} u_k(x)\right|\leq\veps.$$ Puisque $u_n=\sum_{k=n}^{+\infty}u_k-\sum_{k=n+1}^{+\infty}u_k$, on en déduit que pour tout $n\geq N$ et tout $x\in I$, on a $$|u_n(x)|\leq2\veps.$$ Ceci prouve à la fois que $u_n$ est bornée sur $I$ pour $n$ assez grand, et aussi que $(\|u_n\|_{\infty})$ tend vers 0.
C'est classique (et semblable au passage de l'écriture d'un nombre complexe de la forme cartésienne à la forme trigonométrique). On met $\sqrt{a^2+b^2}$ en facteur, et on a $$a\cos(x)+b\sin(x)=\sqrt{a^2+b^2}\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos(x)+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin(x)\right).$$ Posons $u=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ et $v=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$. Alors $u$ et $v$ sont deux réels tels que $u^2+v^2=1$. Il existe donc $\theta\in\mathbb R$ tel que $u=\cos(\theta)$ et $v=\sin(\theta)$. On obtient donc $$|a\cos(x)+b\sin(x)|=\sqrt{a^2+b^2}\big|\cos(\theta)\cos(x)+\sin(\theta)\sin(x)\big|=\sqrt{a^2+b^2}\big|\cos(x-\theta)\big|.$$ Or, la fonction $x\mapsto|\cos(x-\theta)|$ atteint son maximum, qui vaut $1$, en tous les points de $\theta+\pi\mathbb Z$. Puisque $I$ est de longeur au moins $\pi$, un de ces points est dans $I$. Ceci prouve que le maximum de $|a\cos x+b\sin x|$ sur $I$ est $\sqrt{a^2+b^2}$.
On utilise les deux questions précédentes :
- On sait que $\sup_{x\in I}|a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)|$ tend vers 0.
- De plus, soit $I_n=nI=[n\alpha,n\beta]$. Alors $$\sup_{x\in I}|a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)|=\sup_{y\in I_n}|a_n\cos(y)+b_n\sin(y)|.$$ Or, pour $n$ assez grand, $I_n$ est de longueur au moins $\pi$ et donc $$\sup_{x\in I}|a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)|=\sqrt{a_n^2+b_n^2}.$$
Combinant les deux propriétés, on trouve que $$\lim_{n\to+\infty}\sqrt{a^2_n+b_n^2}=0\implies \lim_{n\to+\infty}a_n^2+b_n^2=0$$ Ceci implique que $\lim_{n\to+\infty}a_n^2=\lim_{n\to+\infty}b_n^2=0$ - on peut justifier cela par le théorème des gendarmes, $$0\leq a_n^2\leq a_n^2+b_n^2.$$ Prenant la racine carrée, on conclut que $\lim_{n\to+\infty}a_n=\lim_{n\to+\infty}b_n=0$.

Exercice 17

- Théorème de Féjer [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues et $2\pi$-périodiques, on définit leur produit de convolution par $$f\star g(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x-t)g(t)dt.$$ Dans toute la suite, $f$ désigne une telle fonction continue $2\pi-$périodique. Pour $k\in\mtz$, on note $e_k(x)=e^{ikx}$. On note $$S_n=e_{-n}+e_{-(n-1)}+\dots+e_0+\dots+e_{n-1}+e_n,\textrm{ }C_n=\frac{S_0+S_1+\dots+S_n}{n+1}.$$

Montrer que $f\star S_n$ est un polynôme trigonométrique. Quel nom donne-t-on usuellement à $f\star S_n$?
Montrer que si $x\in \mtr\backslash 2\pi\mtz$, on a : $$C_n(x)=\frac{1}{n+1}\left(\frac{\sin((n+1)x/2)}{\sin(x/2)}\right)^2.$$
Montrer que $C_n\geq 0$, que $\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi C_n(t)dt=1$, et que pour tout $\alpha\in]0,\pi]$, $(C_n)$ converge uniformément vers 0 sur $[-\pi,\pi]\backslash [-\alpha,\alpha]$.
Montrer que $(f\star C_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $\mtr$.

Ainsi, cet exercice prouve le théorème de Féjer : toute fonction continue $2\pi-$périodique est limite uniforme sur $\mtr$ de polynômes trigonométriques. En outre, il donne une suite qui réalise l'approximation uniforme - la suite des moyennes de Ces\`aro de la série de Fourier de $f$.

Remarquons que le changement de variables $y=x-t$ et la $2\pi-$périodicité des fonctions assure que $f\star e_k=e_k\star f$. Ainsi, on en déduit $$f\star e_k(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{ik(x-t)}f(t)dt=\left(\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{-ikt}f(t)dt\right)e_k(x).$$ Par linéarité, $f\star S_n$ est un polynôme trigonométrique, et on reconnait même que c'est la $n-$ième somme partielle de la série de Fourier de $f$.
C'est un calcul très classique! En remarquant que $S_n$ est une somme géométrique, on en déduit, pour $x\notin\mtr\backslash 2\pi\mtz$ : \begin{align*} S_n(x)&=e^{-inx}\frac{e^{(2n+1)ix}-1}{e^{ix}-1}\\ &=e^{-inx}\times \frac{e^{i(2n+1)x/2}}{e^{ix/2}}\times \frac{e^{(n+1/2)ix}-e^{-(n+1/2)ix}}{e^{ix/2}-e^{-ix/2}}\\ &=\frac{\sin( (n+\frac 12)x)}{\sin(x/2)}. \end{align*} On recommence, en utilisant l'astuce classique d'écrire $\sin( (n+\frac 12)x)=\Im(e^{i(n+\frac 12)x})$. On commence donc par calculer \begin{align*} \sum_{k=0}^{n}e^{i(k+1/2)x}&=e^{ix/2}\sum_{k=0}^n e^{ikx}\\ &=e^{ix/2}\frac{1-e^{i(n+1)x}}{1-e^{ix}}\\ &=e^{i(n+1)x/2}\frac{\sin((n+1)x/2)}{\sin(x/2)}. \end{align*} On conclut que \begin{align*} C_n&=\frac{1}{n+1}\times\frac{1}{\sin(x/2)}\Im m \left(e^{i(n+1)x/2}\frac{\sin((n+1)x/2}{\sin(x/2)}\right)\\ &=\frac{1}{n+1}\left(\frac{\sin((n+1)x/2)}{\sin(x/2)}\right)^2. \end{align*}
La positivité de $C_n$ résulte immédiatement de l'expression précédente qui fait intervenir un carré. Pour l'intégrale, il suffit d'abord de remarquer que : $$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi S_n(t)=1$$ (calcul immédiat), ce qui donne le même résultat pour $C_n$ par linéarité. Ensuite, si $x\in[-\pi,\pi]\backslash [-\alpha,\alpha]$, on a $|\sin(x/2)|\geq |\sin(\alpha/2)|$, ce qui entraîne $$|C_n(x)|\leq \frac{1}{(n+1)\sin^2(\alpha/2)},$$ quantité qui tend vers 0 indépendamment de $x$.
Remarquons d'abord que si $x\in\mtr$, on a : $$f\star C_n(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x-u)C_n(u)du.$$ Prouvons la convergence uniforme. On fixe $\veps>0$. On a : $$|f\star C_n(x)-f(x)|=\left|\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(f(x-u)-f(x))C_n(u)du\right|.$$ On fixe un $\alpha\in]0,\pi]$ (une valeur précise sera explicitée plus tard), et on découpe l'intégrale. On obtient : $$|f\star C_n(x)-f(x)|\leq\frac{1}{2\pi}\int_{\alpha\leq |u|\leq \pi}|f(x-u)-f(x)|C_n(u)du+\frac{1}{2\pi}\int_{|u|\leq\alpha}|f(x-u)-f(x)|C_n(u)du.$$ On gère les deux parties de l'intégrale très différemment. D'une part, $f$ est une fonction continue et périodique. Elle est donc bornée par une constante $M$ sur $\mtr$ (la borne $M$ étant celle qui apparait sur l'intervalle $[0,2\pi]$). On a donc : $$\frac{1}{2\pi}\int_{\alpha\leq |u|\leq \pi}|f(x-u)-f(x)|C_n(u)du\leq \frac{2M}{2\pi}\int_{\alpha\leq |u|\leq\pi}C_n(u)du.$$ Maintenant, puisque la suite de fonctions $(C_n)$ converge uniformément vers $0$ sur $[-\pi,-\alpha]\cup[\alpha,\pi]$, l'intégrale qui apparait dans cette dernière expression tend vers 0. Il existe donc $N\in\mtn$ tel que, pour $n\geq N$, on a $$\frac{1}{2\pi}\int_{|\alpha|\leq u\leq \pi}|f(x-u)-f(x)|C_n(u)du\leq\veps.$$ Pour l'autre expression, on remarque que si $\alpha$ est petit, $x-u$ et $x$ seront proches, et on peut espérer que $|f(x-u)-f(x)|$ sera petit. Il nous faut ici un argument d'uniforme continuité. C'est possible, car toute fonction continue et périodique est en fait uniformément continue (c'est un très bon exercice utilisant le théorème de Heine et des découpages avec des $\veps$). Pour $\veps>0$ fixé, il existe donc $\alpha>0$ (c'est maintenant qu'on le fixe) tel que $$|z-y|\leq\alpha\implies |f(z)-f(y)|\leq\veps.$$ On obtient $$\frac{1}{2\pi}\int_{|u|\leq \alpha}|f(x-u)-f(x)|C_n(u)du\leq \veps\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}C_n(u)du\leq\veps.$$ Finalement, pour $n\geq N$, on a bien $$|f\star C_n(x)-f(x)|\leq 2\veps,$$ ce qui prouve la convergence uniforme (sur $\mtr$).

Exercice 18

- Inégalité entre $f$ et sa dérivée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction $2\pi$-périodique de classe $C^1$ et telle que $$\int_0^{2\pi}f(t)dt=0.$$

Rappeler le lien entre les coefficients de Fourier $c_n(f)$ et $c_n(f')$.
En déduire que, pour tout $t\in\mathbb R$, on a $$|f(t)|\leq \sum_{n\in\mathbb Z^*}\frac 1{|n|}|c_n(f')|.$$
En déduire l'inégalité suivante : $$\|f\|^2_\infty\leq\frac{\pi}6\int_0^{2\pi}\big(f'(t)\big)^2dt$$ (on rappelle que $\sum_{n\geq 1}\frac 1{n^2}=\frac{\pi^2}6$).

Exercice 19

- Inégalité de Wirtinger [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $f:\mtr\to\mtc$ une application $2\pi-$périodique de classe $C^1$ telle que $\int_0^{2\pi}f(t)dt=0$. Montrer que $$\int_0^{2\pi}|f(t)|^2dt\leq \int_0^{2\pi}|f'(t)|^2dt,$$ et caractériser l'égalité.

Exercice 20

- Lien entre $f$ et sa dérivée seconde [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Trouver toutes les fonctions $f$ de classe $C^2$ sur $[0,2\pi]$ vérifiant $\int_0^{2\pi}f(t)dt=0$ et $|f''|\leq |f|$.

Exercice 21

- Fonctions $2\pi-$périodiques et croissances des dérivées [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Trouver les fonctions $f\in C^\infty(\mtr,\mtc)$ $2\pi-$périodiques pour lesquelles il existe $\lambda\in\mtr_+^*$ et $M\in\mtr_+^*$ tels que : $$\forall n\in\mtn,\ \forall x\in\mtr,\ \left|f^{(n)}(x)\right|\leq M\lambda^n.$$

Exercice 22

- Inégalité de Bernstein [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $S$ la fonction $2\pi-$périodique définie par $S(t)=t$ si $-\pi/2\leq t\leq \pi/2$, et $S(t)=\pi-t$ si $\pi/2\leq t\leq 3\pi/2$. Calculer $c_k(S)$ et en déduire que $\sum_{k\in\mtz}|c_k(S)|=\frac{\pi}{2}$.
Soient $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ des réels distincts tels que $\max_j |\lambda_j|\leq\frac{\pi}{2}$, $a_1,\dots,a_n\in\mtc$, et $h(t)=\sum_{j=1}^n a_je^{i\lambda_j t}$. Prouver que $$\|h'\|_\infty\leq \frac{\pi}{2}\|h\|_\infty.$$
En déduire le théorème de Bernstein suivant : si $P(t)=\sum_{j=1}a_j e^{i\lambda j t}$, avec $\lambda_j$ des réels distincts et $\max_j |\lambda_j|\leq \lambda$, alors $$\|P'\|_\infty\leq \lambda\|P\|_\infty.$$

Exercice 23

- Séries de Fourier et équations différentielles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Le but de l'exercice est de déterminer si l'équation différentielle $(E)$ $$y''+e^{it}y=0$$ admet des solutions $2\pi$-périodiques.

1. Montrer que la série trigonométrique $\sum_{n\geq 0}\frac{1}{(n!)^2}e^{int}$ converge uniformément sur $\mathbb R$ vers une fonction $f$ $2\pi$-périodique.
2. Montrer que la fonction $f$ est de classe $C^2$ et qu'elle est solution de $(E)$.
Soit $g:\mathbb R\to\mathbb C$ une solution $2\pi$-périodique de classe $C^2$ de $(E)$. On désigne par $\sum_{n\in\mathbb Z}c_n(g)e^{int}$ et $\sum_{n\in\mathbb Z}c_n(g'')e^{int}$ les séries de Fourier respectives de $g$ et de $g''$.
1. Exprimer $c_n(g'')$ en fonction de $c_n(g)$.
2. En utilisant que $g$ est solution de $(E)$, exprimer $c_n(g'')$ en fonction de $c_{n-1}(g)$.
3. En déduire que l'ensemble des solutions $2\pi$-périodiques de $(E)$ est l'espace vectoriel de dimension 1 engendré par la fonction $f$.
$(E)$ possède-t-elle des solutions qui ne sont pas $2\pi$-périodiques?

1. On a, pour tout $t\in\mathbb R$, $$\left|\frac{1}{(n!)^2}e^{int}\right|\leq\frac{1}{(n!)^2}$$ et le membre de droite est le terme général d'une série numérique convergente. La série trigonométrique converge normalement, donc uniformément sur $\mathbb R$.
2. Puisque, pour chaque $n\in\mathbb N$, la fonction $f_n:t\mapsto \frac{1}{(n!)^2}e^{int}$ est continue, et puisque la série trigonométrique converge uniformément, la fonction $f$ est continue. De plus, $f_n$ est de classe $C^2$ et on a, pour tout $t\in\mathbb R$, $$\left|f_n'(t)\right|\leq \frac{n}{(n!)^2}\textrm{ et }\left|f_n''(t)\right|\leq\frac{1}{\big((n-1)!\big)^2}.$$ Les membres de droite sont à chaque fois des séries numériques convergentes (par exemple, d'après la règle de d'Alembert), les séries de fonctions $\sum_{n\geq 0}f_n(t)$ et $\sum_{n\geq 0}f_n''(t)$ convergent donc normalement sur $\mathbb R$. Ceci prouve que $f$ est de classe $C^2$, et de plus que $f''(t)=\sum_{n\geq 0}\frac{(in)^2}{n!}e^{int}$. On en déduit \begin{eqnarray*} f''(t)+e^{it}f(t)&=&\sum_{n\geq 1}\frac{-1}{\big((n-1)!\big)^2}e^{int}+\sum_{n\geq 0}\frac{1}{(n!)^2}e^{i(n+1)t}\\ &=&\sum_{n\geq 0}\frac{-1}{(n!)^2}e^{i(n+1)t}+\sum_{n\geq 0}\frac{1}{(n!)^2}e^{i(n+1)t}\\ &=&0. \end{eqnarray*} La fonction $f$ est donc bien solution de l'équation différentielle $(E)$.
1. Il suffit de faire une double intégration par parties pour prouver que $$c_n(g'')=(in)^2 c_n(g)=-n^2 c_n(g).$$
2. Puisque $g$ est solution de l'équation différentielle $(E)$, on sait que $g''(t)=-g(t)e^{it}$ pour tout $t\in\mathbb R$. Ceci donne \begin{eqnarray*} c_n(g'')&=&\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}g(t)e^{it}e^{-int}dt\\ &=&-c_{n-1}(g). \end{eqnarray*}
3. Les deux résultats précédents pris ensemble prouvent que, pour chaque $n\in\mathbb Z$, on a $$c_{n-1}(g)=n^2c_n(g).$$ Par deux récurrences faciles, on prouve alors que, pour tout $n\geq 0$, $\dis c_n(g)=\frac{c_0(g)}{(n!)^2}$, et pour tout $n<0$, $c_n(g)=0$. De plus, puisque $g$ est $C^1$ et $2\pi$-périodique, elle est somme de sa série de Fourier. Autrement dit, on a $$g(t)=\sum_{n\in\mathbb Z}c_n(g)e^{int}=c_0\sum_{n\geq 0}\frac{1}{(n!)^2}e^{int}.$$ Ainsi, $g$ est proportionnelle à la fonction $f$ et l'ensemble des solutions $2\pi$-périodiques de $(E)$ est l'espace vectoriel engendré par $f$.
On rappelle que d'après le théorème de Cauchy, l'ensemble des solutions sur $\mtr$ de cette équation est un espace vectoriel de dimension 2. Il existe donc des solutions qui ne sont pas $2\pi$-périodiques.

Exercice 24

- Solutions périodiques d'une équation différentielle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $f:\mathbb R\to\mathbb C$ $2\pi$-périodique, dérivable, telle qu'il existe $\lambda\in\mathbb R$ vérifiant $$\forall t\in\mathbb R,\ f'(t)=f(t+\lambda).$$

Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb Z$, $$(in-e^{in\lambda})c_n(f)=0.$$
En déduire pour quelle(s) valeur(s) de $\lambda$ on peut effectivement trouver une telle fonction non identiquement nulle.

Exercice 25

- Equation de la chaleur [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

On considère une barre métallique de longueur $L$, qu'on représente par le segment $[0,L]$. La température à l'instant $t$ au point d'abscisse $x$ est notée $u(x,t)$. On pose $Q=]0,L[\times ]0,+\infty[$. La fonction $u$ est supposée continue sur $\overline{Q}$, et de classe $C^\infty$ sur $Q$. Elle vérifie en outre les conditions suivantes : \begin{eqnarray} \frac{\partial u}{\partial t}-\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=0,\quad \textrm{ si }(x,t)\in Q\quad\quad(1) \end{eqnarray} (équation de la chaleur) \begin{eqnarray} u(x,0)=h(x)\quad\textrm{ si }x\in[0,L]\quad\quad(2) \end{eqnarray} (condition initiale), où $h$ est une fonction de classe $C^1$ sur $[0,L]$ avec $h(0)=h(L)=0$ \begin{eqnarray} u(0,t)=u(L,t)=0\quad\textrm{ si }t\in[0,+\infty[.\quad\quad(3) \end{eqnarray} On va démontrer l'existence d'une solution à ce problème.

Montrer que si la fonction $u$ s'écrit sous la forme $u(x,t)=f(x)g(t)$ (où $f$ et $g$ ne s'annulent pas) et si $u$ est solution de $(1)$, alors les fonctions $f$ et $g$ vérifient chacune une équation différentielle simple.
Résoudre ces équations différentielles en tenant compte de $(3)$. En déduire qu'une fonction qui s'écrit $\dis u(x,t)=\sum_{n\geq 1}a_n\sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right)e^{\frac{-n^2\pi^2}{L^2}t}$ (en admettant que la série converge et qu'on peut la dériver terme à terme) est une solution de $(1)$ et de $(3)$.
Soit $\tilde{h}$ la fonction déduite de $h$ par imparité et $2L-$périodicité. Développer $\tilde{h}$ en série de Fourier. Quelle valeur donner aux $a_n$?
Justifier que la fonction ainsi exhibée est bien solution du problème.

On introduit la fonction $u$ dans l'équation aux dérivées partielles. En supposant que les fonctions $f$ et $g$ ne s'annulent pas, on obtient que : $$\forall (x,t)\in Q,\ \frac{f''(x)}{f(x)}=\frac{g'(t)}{g(t)}.$$ Comme le membre de droite ne dépend pas de $x$ et celui de gauche ne dépend pas de $x$, on en déduit l'existence d'une constante $\lambda\in\mtr$ telle que : $$f''(x)-\lambda f(x)=0\quad\quad g'(t)-\lambda g(t)=0.$$
Il y a plusieurs possibilités pour résoudre l'équation différentielle vérifiée par $f$, suivant les valeurs de $\lambda$. D'abord, si $\lambda>0$, $f$ s'écrit $f(x)=Ae^{\sqrt{\lambda}x}+Be^{-\sqrt{\lambda}x}$. Puisque $u$ vérifie la dernière condition imposée, on a forcément : $f(0)=f(L)=0$. Ceci donne le système $$\left\{ \begin{array}{rcl} A+B&=&0\\ Ae^{\sqrt{\lambda} L}+Be^{-\sqrt{\lambda} L}&=&0 \end{array}\right.$$ Ce système étant inversible, ceci donne $A=B=0$, et la fonction $u$ est identiquement nulle : ce n'est guère intéressant! Si maintenant $\lambda=0$, $f$ s'écrit $f(x)=Ax+B$. On obtient encore avec $f(0)=f(L)=0$ que $A=B=0$ : ce n'est pas plus intéressant! La dernière possibilité est donc $\lambda<0$ : en posant $\omega$ tel que $\lambda=-\omega^2$, $f$ s'écrit $A\cos(\omega x)+B\sin(\omega x)$. La valeur en $0$ donne $A=0$. Pour avoir $B\neq 0$, il faut donc que $\sin(\omega L)=0$. Donc, $\dis \omega=\frac{k\pi}{L}$, avec $k\in\mtz$. On résoud maintenant l'équation pour $g$. On trouve $\dis g(t)=Ce^{ -\frac{n^2\pi^2}{L^2}t}$. Une solution de l'équation vérifiant aussi la dernière condition s'écrit donc $$u(x,t)=C\times \sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right)e^{-\frac{n^2\pi^2}{L^2}t}.$$ La somme de deux solutions étant encore une solution (c'est le principe de superposition), une solution de la forme donnée par l'énoncé est plausible.
$\tilde{h}$ est une fonction continue, $C^1$ par morceaux, $2L-$périodique, et impaire. Elle est donc somme de sa série de Fourier (qui converge normalement) et qui ne comporte que des termes en sinus : $$\tilde{h}(x)=\sum_{n\geq 1}b_n(\tilde{h}) \sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right).$$ Si on veut faire coïncider $u(x,0)$ avec $h(x)$, on est donc conduit à poser $a_k=b_k(h)$.
Passons à l'étape de synthèse. Soit donc $u$ donné par : $$u(x,t)=\sum_{n\geq 1}b_n(\tilde{h})\sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right)e^{-\frac{n^2\pi^2}{L^2}t}.$$ Remarquons d'abord que cette série est normalement convergente sur $\overline{Q}$. On a en effet : $$\forall (x,t)\in Q,\quad \left|b_n(\tilde{h})\sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right)e^{-\frac{n^2\pi^2}{L^2}t}\right|\leq |b_n(\tilde{h})|,$$ et on sait que la série $\sum |b_n(\tilde{h})|$ est convergente. Ainsi, ceci définit bien une fonction continue sur $\overline{Q}$, et il est clair que $u$ vérifie les deux dernières conditions. Pour prouver que $u$ vérifie aussi l'équation de la chaleur, il est simplement nécessaire de prouver que l'on peut dériver terme à terme sous le signe somme. Ceci est justifié par la convergence normale de toutes les séries dérivées sur $[0,L]\times [\veps,+\infty[$, où $\veps$ est n'importe quel réel strictement positif. Posons en effet $u_n(x,t)=b_n(\tilde{h})\sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right)e^{-\frac{n^2\pi^2}{L^2}t}.$ Si $\alpha$ et $\beta$ sont des entiers, on a : $$\frac{\partial^{\alpha+\beta}u}{\partial x^\alpha \partial t^\beta}u_n(x,t)=P_{\alpha,\beta}(n)b_n(\tilde{h})\sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right)e^{-\frac{n^2\pi^2}{L^2}t},$$ où $P_{\alpha,\beta}$ est un polynôme. En particulier, puisque la suite $b_n(\tilde{h})$ est bornée par une constante $M$, on a : $$\left|\frac{\partial^{\alpha+\beta}u}{\partial x^\alpha \partial t^\beta}u_n(x,t)\right|\leq M P_{\alpha,\beta}(n)e^{-\frac{n^2\pi^2}{L^2}\veps}$$ pour tout $x\in[0,L]$ et tout $t\geq\veps$. Cette dernière série converge, ce qui prouve le résultat voulu.

Exercice 26

- Formule sommatoire de Poisson [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $F\in L^1(\mtr)\cap C^0(\mtr)$. On note $\hat{F}$ sa transformée de Fourier. On suppose que $F$ vérifie les deux conditions suivantes : $$\exists M>0, \exists \alpha>1,\ \forall x\in\mtr,\ |F(x)|\leq \frac M{(1+|x|)^\alpha},$$ $$\sum_{n\in\mtz} |\hat{F}(n)|<+\infty.$$ Le but de l'exercice est de démontrer la formule sommatoire de Poisson, à savoir l'identité $$\sum_{n\in\mtz}F(n)=\sum_{n\in\mtz}\hat{F}(n).$$

Soit $f$ la fonction définie sur $\mtr$ par $\dis f(x)=\sum_{-\infty}^{\infty}F(x+n)$. Vérifier que ceci définit une fonction continue sur $\mtr$, $1$-périodique.
Calculer les coefficients de Fourier exponentiels de $f$.
Justifier que $f$ est partout somme de sa série de Fourier.
En déduire la formule sommatoire de Poisson.

Exercice 27

- Une série trigonométrique qui n'est pas une série de Fourier... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $f$ une fonction continue $2\pi-$périodique telle que $c_n(f)\geq 0$ pour tout $n\in\mtz$. Justifier que $\sum_{n\in\mtz}c_n(f)<+\infty$ - on pourra écrire $$\sum_{n\in\mtz}c_n=\sum_{n\in\mtz}\liminf_{N\to+\infty}\left(1-\frac{|n|}{N}\right)^+c_n,$$ et utiliser le théorème de F....
Soit $\sum_{n\geq 2}\frac{1}{\ln n}\sin(nt)$. Justifier que cette série trigonométrique converge pour tout $t\in\mtr$.
Soit $\sum_{1}^{+\infty} a_n \sin(nt)$ une série trigonométrique, où $a_n\geq 0$ pour tout $n\geq 1$. On suppose que cette série est la série de Fourier de $f\in L^1(\mathbb T)$, c'est-à-dire que $c_0(f)=0$, $c_n(f)=\frac{a_n}{2i}$ si $n\geq 1$ et $c_{-n}(f)=\frac{-a_n}{2i}$ si $n\geq 1$. Soit $F=\int_0^t f(u)du$. Calculer $c_n(F)$, et en déduire que $\sum_{1}^{+\infty}\frac{a_n}{n}<+\infty.$
Montrer que la série trigonométrique (partout convergente) $\sum_{n\geq 2}\frac{1}{\ln n}\sin(nt)$ n'est pas une série de Fourier.

Exercice 28

- Divergence de la série de Fourier d'une fonction continue [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

On note $D_n$ le noyau de Dirichlet, et $T_n$ l'application linéaire qui à $f\in C(\mathbb T)$ associe $S_n(f)(0)$.

Montrer que $\|T_n\|_{\mathcal{L}(C(\mathbb T))}=\|D_n\|_1$.
Montrer que $\|D_n\|_1\to +\infty$.
En utilisant le théorème de Banach-Steinhaus, en déduire l'existence d'une fonction continue dont la série de Fourier diverge en 0.

Exercice 29

- Théorème de Wiener-Lévy [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Si $f\in L^1(\mathbb T)$, on note $(\hat{f}(n))_{n\in\mtz}$ la suite de ses coefficients de Fourier. Soit $A(\mathbb T)$ l'ensemble des éléments de $L^1(\mathbb T)$ tels que $(\hat{f}(n))$ est un élément de $\ell^1(\mtz)$, $\sum_{n\in\mtz}|\hat{f}(n)|<+\infty$. $A(\mathbb T)$ est un espace de Banach pour la norme $\|f\|=\sum_{n\in\mtz}|\hat{f}(n)|$.

Montrer que si $f\in A(\mathbb T)$, alors $$f=\sum_{n\in\mtz}\hat{f}(n)e^{int}.$$
Montrer que si $f$ et $g$ sont éléments de $A(\mathbb T)$, alors $fg$ est élément de $A(\mathbb T)$ et que $$\|fg\|\leq \|f\|\|g\|.$$
Soit $f$ une fonction continue, $2\pi-$périodique, et $C^1$ par morceaux. Montrer que $f\in A(\mathbb T)$, et que l'on a $$\|f\|\leq |\hat{f}(0)|+C\left(\int_0^{2\pi}|f'(x)|^2dx\right)^{1/2}$$ ($C$ est une constante qui ne dépend pas de $f$).
Montrer que les polynômes trigonométriques sont denses dans $A(\mathbb T)$.
Soit $f$ une fonction continue $2\pi-$périodique telle que, pour tout $x\in[0,2\pi]$, il existe un voisinage $V_x$de $x$ et une fonction $g_x\in A(\mathbb T)$ telle que $g_x(y)=f(y)$ pour tout $y\in V_x$. Montrer que $f$ appartient à $A(\mathbb T)$ (on pourra utiliser une partition de l'unité associée à un recouvrement bien choisi de $[0,2\pi]$).
Pour tout entier $k\geq 1$, on considère la fonction $2\pi-$périodique $\Delta_k$ telle que $\Delta_k(x)=\max(1-k|x|,0)$ pour $|x|\leq\pi$.
1. Calculer les coefficients de Fourier de $\Delta_k$; en déduire que $\Delta_k\in A(\mathbb T)$ et $\sup_{k\geq 1}\| \Delta_k\|<+\infty$ - on pourra établir que $$\sum_{n\in\mtz}|\hat{\Delta_k}(n)|\leq \frac{1}{2\pi}+\frac{2}{\pi}\left(k\sum_{n=1}^k \frac{1}{2k^2}+2k\sum_{n=k+1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}\right)$$
2. On pose $V_k=2\Delta_k-\Delta_{2k}$, et soit $f\in A(\mathbb T)$ telle que $f(0)=0$. Montrer que, dans $A(\mathbb T)$, la suite $(V_k(f))_{k\geq 1}$ converge vers 0. On pourra commencer par le cas où $f$ est de classe $C^\infty$ et utiliser le résultat de la question 3.
Soit $f\in A(\mathbb T)$ telle que $f(0)=0$, et soit $F$ une fonction analytique au voisinage de $0$. On pose $F(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}c_n z^n$. Montrer que, pour $k$ assez grand, la série $\sum_{n=0}^{+\infty}c_k(V_k f)^n$ converge dans $A(\mathbb T)$. En déduire que $F\circ f$ coïncide, au voisinage de 0, avec une fonction appartenant à $A(\mathbb T)$.
Déduire des résultats précédents le théorème de Wiener-Lévy (1934) : si $f$ est un élément de $A(\mathbb T)$ et si $F$ est une fonction analytique au voisinage de $f(\mathbb T)$, alors $F\circ f\in A(\mathbb T)$.