$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Séries de Fourier

Enoncé
  1. Donner la décomposition en série de Fourier de la fonction $f$ définie par $f(x)=\cos(5x)$.
  2. En utilisant le théorème de Parseval, prouver que deux fonctions continues $2\pi$-périodiques ayant les mêmes coefficients de Fourier sont égales.
  3. Soit $f$ une fonction continue $2\pi-$périodique. Montrer que $(c_n(f))$ tend vers 0 lorsque $|n|$ tend vers $+\infty$.
  4. On suppose de plus que $f$ est de classe $C^k$. Prouver que $c_n(f)=o(1/n^k)$.
  5. Soit $f$ la fonction "créneau" définie par $f(x)=1$ si $x\in[0,\pi[$, $f(x)=-1$ si $x\in[-\pi,0[$, et prolongée par $2\pi$-périodicité. Quelle est la régularité de cette fonction? Que dire de la série de Fourier de $f$ en 0? Peut-on avoir convergence normale de la série de Fourier de $f$ vers $f$ sur $[-\pi,\pi]$?
  6. Soit $f$ la fonction paire $2\pi$-périodique définie par $f(x)=\sqrt{x}$ sur $[0,\pi]$. $f$ est-elle $C^1$ par morceaux?
Indication
Corrigé
Exercices de calcul
Exercice 2 - Quelques décompositions en séries de Fourier [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer les séries de Fourier (termes en sinus et cosinus) des fonctions suivantes :
  1. $f$ $2\pi-$périodique, définie par $f(x)=x$ si $-\pi\leq x<\pi$.
  2. la fonction créneau : $f$ est $2\pi$-périodique, définie par $f(x)=1$ si $x\in[0,\pi[$, et $f(x)=-1$ si $x\in[-\pi,0]$.
  3. la fonction $L-$périodique, où $L>0$, définie par $f(x)=|x|$ si $x\in[-L/2,L/2]$.
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Application aux calculs de séries [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer la série de Fourier de la fonction périodique de période $2\pi$ définie par $f(x)=x^2$ pour $-\pi\leq x\leq \pi$. En déduire la somme des séries $\dis \sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^2}$, $\dis \sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2},\ \sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^4}$.
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Application au calcul de séries [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ la fonction $2\pi-$périodique, définie pour $x\in[0,2\pi[$ par $f(x)=x^2$.
  1. Déterminer la série de Fourier de $f$.
  2. Calculer $\dis \sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^2}$, puis $\dis \sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^4}.$
Indication
Corrigé
Enoncé
Déterminer la série de Fourier de la fonction $2\pi-$périodique définie sur $[-\pi,\pi]$ par $f(x)=|x|$. En déduire la valeur des sommes suivantes : $$\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{(2n+1)^2}\textrm{ et }\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{(2n+1)^4}.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f$ la fonction $2\pi$-périodique telle que $f(x)=e^x$ si $x\in[-\pi,\pi[$. Déterminer la série de Fourier de $f$. En déduire la valeur des sommes suivantes : $\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^2+1}$ et $\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^n}{n^2+1}$.
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Avec une autre période [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ la fonction périodique de période $2$ vérifiant $f(x)=x-x^3$ pour tout $x\in]-1,1]$.
  1. Déterminer les coefficients de Fourier de $f$.
  2. En déduire la somme de la série $\sum_{p=0}^{+\infty}\frac{(-1)^p}{(2p+1)^3}$.
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Une égalité étonnante! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ la fonction impaire et $2\pi$-périodique définie par $f(x)=\frac{\pi-x}{2}$ si $x\in]0,\pi[$, et soit $g$ définie sur $\mathbb R$ par $g(x)=f(x+1)-f(x-1)$.
  1. Déterminer les séries de Fourier de $f$ et de $g$.
  2. En déduire que $\sum_{n\geq 1}\frac{\sin n}{n}=\sum_{n\geq 1}\frac{\sin^2 n}{n^2}.$
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Avec des séries entières [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Développer en série entière la fonction $f(x)=\frac{1}{x+e^a}$, $a>0$.
  2. Démontrer que, pour tout $x\in\mathbb R$ et tout $a>0$, on a $$\frac{1}{\cos x+\cosh a}=\frac{1}{\sinh a}\left(\frac{e^a}{e^{ix}+e^a}-\frac{e^{-a}}{e^{ix}+e^{-a}}\right).$$
  3. En déduire le développement en série de Fourier de la fonction $g$ définie par $$g(x)=\frac{1}{\cos x+\cosh a},\ a>0.$$
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Décomposition de sinus en produit infini [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\alpha\in\mathbb R\backslash\mathbb Z$.
  1. Prouver que la série de Fourier de la fonction $f:\mathbb R\to\mathbb R$ définie par $f(t)=\cos(\alpha t)$ pour $t\in[-\pi,\pi[$, et prolongée par $2\pi$-périodicité est : $$\frac{\sin(\alpha \pi)}{\alpha \pi}\left(1+2\alpha^2\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{\alpha^2-n^2}\cos(nt)\right).$$
  2. En déduire que $$\textrm{cotan} (\alpha\pi)=\frac{1}{\alpha \pi}+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2\alpha}{\pi(\alpha^2-n^2)}.$$
  3. Démontrer que la série $\sum_{n\geq 1}\ln\left(1-\frac{t^2}{n^2}\right)$ converge pour tout $t\in]-1,1[$. On note, pour $t\in]-1,1[$, $g(t)$ la somme de cette série. Prouver que $g$ est une fonction de classe $C^1$, et calculer $g'$.
  4. En déduire que, pour tout $t\in]-1,1[$, on a $$\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}=\prod_{k=1}^{+\infty}\left(1-\frac{t^2}{k^2}\right).$$
Indication
Corrigé
Exercices théoriques
Exercice 11 - Des sommes partielles à $f$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ une fonction continue $2\pi-$périodique telle que, pour chaque $n$, on ait $\|S_n(f)\|_\infty\leq 1$. Montrer que $\|f\|_\infty\leq 1$.
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Régularité et décroissance des coefficients - sans indications [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une application continue et $2\pi$-périodique. Montrer que $f$ est de classe $C^\infty$ si et seulement si, pour tout $k\in\mathbb N$, on a $c_n(f)=o(1/n^k)$ quand $|n|$ tend vers $+\infty$.
Indication
Corrigé
Exercice 13 - Régularité et décroissance des coefficients - avec indications [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une application continue et $2\pi$-périodique.
  1. Démontrer que $(c_n(f))$ tend vers 0 lorsque $|n|$ tend vers $+\infty$.
  2. On suppose que $f$ est $C^k$. Établir une relation entre les coefficients de Fourier de $f$ et ceux de $f^{(k)}$.
  3. En déduire que si $f$ est de classe $C^\infty$, alors $c_n(f)=o(1/n^k)$ pour tout entier $k$.
  4. Réciproquement, on suppose que $c_n(f)=o(1/n^k)$ quand $|n|\to+\infty$ pour tout entier $k$ et on pose $S(x)=\sum_{n\in\mathbb Z}c_n(f)e^{inx}$.
    1. Calculer les coefficients de Fourier de $S$.
    2. Démontrer que $S$ est de classe $C^\infty$.
    3. En utilisant le théorème de Parseval, démontrer que deux fonctions continues qui ont les mêmes coefficients de Fourier sont égales.
    4. En déduire que $f=S$ et donc que $f$ est de classe $C^\infty$.
  5. Quel théorème a-t-on démontré dans cet exercice?
Corrigé
Exercice 14 - Régularité et fonctions höldériennes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb C$ $2\pi$-périodique. On suppose qu'il existe $\alpha>0$ et $C>0$ tels que, pour tous $x,y\in\mathbb R$, $$|f(x)-f(y)|\leq C|x-y|^\alpha.$$
  1. Pour $a\in\mathbb R$ et $n\in\mathbb Z$, exprimer $$\int_0^{2\pi}f(t+a)e^{-int}dt$$ en fonction de $c_n(f)$.
  2. En déduire l'existence de $M>0$ tel que, pour tout $n\in\mathbb Z^*$, $$|c_n(f)|\leq \frac M{n^\alpha}.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
On se propose dans cet exercice d'étudier la convergence de la série de Fourier de la fonction impaire, $2\pi$-périodique, définie par $$f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 1&\textrm{ si }x\in]0,\pi[\\ 0&\textrm{ si }x=k\pi,\ k\in\mathbb Z. \end{array}\right.$$
  1. Question préliminaire :
    1. Montrer que, pour tout $x\in[0,\pi/2]$, on a $\sin(x)\geq\frac{2}\pi x.$
    2. Montrer que, pour tout $x\in\mathbb R$, on a $|\sin x-x|\leq \frac{|x|^3}6.$
    3. Soit $h_n$ la fonction définie sur $[0,\pi]$ par $$h_n(t)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{\sin t}{(2n)\sin\left(\frac{t}{2n}\right)}&\textrm{ si }t\neq 0\\ 1&\textrm{si }t=0. \end{array}\right.$$ Déduire des questions précédentes que $(h_n)$ converge uniformément sur $[0,\pi]$ vers une fonction $h$ que l'on précisera.
  2. Calculer la série de Fourier de $f$ et prouver qu'elle converge simplement vers $f$. Y-a-t-il convergence uniforme?
  3. Soit $S_n$ la $(2n-1)$-ième somme partielle de la série de Fourier de $f$, $$S_n(x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^n \frac{\sin\big((2k-1)x\big)}{2k-1}.$$ Justifier que $S_n$ est dérivable sur $\mathbb R$ et que sa dérivée vérifie $$S_n'(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{2}\pi\times\frac{\sin(2nx)}{\sin x}&\textrm{ si }x\notin\pi\mathbb Z\\ \frac{(-1)^q 4n}\pi&\textrm{ si }x=q\pi,\ q\in\mathbb Z. \end{array}\right.$$ En déduire que $S_n$ présente $(2n-1)$ extrema locaux sur l'intervalle $]0,\pi[$. Montrer que le premier d'entre eux est un maximum et qu'il est atteint en $x_n=\frac{\pi}{2n}$. On posera pour la suite $a_n=S_n(x_n)$.
  4. Montrer que, pour tout $x\in[0,\pi[$, on a $$S_n(x)=\frac2\pi\int_0^x\frac{\sin(2nt)}{\sin t}dt.$$ En déduire que $$a_n=\frac{2}\pi\int_0^{\pi}\frac{\sin t}{(2n)\sin\left(\frac{t}{2n}\right)}dt.$$
  5. Montrer que $\lim_{n\to+\infty}a_n=\frac2\pi\int_0^{\pi}\frac{\sin t}tdt.$
On peut vérifier que $\frac2\pi\int_0^{\pi}\frac{\sin t}tdt>1.$
Indication
Corrigé
Exercice 16 - Séries trigonométriques qui convergent uniformément [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Soit une série de fonctions $\sum_n u_n$ uniformément convergente sur un intervalle $I$. Démontrer que les fonctions $u_n$ sont toutes bornées sur $I$ pour $n$ assez grand, et que $\|u_n\|_\infty$ tend vers 0 lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
  2. Soit $I$ un intervalle fermé de longueur au moins égale à $\pi$, et $a,b$ deux réels quelconques. Montrer que le maximum de $|a\cos x+b\sin x|$ sur $I$ est $\sqrt{a^2+b^2}$.
  3. Soit $I=[\alpha,\beta]$ un intervalle fermé de longueur strictement positive. On suppose que la série de fonctions $\sum_{n\geq 0}\big(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\big)$ converge uniformément sur $I$. Montrer que $\lim_{n\to+\infty}a_n=\lim_{n\to+\infty}b_n=0$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues et $2\pi$-périodiques, on définit leur produit de convolution par $$f\star g(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x-t)g(t)dt.$$ Dans toute la suite, $f$ désigne une telle fonction continue $2\pi-$périodique. Pour $k\in\mtz$, on note $e_k(x)=e^{ikx}$. On note $$S_n=e_{-n}+e_{-(n-1)}+\dots+e_0+\dots+e_{n-1}+e_n,\textrm{ }C_n=\frac{S_0+S_1+\dots+S_n}{n+1}.$$
  1. Montrer que $f\star S_n$ est un polynôme trigonométrique. Quel nom donne-t-on usuellement à $f\star S_n$?
  2. Montrer que si $x\notin \mtr\backslash 2\pi\mtz$, on a : $$C_n(x)=\frac{1}{n+1}\left(\frac{\sin((n+1)x/2)}{\sin(x/2)}\right)^2.$$
  3. Montrer que $C_n\geq 0$, que $\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi C_n(t)dt=1$, et que pour tout $\alpha\in]0,\pi]$, $C_n$ converge uniformément vers 0 sur $[-\pi,\pi]\backslash [-\alpha,\alpha]$.
  4. Montrer que $f\star C_n$ converge uniformément vers $f$ sur $\mtr$.
Ainsi, cet exercice prouve le théorème de Féjer : toute fonction continue $2\pi-$périodique est limite uniforme sur $\mtr$ de polynômes trigonométriques. En outre, il donne une suite qui réalise l'approximation uniforme - la suite des moyennes de Ces\`aro de la série de Fourier de $f$.
Indication
Corrigé
Applications des séries de Fourier
Exercice 18 - Inégalité entre $f$ et sa dérivée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction $2\pi$-périodique de classe $C^1$ et telle que $$\int_0^{2\pi}f(t)dt=0.$$
  1. Rappeler le lien entre les coefficients de Fourier $c_n(f)$ et $c_n(f')$.
  2. En déduire que, pour tout $t\in\mathbb R$, on a $$|f(t)|\leq \sum_{n\in\mathbb Z^*}\frac 1{|n|}|c_n(f')|.$$
  3. En déduire l'inégalité suivante : $$\|f\|^2_\infty\leq\frac{\pi}6\int_0^{2\pi}\big(f'(t)\big)^2dt$$ (on rappelle que $\sum_{n\geq 1}\frac 1{n^2}=\frac{\pi^2}6$).
Indication
Corrigé
Exercice 19 - Inégalité de Wirtinger [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mtr\to\mtc$ une application $2\pi-$périodique de classe $C^1$ telle que $\int_0^{2\pi}f(t)dt=0$. Montrer que $$\int_0^{2\pi}|f(t)|^2dt\leq \int_0^{2\pi}|f'(t)|^2dt,$$ et caractériser l'égalité.
Indication
Corrigé
Exercice 20 - Lien entre $f$ et sa dérivée seconde [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Trouver toutes les fonctions $f$ de classe $C^2$ sur $[0,2\pi]$ vérifiant $\int_0^{2\pi}f(t)dt=0$ et $|f''|\leq |f|$.
Indication
Corrigé
Exercice 21 - Fonctions $2\pi-$périodiques et croissances des dérivées [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Trouver les fonctions $f\in C^\infty(\mtr,\mtc)$ $2\pi-$périodiques pour lesquelles il existe $\lambda\in\mtr_+^*$ et $M\in\mtr_+^*$ tels que : $$\forall n\in\mtn,\ \forall x\in\mtr,\ \left|f^{(n)}(x)\right|\leq M\lambda^n.$$
Corrigé
Exercice 22 - Inégalité de Bernstein [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Soit $S$ la fonction $2\pi-$périodique définie par $S(t)=t$ si $-\pi/2\leq t\leq \pi/2$, et $S(t)=\pi-t$ si $\pi/2\leq t\leq 3\pi/2$. Calculer $c_k(S)$ et en déduire que $\sum_{k\in\mtz}|c_k(S)|=\frac{\pi}{2}$.
  2. Soient $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ des réels distincts tels que $\max_j |\lambda_j|\leq\frac{\pi}{2}$, $a_1,\dots,a_n\in\mtc$, et $h(t)=\sum_{j=1}^n a_je^{i\lambda_j t}$. Prouver que $$\|h'\|_\infty\leq \frac{\pi}{2}\|h\|_\infty.$$
  3. En déduire le théorème de Bernstein suivant : si $P(t)=\sum_{j=1}a_j e^{i\lambda j t}$, avec $\lambda_j$ des réels distincts et $\max_j |\lambda_j|\leq \lambda$, alors $$\|P'\|_\infty\leq \lambda\|P\|_\infty.$$
Indication
Corrigé
Exercice 23 - Séries de Fourier et équations différentielles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Le but de l'exercice est de déterminer si l'équation différentielle $(E)$ $$y''+e^{it}y=0$$ admet des solutions $2\pi$-périodiques.
    1. Montrer que la série trigonométrique $\sum_{n\geq 0}\frac{1}{(n!)^2}e^{int}$ converge uniformément sur $\mathbb R$ vers une fonction $f$ $2\pi$-périodique.
    2. Montrer que la fonction $f$ est de classe $C^2$ et qu'elle est solution de $(E)$.
  1. Soit $g:\mathbb R\to\mathbb C$ une solution $2\pi$-périodique de classe $C^2$ de $(E)$. On désigne par $\sum_{n\in\mathbb Z}c_n(g)e^{int}$ et $\sum_{n\in\mathbb Z}c_n(g'')e^{int}$ les séries de Fourier respectives de $g$ et de $g''$.
    1. Exprimer $c_n(g'')$ en fonction de $c_n(g)$.
    2. En utilisant que $g$ est solution de $(E)$, exprimer $c_n(g'')$ en fonction de $c_{n-1}(g)$.
    3. En déduire que l'ensemble des solutions $2\pi$-périodiques de $(E)$ est l'espace vectoriel de dimension 1 engendré par la fonction $f$.
  2. $(E)$ possède-t-elle des solutions qui ne sont pas $2\pi$-périodiques?
Indication
Corrigé
Exercice 24 - Solutions périodiques d'une équation différentielle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb C$ $2\pi$-périodique, dérivable, telle qu'il existe $\lambda\in\mathbb R$ vérifiant $$\forall t\in\mathbb R,\ f'(t)=f(t+\lambda).$$
  1. Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb Z$, $$(in-e^{in\lambda})c_n(f)=0.$$
  2. En déduire pour quelle(s) valeur(s) de $\lambda$ on peut effectivement trouver une telle fonction non identiquement nulle.
Indication
Corrigé
Exercice 25 - Equation de la chaleur [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère une barre métallique de longueur $L$, qu'on représente par le segment $[0,L]$. La température à l'instant $t$ au point d'abscisse $x$ est notée $u(x,t)$. On pose $Q=]0,L[\times ]0,+\infty[$. La fonction $u$ est supposée continue sur $\overline{Q}$, et de classe $C^\infty$ sur $Q$. Elle vérifie en outre les conditions suivantes : \begin{eqnarray} \frac{\partial u}{\partial t}-\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=0,\quad \textrm{ si }(x,t)\in Q\quad\quad(1) \end{eqnarray} (équation de la chaleur) \begin{eqnarray} u(x,0)=h(x)\quad\textrm{ si }x\in[0,L]\quad\quad(2) \end{eqnarray} (condition initiale), où $h$ est une fonction de classe $C^1$ sur $[0,L]$ avec $h(0)=h(L)=0$ \begin{eqnarray} u(0,t)=u(L,t)=0\quad\textrm{ si }t\in[0,+\infty[.\quad\quad(3) \end{eqnarray} On va démontrer l'existence d'une solution à ce problème.
  1. Montrer que si la fonction $u$ s'écrit sous la forme $u(x,t)=f(x)g(t)$ (où $f$ et $g$ ne s'annulent pas sur $Q$) et si $u$ est solution de $(1)$, alors les fonctions $f$ et $g$ vérifient chacune une équation différentielle simple.
  2. Résoudre ces équations différentielles en tenant compte de $(3)$. En déduire qu'une fonction qui s'écrit $\dis u(x,t)=\sum_{n\geq 1}a_n\sin\left(\frac{n\pi}{L}\right)e^{\frac{-n^2\pi^2}{L^2}t}$ (en admettant que la série converge et qu'on peut la dériver terme à terme) est une solution de $(1)$ et de $(3)$.
  3. Soit $\tilde{h}$ la fonction déduite de $h$ par imparité et $2L-$périodicité. Développer $\tilde{h}$ en série de Fourier. Quelle valeur donner aux $a_n$?
  4. Justifier que la fonction ainsi exhibée est bien solution du problème.
Indication
Corrigé
Exercices typés master/agrégation
Exercice 26 - Formule sommatoire de Poisson [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $F\in L^1(\mtr)\cap C^0(\mtr)$. On note $\hat{F}$ sa transformée de Fourier. On suppose que $F$ vérifie les deux conditions suivantes : $$\exists M>0, \exists \alpha>1,\ \forall x\in\mtr,\ |F(x)|\leq M(1+|x|)^\alpha,$$ $$\sum_{n\in\mtz} |\hat{F}(n)|<+\infty.$$ Le but de l'exercice est de démontrer la formule sommatoire de Poisson, à savoir l'identité $$\sum_{n\in\mtz}F(n)=\sum_{n\in\mtz}\hat{F}(n).$$
  1. Soit $f$ la fonction définie sur $\mtr$ par $\dis f(x)=\sum_{-\infty}^{\infty}F(x+n)$. Vérifier que ceci définit une fonction continue sur $\mtr$, $1$-périodique.
  2. Calculer les coefficients de Fourier exponentiels de $f$.
  3. Justifier que $f$ est partout somme de sa série de Fourier.
  4. En déduire la formule sommatoire de Poisson.
Indication
Corrigé
Exercice 27 - Une série trigonométrique qui n'est pas une série de Fourier... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Soit $f$ une fonction continue $2\pi-$périodique telle que $c_n(f)\geq 0$ pour tout $n\in\mtz$. Justifier que $\sum_{n\in\mtz}c_n(f)<+\infty$ - on pourra écrire $$\sum_{n\in\mtz}c_n=\sum_{n\in\mtz}\liminf_{N\to+\infty}\left(1-\frac{|n|}{N}\right)^+c_n,$$ et utiliser le théorème de F....
  2. Soit $\sum_{n\geq 2}\frac{1}{\ln n}\sin(nt)$. Justifier que cette série trigonométrique converge pour tout $t\in\mtr$.
  3. Soit $\sum_{1}^{+\infty} a_n \sin(nt)$ une série trigonométrique, où $a_n\geq 0$ pour tout $n\geq 1$. On suppose que cette série est la série de Fourier de $f\in L^1(\mathbb T)$, c'est-à-dire que $c_0(f)=0$, $c_n(f)=\frac{a_n}{2i}$ si $n\geq 1$ et $c_{-n}(f)=\frac{-a_n}{2i}$ si $n\geq 1$. Soit $F=\int_0^t f(u)du$. Calculer $c_n(F)$, et en déduire que $\sum_{1}^{+\infty}\frac{a_n}{n}<+\infty.$
  4. Montrer que la série trigonométrique (partout convergente) $\sum_{n\geq 2}\frac{1}{\ln n}\sin(nt)$ n'est pas une série de Fourier.
Corrigé
Exercice 28 - Divergence de la série de Fourier d'une fonction continue [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On note $D_n$ le noyau de Dirichlet, et $T_n$ l'application linéaire qui à $f\in C(\mathbb T)$ associe $S_n(f)(0)$.
  1. Montrer que $\|T_n\|_{\mathcal{L}(C(\mathbb T))}=\|D_n\|_1$.
  2. Montrer que $\|D_n\|_1\to +\infty$.
  3. En utilisant le théorème de Banach-Steinhaus, en déduire l'existence d'une fonction continue dont la série de Fourier diverge en 0.
Corrigé
Exercice 29 - Théorème de Wiener-Lévy [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Si $f\in L^1(\mathbb T)$, on note $(\hat{f}(n))_{n\in\mtz}$ la suite de ses coefficients de Fourier. Soit $A(\mathbb T)$ l'ensemble des éléments de $L^1(\mathbb T)$ tels que $(\hat{f}(n))$ est un élément de $\ell^1(\mtz)$, $\sum_{n\in\mtz}|\hat{f}(n)|<+\infty$. $A(\mathbb T)$ est un espace de Banach pour la norme $\|f\|=\sum_{n\in\mtz}|\hat{f}(n)|$.
  1. Montrer que si $f\in A(\mathbb T)$, alors $$f=\sum_{n\in\mtz}\hat{f}(n)e^{int}.$$
  2. Montrer que si $f$ et $g$ sont éléments de $A(\mathbb T)$, alors $fg$ est élément de $A(\mathbb T)$ et que $$\|fg\|\leq \|f\|\|g\|.$$
  3. Soit $f$ une fonction continue, $2\pi-$périodique, et $C^1$ par morceaux. Montrer que $f\in A(\mathbb T)$, et que l'on a $$\|f\|\leq |\hat{f}(0)|+C\left(\int_0^{2\pi}|f'(x)|^2dx\right)^{1/2}$$ ($C$ est une constante qui ne dépend pas de $f$).
  4. Montrer que les polynômes trigonométriques sont denses dans $A(\mathbb T)$.
  5. Soit $f$ une fonction continue $2\pi-$périodique telle que, pour tout $x\in[0,2\pi]$, il existe un voisinage $V_x$de $x$ et une fonction $g_x\in A(\mathbb T)$ telle que $g_x(y)=f(y)$ pour tout $y\in V_x$. Montrer que $f$ appartient à $A(\mathbb T)$ (on pourra utiliser une partition de l'unité associée à un recouvrement bien choisi de $[0,2\pi]$).
  6. Pour tout entier $k\geq 1$, on considère la fonction $2\pi-$périodique $\Delta_k$ telle que $\Delta_k(x)=\max(1-k|x|,0)$ pour $|x|\leq\pi$.
    1. Calculer les coefficients de Fourier de $\Delta_k$; en déduire que $\Delta_k\in A(\mathbb T)$ et $\sup_{k\geq 1}\| \Delta_k\|<+\infty$ - on pourra établir que $$\sum_{n\in\mtz}|\hat{\Delta_k}(n)|\leq \frac{1}{2\pi}+\frac{2}{\pi}\left(k\sum_{n=1}^k \frac{1}{2k^2}+2k\sum_{n=k+1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}\right)$$
    2. On pose $V_k=2\Delta_k-\Delta_{2k}$, et soit $f\in A(\mathbb T)$ telle que $f(0)=0$. Montrer que, dans $A(\mathbb T)$, la suite $(V_k(f))_{k\geq 1}$ converge vers 0. On pourra commencer par le cas où $f$ est de classe $C^\infty$ et utiliser le résultat de la question 3.
  7. Soit $f\in A(\mathbb T)$ telle que $f(0)=0$, et soit $F$ une fonction analytique au voisinage de $0$. On pose $F(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}c_n z^n$. Montrer que, pour $k$ assez grand, la série $\sum_{n=0}^{+\infty}c_k(V_k f)^n$ converge dans $A(\mathbb T)$. En déduire que $F\circ f$ coïncide, au voisinage de 0, avec une fonction appartenant à $A(\mathbb T)$.
  8. Déduire des résultats précédents le théorème de Wiener-Lévy (1934) : si $f$ est un élément de $A(\mathbb T)$ et si $F$ est une fonction analytique au voisinage de $f(\mathbb T)$, alors $F\circ f\in A(\mathbb T)$.
Corrigé