$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Séries de fonctions - convergence normale, uniforme

Divers modes de convergence des séries de fonctions
Exercice 1 - Exemples et contre-exemples [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $x\geq 0$, on pose $u_n(x)=\frac{x}{n^2+x^2}.$
  1. Montrer que la série $\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ converge simplement sur $\mathbb R_+$.
  2. Montrer que la série $\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ converge uniformémement sur tout intervalle $[0,A]$, avec $A>0$.
  3. Vérifier que, pour tout $n\in\mathbb N$, $\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{n}{n^2+k^2}\geq\frac 15$.
  4. En déduire que la série $\sum_{n\geq 1}u_n$ ne converge pas uniformément sur $\mathbb R_+$.
  5. Montrer que la série $\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n u_n$ converge uniformément sur $\mathbb R_+$.
  6. Montrer que la série $\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n u_n$ converge normalement sur tout intervalle $[0,A]$, avec $A>0$.
  7. Montrer que la série $\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n u_n$ ne converge pas normalement sur $\mathbb R_+$.
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Exemples et contre-exemples [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $x\in I=[0,1]$, $a\in\mathbb R$ et $n\geq 1$, on pose $u_n(x)=n^a x^n(1-x)$.
  1. Étudier la convergence simple sur $I$ de la série de terme général $u_n$. On notera dans la suite $S$ la somme de la série.
  2. Étudier la convergence normale sur $I$ de la série de terme général $u_n$.
  3. On suppose dans cette question que $a=0$. Calculer $S$ sur $[0,1[$. En déduire que la convergence n'est pas uniforme sur $[0,1]$.
  4. On suppose $a>0$. Démontrer que la convergence n'est pas uniforme sur $I$.
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Convergence uniforme, convergence normale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $n\geq 1$ et $x\in\mathbb R$, on pose $u_n(x)=nx^2e^{-x\sqrt n}$.
  1. Démontrer que la série $\sum_n u_n$ converge simplement sur $\mathbb R_+$.
  2. Démontrer que la convergence n'est pas normale sur $\mathbb R_+$.
  3. Démontrer que la convergence est normale sur tout intervalle $[a,+\infty[$ avec $a>0$.
  4. La convergence est-elle uniforme sur $\mathbb R_+$?
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Critère des séries alternées [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $u_n(x)=(-1)^n\ln\left(1+\frac{x}{n(1+x)}\right)$ défini pour $x\geq 0$ et $n\geq 1$.
  1. Montrer que la série $\sum_{n\geq 1} u_n$ converge simplement sur $\mathbb R_+$.
  2. Montrer que la série $\sum_{n\geq 1}u_n$ converge uniformément sur $\mathbb R_+$.
  3. La convergence est-elle normale sur $\mathbb R_+$?
Indication
Corrigé
Enoncé
On considère la série de fonctions $\sum_{n\geq 2} u_n$, avec $u_n(x)=\frac{xe^{-nx}}{\ln n}$.
  1. Démontrer que $\sum_{n\geq 2}u_n$ converge simplement sur $\mathbb R_+$.
  2. Démontrer que la convergence n'est pas normale sur $\mathbb R_+$.
  3. Pour $x\in\mathbb R_+$, on pose $R_n(x)=\sum_{k\geq n+1}u_k(x)$. Démontrer que, pour tout $x>0$, $$0\leq R_n(x)\leq \frac{xe^{-x}}{\ln (n+1) (1-e^{-x})},$$ et en déduire que la série converge uniformément sur $\mathbb R_+$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $g:[0,+\infty[\to\mathbb R$ une fonction continue et bornée telle que $g(0)=0$. On considère la suite de fonctions définie sur $[0,+\infty[$ par $f_n(x)=g(x)e^{-nx}$.
    1. Étudier la convergence simple de la suite.
    2. Montrer que la suite converge uniformément sur tout intervalle $[a,+\infty[$, avec $a>0$.
    3. On fixe $\veps>0$. Montrer que l'on peut choisir $a>0$ tel que $|f_n(x)|\leq \veps$ pour tout $x\in[0,a]$ et pour tout $n\geq 1$. En déduire que la suite converge uniformément sur $[0,+\infty[$.
  1. On considère la série de fonctions $\sum_{n\geq 0}g(x)e^{-nx}$.
    1. Démontrer qu'elle converge simplement sur $[0,+\infty[$ et normalement sur tout intervalle $[a,+\infty[$ avec $a>0$.
    2. Démontrer l'équivalence entre les deux propositions suivantes :
      1. la courbe représentative de $g$ est tangente à l'axe des abscisses à l'origine;
      2. la série de fonctions $\sum_{n\geq 0}g(x)e^{-nx}$ converge uniformément sur $[0,+\infty[$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $u_n(\theta)=\frac{e^{in\theta}}{\sqrt{n}}$.
  1. Montrer que $\sum_{n\geq 1} u_n(\theta)$ converge uniformément sur tout intervalle $[a,2\pi-a]$, avec $a\in]0,\pi[$.
  2. Montrer que la convergence n'est pas uniforme sur $[0,2\pi]$ (on pourra utiliser la théorie des séries de Fourier et notamment le théorème de Parseval).
Indication
Corrigé
Etude de fonctions définies comme la somme d'une série
Enoncé
On considère la série de fonctions $S(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{x+n}$.
  1. Prouver que $S$ est définie sur $I=]-1,+\infty[$.
  2. Prouver que $S$ est continue sur $I$.
  3. Prouver que $S$ est dérivable sur $I$, calculer sa dérivée et en déduire que $S$ est croissante sur $I$.
  4. Quelle est la limite de $S$ en $-1$? en $+\infty$?
Indication
Corrigé
Enoncé
Pour $x>0$, on pose $\dis S(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{1+nx}.$
  1. Justifier que $S$ est définie et continue sur $]0,+\infty[$.
  2. Déterminer la limite de $S$ en $+\infty$.
  3. Établir que $S$ est de classe $C^1$ sur $]0,+\infty[$ et déterminer $S'$.
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Tangente verticale à l'origine [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour tout $t\in\mathbb R$, on pose $u_n(t)=\frac{\arctan(nt)}{n^2}$.
  1. Justifier que pour tout $t\in\mathbb R$, la série $\sum_{n\geq 1}u_n(t)$ est convergente. On note $S(t)$ sa somme.
  2. Démontrer que $S$ est une fonction continue sur $\mathbb R$ et impaire.
  3. Déterminer la limite de $S$ en $+\infty$ (on rappelle que $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac 1{n^2}=\frac{\pi^2}6$).
  4. Quel est le sens de variation de $S$?
  5. Soit $N\in\mathbb N$. Démontrer qu'il existe un réel $t_0>0$ tel que, pour tout $t\in –]t_0,t_0[\backslash\{0\}$, on a $$\sum_{n=1}^N \frac{u_n(t)}t\geq \frac 12\sum_{n=1}^N\frac 1n.$$
  6. En déduire que la courbe représentative de $S$ admet une tangente verticale au point d'abscisse $0$.
  7. Tracer la courbe représentative de $S$.
Indication
Corrigé
Enoncé
On appelle fonction $\zeta$ de Riemann la fonction de la variable $s\in\mathbb R$ définie par la formule $$\zeta(s)=\sum_{n\geq 1}\frac1{n^s}.$$
  1. Donner le domaine de définition de $\zeta$ et démontrer qu'elle est strictement décroissante sur celui-ci.
  2. Prouver que $\zeta$ est continue sur son domaine de définition.
  3. Déterminer $\lim_{s\to+\infty}\zeta(s)$.
  4. Montrer que pour tout entier $k\geq 1$ et tout $s>0$, on a $$\frac{1}{(k+1)^s}\leq\int_{k}^{k+1}\frac{dx}{x^s}\leq\frac1{k^s}.$$ En déduire que $\zeta(s)\sim_{1^+}\frac{1}{s-1}$.
  5. Démontrer que $\zeta$ est convexe.
  6. Tracer la courbe réprésentative de $\zeta$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Pour $x \geq 0$ et $n \geq 1$, on pose $f_n(x) = \dfrac x{\sqrt{n}(x+n)}$.
  1. Montrer que la série de fonctions de terme général $f_n$ est simplement convergente sur $\mathbb R_+$. On note $f$ sa somme.
  2. Montrer que la série de fonctions de terme général $f_n$ est normalement convergente sur $[0, M]$ pour tout $M>0$. Est-elle normalement convergente sur $\mathbb R_+$ ?
  3. Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb R_+$ puis qu'elle est dérivable et croissante sur $\mathbb R_+$.
  4. Soit $n \geq 1$ et $x_0 \geq n \geq 1$. Montrer que $f(x_0) \geq \displaystyle{\sum_{k=1}^n \dfrac 1{2\sqrt{k}}}$. En déduire que $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x) = +\infty}$.
  5. Montrer que $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{f(x)}x =0}$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Pour $x\in \mathbb R$, on pose $u_n(x)=\frac{1}{n+n^2x}$.
  1. Étudier la convergence simple de la série $\sum_{n\geq 1} u_n(x)$. On note $S(x)$ sa somme.
  2. Démontrer que $S$ est définie et continue sur $\mathbb R_+^*$.
  3. Étudier la monotonie de $S$ sur $\mathbb R_+^*$.
  4. Déterminer la limite de $S$ en $+\infty$.
  5. Justifier que $S$ admet une limite en $0$. Démontrer que, pour tout entier $N$, on a $$\lim_{x\to 0}S(x)\geq\sum_{n=1}^N \frac{1}{n}.$$ En déduire la valeur de $\lim_{x\to 0}S(x)$.
Indication
Corrigé
Exercice 14 - Non-dérivabilité à droite d'une fonction limite [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère la série de fonctions $\sum_{n\geq 1}\frac{e^{-nt}}{1+n^2}$ et on note $f$ sa somme.
  1. Quel est le domaine de définition de $f$?
  2. Démontrer que $f$ est continue sur $\mathbb R^+$ et de classe $C^\infty$ sur $]0,+\infty[$.
  3. On fixe $A>0$.
    1. Justifier l'existence d'un entier $N\geq 1$ tel que $$\sum_{n=1}^N \frac{n}{1+n^2}\geq A.$$
    2. En déduire qu'il existe $\delta>0$ tel que, pour tout $h\in]0,\delta[$, $$\sum_{n=1}^N \frac{e^{-nh}-1}{h(1+n^2)}\leq -A+1.$$
    3. Démontrer que $f$ n'est pas dérivable en 0, mais que sa courbe représentative admet une tangente verticale au point d'abscisse 0.
  4. Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
Indication
Corrigé
Exercice 15 - Limite en $+\infty$ par comparaison à une intégrale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit la série de fonctions $S(x)=\sum_{n\geq 1}\frac{x}{n^2+x^2}$.
  1. Démontrer que $S$ définit une fonction continue sur $\mathbb R$.
  2. Soit $x>0$ et $n\geq 1$. Justifier que $$\int_{n}^{n+1}\frac{x}{x^2+t^2}dt\leq \frac{x}{x^2+n^2}\leq\int_{n-1}^n \frac{x}{x^2+t^2}dt.$$
  3. En déduire que $S$ admet une limite en $+\infty$ et la déterminer.
Indication
Corrigé
Enoncé
Sur $I=]-1,+\infty[$, on pose $$S(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac 1n-\frac 1{n+x}\right).$$
  1. Montrer que $S$ est définie et continue sur $I$.
  2. Étudier la monotonie de $S$.
  3. Calculer $S(x+1)-S(x)$.
  4. Déterminer un équivalent de $S(x)$ en $-1^+$.
  5. Établir que, pour tout $n\in\mathbb N$, $S(n)=\sum_{k=1}^n \frac 1k$.
  6. En déduire un équivalent de $S(x)$ en $+\infty$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(f_n)_{n\geqslant 1}$ la suite de fonctions définies sur $[-1,1]$ par $f_n(t)=\dfrac{1}{n}\, t^n \, \sin nt.$
  1. Montrer que la série $\sum \, f_n$ converge simplement sur $]-1,1[$.
  2. Soit $a \in ]0,1[.$
    1. Montrer que la série $\sum \, f'_n$ converge normalement sur $[-a,a].$
    2. En déduire que la fonction $f=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \, f_n$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $]-1,1[$ et montrer que, pour $x\in]-1,1[$, $$f'(x)=\frac{\sin x+x\cos x-x^2}{1-2x\cos x+x^2}.$$
    3. Montrer que $f(t)=\arctan \dfrac{t \, \sin t}{1- t \, \cos t}$ pour $t \in ]-1,1[.$
  3. On pose pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ et $t \in [-1,1]$, $A_n(t)=\displaystyle \sum_{k=1}^n \, t^k \, \sin k \,t$.
    1. Montrer qu'il existe $M>0$ tel que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ et $t \in [-1,1]$ on ait $|A_n(t)|\leqslant M.$
    2. Montrer en écrivant $t^k \, \sin (k \, t)=A_k(t)-A_{k-1}(t)$ que $$\sum_{k=1}^n \, \dfrac{t^k \, \sin k \, t}{k}=\sum_{k=1} ^{n-1} \, \dfrac{A_k(t)}{k(k+1)}+\dfrac{A_n(t)}{n}.$$
    3. En déduire que la série $\sum_n f_n$ converge simplement sur $[-1,1]$ et que $f(t)=\displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{A_k(t)}{k(k+1)}$ sur $[-1,1]$. Montrer que $f$ est continue sur cet intervalle.
    4. En déduire les valeurs de $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \, \frac{\sin n}{n}$ et de $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \, \frac{(-1)^n \,\sin n}{n}.$
Indication
Corrigé
Enoncé
On considère la fonction $\displaystyle \mu(x)=\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^{n+1}}{n^x}.$
  1. Quel est le domaine de définition de $\mu$?
  2. Montrer que $\mu$ est de classe $C^\infty$ sur son domaine de définition.
  3. Démontrer que $\mu$ admet une limite en $+\infty$ et la calculer.
  4. On souhaite démontrer que $\mu$ admet une limite en 0.
    1. Démontrer que, pour tout $x>0$, on a $$-1+2\mu(x)=\sum_{n\geq 1}(-1)^{n+1}\left(\frac1{n^x}-\frac{1}{(n+1)^x}\right).$$
    2. En déduire que pour tout $x>0$, on a $$0\leq -1+2\mu(x)\leq 1-\frac{1}{2^x}.$$
    3. Conclure.
Indication
Corrigé
Exercice 19 - Non-dérivabilité à droite d'une fonction limite [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit la série de fonctions $\sum_{n\geq 2}f_n$, avec $\dis f_n(x)=\frac{xe^{-nx}}{\ln n}.$ On note $S$ sa somme.
  1. Etudier la convergence simple, normale, uniforme de cette série sur $[0,+\infty[$.
  2. Montrer que $S$ est de classe $C^1$ sur $]0,+\infty[$.
  3. Montrer que $S$ n'est pas dérivable à droite en 0.
  4. Montrer que, pour tout $k$, $S(x)=o(x^{-k})$ en $+\infty$.
Indication
Corrigé