Exercices corrigés - Séries de fonctions - convergence normale, uniforme
Divers modes de convergence des séries de fonctions
Enoncé
Pour $x\geq 0$, on pose $u_n(x)=\frac{x}{n^2+x^2}.$
- Montrer que la série $\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ converge simplement sur $\mathbb R_+$.
- Montrer que la série $\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ converge uniformémement sur tout intervalle $[0,A]$, avec $A>0$.
- Vérifier que, pour tout $n\in\mathbb N^*$, $\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{n}{n^2+k^2}\geq\frac 15$.
- En déduire que la série $\sum_{n\geq 1}u_n$ ne converge pas uniformément sur $\mathbb R_+$.
Enoncé
Pour $x\in I=[0,1]$, $a\in\mathbb R$ et $n\geq 1$, on pose $u_n(x)=n^a x^n(1-x)$.
- Étudier la convergence simple sur $I$ de la série de terme général $u_n$. On notera dans la suite $S$ la somme de la série.
- Étudier la convergence normale sur $I$ de la série de terme général $u_n$.
- On suppose dans cette question que $a=0$. Calculer $S$ sur $[0,1[$. En déduire que la convergence n'est pas uniforme sur $[0,1]$.
- On suppose $a>0$. Démontrer que la convergence n'est pas uniforme sur $I$.
Exercice 3 - Convergence uniforme, convergence normale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $n\geq 1$ et $x\in\mathbb R$, on pose $u_n(x)=nx^2e^{-x\sqrt n}$.
- Démontrer que la série $\sum_n u_n$ converge simplement sur $\mathbb R_+$.
- Démontrer que la convergence n'est pas normale sur $\mathbb R_+$.
- Démontrer que la convergence est normale sur tout intervalle $[a,+\infty[$ avec $a>0$.
- La convergence est-elle uniforme sur $\mathbb R_+$?
Enoncé
Soit $u_n(x)=(-1)^n\ln\left(1+\frac{x}{n(1+x)}\right)$ défini pour $x\geq 0$ et $n\geq 1$.
- Montrer que la série $\sum_{n\geq 1} u_n$ converge simplement sur $\mathbb R_+$.
- Montrer que la série $\sum_{n\geq 1}u_n$ converge uniformément sur $\mathbb R_+$.
- La convergence est-elle normale sur $\mathbb R_+$?
Enoncé
On considère la série de fonctions $\sum_{n\geq 2} u_n$, avec $u_n(x)=\frac{xe^{-nx}}{\ln n}$.
- Démontrer que $\sum_{n\geq 2}u_n$ converge simplement sur $\mathbb R_+$.
- Démontrer que la convergence n'est pas normale sur $\mathbb R_+$.
- Pour $x\in\mathbb R_+$, on pose $R_n(x)=\sum_{k\geq n+1}u_k(x)$. Démontrer que, pour tout $x>0$, $$0\leq R_n(x)\leq \frac{xe^{-x}}{\ln (n+1) (1-e^{-x})},$$ et en déduire que la série converge uniformément sur $\mathbb R_+$.
Enoncé
Soit $g:[0,+\infty[\to\mathbb R$ une fonction continue et bornée telle que $g(0)=0$. On considère la suite de
fonctions définie sur $[0,+\infty[$ par $f_n(x)=g(x)e^{-nx}$.
-
- Étudier la convergence simple de la suite.
- Montrer que la suite converge uniformément sur tout intervalle $[a,+\infty[$, avec $a>0$.
- On fixe $\veps>0$. Montrer que l'on peut choisir $a>0$ tel que $|f_n(x)|\leq \veps$ pour tout $x\in[0,a]$ et pour tout $n\geq 1$. En déduire que la suite converge uniformément sur $[0,+\infty[$.
- On considère la série de fonctions $\sum_{n\geq 0}g(x)e^{-nx}$.
- Démontrer qu'elle converge simplement sur $[0,+\infty[$ et normalement sur tout intervalle $[a,+\infty[$ avec $a>0$.
- Démontrer l'équivalence entre les deux propositions suivantes :
- la courbe représentative de $g$ est tangente à l'axe des abscisses à l'origine;
- la série de fonctions $\sum_{n\geq 0}g(x)e^{-nx}$ converge uniformément sur $[0,+\infty[$.
Enoncé
Soit $u_n(\theta)=\frac{e^{in\theta}}{\sqrt{n}}$.
- Montrer que $\sum_{n\geq 1} u_n(\theta)$ converge uniformément sur tout intervalle $[a,2\pi-a]$, avec $a\in]0,\pi[$.
- Montrer que la convergence n'est pas uniforme sur $[0,2\pi]$ (on pourra utiliser la théorie des séries de Fourier et notamment le théorème de Parseval).
Etude de fonctions définies comme la somme d'une série
Enoncé
On considère la série de fonctions $S(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{x+n}$.
- Prouver que $S$ est définie sur $I=]-1,+\infty[$.
- Prouver que $S$ est continue sur $I$.
- Prouver que $S$ est dérivable sur $I$, calculer sa dérivée et en déduire que $S$ est croissante sur $I$.
- Quelle est la limite de $S$ en $-1$? en $+\infty$?
Enoncé
Pour $n\geq 1$ et $x\in\mathbb R,$ on pose $\displaystyle u_n(x)=\frac{1}{n^2+x^2}$.
- Démontrer que la série $\sum_{n\geq 1} u_n$ converge normalement sur $\mathbb R.$ On note $S$ sa somme.
- Démontrer que $S$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $\mathbb R$.
- Démontrer que $S$ admet une limite en $+\infty$ et la déterminer.
Enoncé
Pour $x>0$, on pose $\dis S(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{1+nx}.$
- Justifier que $S$ est définie et continue sur $]0,+\infty[$.
- Déterminer la limite de $S$ en $+\infty$.
- Établir que $S$ est de classe $C^1$ sur $]0,+\infty[$ et déterminer $S'$.
Enoncé
On appelle fonction $\zeta$ de Riemann la fonction de la variable $s\in\mathbb R$ définie par la formule
$$\zeta(s)=\sum_{n\geq 1}\frac1{n^s}.$$
- Donner le domaine de définition de $\zeta$ et démontrer qu'elle est strictement décroissante sur celui-ci.
- Prouver que $\zeta$ est continue sur son domaine de définition.
- Déterminer $\lim_{s\to+\infty}\zeta(s)$.
- Montrer que pour tout entier $k\geq 1$ et tout $s>0$, on a $$\frac{1}{(k+1)^s}\leq\int_{k}^{k+1}\frac{dx}{x^s}\leq\frac1{k^s}.$$ En déduire que $\zeta(s)\sim_{1^+}\frac{1}{s-1}$.
- Démontrer que $\zeta$ est convexe.
- Tracer la courbe réprésentative de $\zeta$.
Exercice 12 - Équivalent d'une série de fonctions en l'infini - avec détails [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $x>0,$ on considère $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{1+n^2x^2}$ et $\displaystyle g(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^2}{1+n^2x^2}$
- Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
- Déterminer la limite de $g$ en $+\infty$.
- En déduire un équivalent simple de $f$ en $+\infty$
Enoncé
Pour $x \geq 0$ et $n \geq 1$, on pose $f_n(x) = \dfrac
x{\sqrt{n}(x+n)}$.
- Montrer que la série de fonctions de terme général $f_n$ est simplement convergente sur $\mathbb R_+$. On note $f$ sa somme.
- Montrer que la série de fonctions de terme général $f_n$ est normalement convergente sur $[0, M]$ pour tout $M>0$. Est-elle normalement convergente sur $\mathbb R_+$ ?
- Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb R_+$ puis qu'elle est dérivable et croissante sur $\mathbb R_+$.
- Soit $n \geq 1$ et $x_0 \geq n \geq 1$. Montrer que $f(x_0) \geq \displaystyle{\sum_{k=1}^n \dfrac 1{2\sqrt{k}}}$. En déduire que $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x) = +\infty}$.
- Montrer que $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{f(x)}x =0}$.
Enoncé
Pour $x\in \mathbb R$, on pose $u_n(x)=\frac{1}{n+n^2x}$.
- Étudier la convergence simple de la série $\sum_{n\geq 1} u_n(x)$. On note $S(x)$ sa somme.
- Démontrer que $S$ est définie et continue sur $\mathbb R_+^*$.
- Étudier la monotonie de $S$ sur $\mathbb R_+^*$.
- Déterminer la limite de $S$ en $+\infty$.
- Justifier que $S$ admet une limite en $0$. Démontrer que, pour tout entier $N$, on a $$\lim_{x\to 0}S(x)\geq\sum_{n=1}^N \frac{1}{n}.$$ En déduire la valeur de $\lim_{x\to 0}S(x)$.
Exercice 15 - Limite en $+\infty$ par comparaison à une intégrale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit la série de fonctions $S(x)=\sum_{n\geq 1}\frac{x}{n^2+x^2}$.
- Démontrer que $S$ définit une fonction continue sur $\mathbb R$.
- Soit $x>0$ et $n\geq 1$. Justifier que $$\int_{n}^{n+1}\frac{x}{x^2+t^2}dt\leq \frac{x}{x^2+n^2}\leq\int_{n-1}^n \frac{x}{x^2+t^2}dt.$$
- En déduire que $S$ admet une limite en $+\infty$ et la déterminer.
Exercice 16 - Non-dérivabilité à droite d'une fonction limite [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère la série de fonctions $\sum_{n\geq 1}\frac{e^{-nt}}{1+n^2}$ et on note $f$ sa somme.
- Quel est le domaine de définition de $f$?
- Démontrer que $f$ est continue sur $\mathbb R^+$ et de classe $C^\infty$ sur $]0,+\infty[$.
- On fixe $A>0$.
- Justifier l'existence d'un entier $N\geq 1$ tel que $$\sum_{n=1}^N \frac{n}{1+n^2}\geq A.$$
- En déduire qu'il existe $\delta>0$ tel que, pour tout $h\in]0,\delta[$, $$\sum_{n=1}^N \frac{e^{-nh}-1}{h(1+n^2)}\leq -A+1.$$
- Démontrer que $f$ n'est pas dérivable en 0, mais que sa courbe représentative admet une tangente verticale au point d'abscisse 0.
- Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
Enoncé
Pour tout $t\in\mathbb R$, on pose $u_n(t)=\frac{\arctan(nt)}{n^2}$.
- Justifier que pour tout $t\in\mathbb R$, la série $\sum_{n\geq 1}u_n(t)$ est convergente. On note $S(t)$ sa somme.
- Démontrer que $S$ est une fonction continue sur $\mathbb R$ et impaire.
- Déterminer la limite de $S$ en $+\infty$ (on rappelle que $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac 1{n^2}=\frac{\pi^2}6$).
- Quel est le sens de variation de $S$?
- Soit $N\in\mathbb N$. Démontrer qu'il existe un réel $t_0>0$ tel que, pour tout $t\in ]-t_0,t_0[\backslash\{0\}$, on a $$\sum_{n=1}^N \frac{u_n(t)}t\geq \frac 12\sum_{n=1}^N\frac 1n.$$
- En déduire que la courbe représentative de $S$ admet une tangente verticale au point d'abscisse $0$.
- Tracer la courbe représentative de $S$.
Enoncé
Sur $I=]-1,+\infty[$, on pose
$$S(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac 1n-\frac 1{n+x}\right).$$
- Montrer que $S$ est définie et continue sur $I$.
- Étudier la monotonie de $S$.
- Calculer $S(x+1)-S(x)$.
- Déterminer un équivalent de $S(x)$ en $-1^+$.
- Établir que, pour tout $n\in\mathbb N$, $S(n)=\sum_{k=1}^n \frac 1k$.
- En déduire un équivalent de $S(x)$ en $+\infty$.
Exercice 19 - Équivalent en l'infini, limite en $0$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\displaystyle S(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{n(nx+1)}$.
- Démontrer que $S$ est définie et continue sur $\mathbb R_+^*$.
- Déterminer la limite de $S$ en $+\infty$, puis un équivalent de $S$ en $+\infty$.
- Déterminer la limite de $S$ en $0^+$.
Exercice 20 - Équivalent aux bornes du domaine de définition [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{e^{-nx}}{x+n}$.
- Quel est le domaine de définition de $f$? Démontrer que $f$ est continue sur son domaine de définition.
- Donner un équivalent de $f$ aux bornes de son domaine de définition.
Enoncé
Soit $(f_n)_{n\geqslant 1}$ la suite de fonctions
définies sur $[-1,1]$ par $f_n(t)=\dfrac{1}{n}\, t^n \, \sin nt.$
- Montrer que la série $\sum \, f_n$ converge simplement sur $]-1,1[$.
- Soit $a \in ]0,1[.$
- Montrer que la série $\sum \, f'_n$ converge normalement sur $[-a,a].$
- En déduire que la fonction $f=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \, f_n$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $]-1,1[$ et montrer que, pour $x\in]-1,1[$, $$f'(x)=\frac{\sin x+x\cos x-x^2}{1-2x\cos x+x^2}.$$
- Montrer que $f(t)=\arctan \dfrac{t \, \sin t}{1- t \, \cos t}$ pour $t \in ]-1,1[.$
- On pose pour tout $n \in
\mathbb{N}^*$ et $t \in [-1,1]$, $A_n(t)=\displaystyle \sum_{k=1}^n \, t^k \, \sin k
\,t$.
- Montrer qu'il existe $M>0$ tel que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ et $t \in [-1,1]$ on ait $|A_n(t)|\leqslant M.$
- Montrer en écrivant $t^k \, \sin (k \, t)=A_k(t)-A_{k-1}(t)$ que $$\sum_{k=1}^n \, \dfrac{t^k \, \sin k \, t}{k}=\sum_{k=1} ^{n-1} \, \dfrac{A_k(t)}{k(k+1)}+\dfrac{A_n(t)}{n}.$$
- En déduire que la série $\sum_n f_n$ converge simplement sur $[-1,1]$ et que $f(t)=\displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{A_k(t)}{k(k+1)}$ sur $[-1,1]$. Montrer que $f$ est continue sur cet intervalle.
- En déduire les valeurs de $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \, \frac{\sin n}{n}$ et de $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \, \frac{(-1)^n \,\sin n}{n}.$
Enoncé
On considère la fonction $\displaystyle \mu(x)=\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^{n+1}}{n^x}.$
- Quel est le domaine de définition de $\mu$?
- Montrer que $\mu$ est de classe $C^\infty$ sur son domaine de définition.
- Démontrer que $\mu$ admet une limite en $+\infty$ et la calculer.
- On souhaite démontrer que $\mu$ admet une limite en 0.
- Démontrer que, pour tout $x>0$, on a $$-1+2\mu(x)=\sum_{n\geq 1}(-1)^{n+1}\left(\frac1{n^x}-\frac{1}{(n+1)^x}\right).$$
- En déduire que pour tout $x>0$, on a $$0\leq -1+2\mu(x)\leq 1-\frac{1}{2^x}.$$
- Conclure.
Exercice 23 - Non-dérivabilité à droite d'une fonction limite [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit la série de fonctions $\sum_{n\geq 2}f_n$, avec $\dis f_n(x)=\frac{xe^{-nx}}{\ln n}.$ On note $S$ sa somme.
- Etudier la convergence simple, normale, uniforme de cette série sur $[0,+\infty[$.
- Montrer que $S$ est de classe $C^1$ sur $]0,+\infty[$.
- Montrer que $S$ n'est pas dérivable à droite en 0.
- Montrer que, pour tout $k$, $S(x)=o(x^{-k})$ en $+\infty$.
Applications des séries de fonctions
Exercice 24 - Application à la résolution d'une équation fonctionnelle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $C,a>0$ et $\phi:[-a,a]$ une fonction continue vérifiant $|\phi(x)|\leq C|x|$ pour tout $x\in[-a,a]$. On souhaite étudier les fonctions $f:[-a,a]\to\mathbb R$ vérifiant la propriété suivante (notée $\mathcal P$) : $f$ est continue, $f(0)=0$ et :
$$\forall x\in[-a,a],\ f(x)-f(x/2)=\phi(x).$$
- Montrer que la série de fonctions $\sum_{n\geq 0} \phi\left(\frac x{2^n}\right)$ est normalement convergente sur $[-a,a]$. On note $h$ la somme de cette série.
- Montrer que $h$ vérifie $\mathcal P$.
- Montrer que $h$ est la seule fonction vérifiant $\mathcal P$.
- On suppose de plus que $\phi$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $[-a,a]$. Démontrer que $h$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $[-a,a]$.
Exercice 25 - Résolution d'une équation intégrale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On souhaite démontrer qu'il existe une fonction $f:[0,1]\to\mathbb R$ continue telle que, pour tout $x\in[0,1],$
$$f(x)=1+\frac 12\int_0^x f(t^2)dt.$$
Pour cela, on considère la suite de fonctions $(f_n)$ définies sur $[0,1]$ par $f_0=1$ et, pour tout $n\geq 0$ et tout $x\in[0,1]$,
$$f_{n+1}(x)=1+\frac 12\int_0^x f_n(t^2)dt.$$
- Démontrer que la série de fonctions $\sum_{n\geq 0}(f_{n+1}-f_n)$ converge normalement sur $[0,1]$.
- En déduire que la suite $(f_n)$ converge uniformément sur $[0,1]$ vers une fonction $f$.
- Justifier que $f$ est solution du problème.