$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Séries entières

Rayon de convergence
Enoncé
  1. Donner un exemple de série entière de rayon de convergence $\pi$.
  2. Est-il possible de trouver des suites $(a_n)$ et $(b_n)$ telles que $a_n=o(b_n)$ et pourtant $\sum_n a_nz^n$ et $\sum_n b_n z^n$ ont le même rayon de convergence?
  3. Quel est le lien entre le rayon de convergence des séries entières $\sum_{n\geq 0}a_n z^n$ et $\sum_{n\geq 0}(-1)^n a_n z^n$?
Corrigé
Exercice 2 - Rayon de convergence - 1 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes : $$\begin{array}{lll} \mathbf{1.}\ \sum_{n\geq 1}\frac{1}{\sqrt{n}}x^n& \mathbf{2.}\ \sum_n\frac{n!}{(2n)!}x^n&\mathbf{3.}\ \sum_{n\geq 1} \frac{n!}{2^{2n}\sqrt{(2n)!}}x^n\\ \mathbf {4.}\ \sum_{n}(\ln n) x^n&\mathbf{5.}\ \sum_n\frac{\sqrt nx^{2n}}{2^n+1}& \mathbf{6.}\ \sum_n(2+ni) z^n\\ \mathbf{7.}\ \sum_n\frac{(-1)^n}{1\times 3\times\dots\times (2n-1)}z^n\\ \end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Rayon de convergence - 2 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes : $$\begin{array}{lll} \mathbf{1.}\ \sum_n\frac{(1+i)^n z^{3n}}{n\cdot 2^n}& \mathbf{2.}\ \sum_{n\geq 1}\ln\left(1+\sin\frac1n\right)x^n& \mathbf{3.}\ \sum_{n\geq 1}\big(\exp(1/n)-1\big)x^n\\ \mathbf{4.}\ \sum_n a^{\sqrt{n}}z^n,\textrm{ }a>0& \mathbf{5.}\ \sum_n z^{n!}&\mathbf{6.}\ \sum_n n^{\ln n}z^n\\ \end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Rayon de convergence sans règles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer le rayon de convergence de la série entière $\sum_{n\geq 1}a_n x^n$ dans les cas suivants :
  1. la suite $(a_n)$ tend vers $\ell\neq 0$;
  2. la suite $(a_n)$ est périodique, et non identique nulle;
  3. $a_n$ est le nombre de diviseurs de $n$;
  4. $a_n$ est la $n-$ième décimale de $\sqrt 2$.
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Rayon de convergence et suite récurrente linéaire [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer le rayon de convergence de la série entière $\sum_{n\geq 1}a_nx^n$ où $(a_n)$ est la suite déterminée par $a_0=\alpha$, $a_1=\beta$ et $a_{n+2}=2a_{n+1}-a_n$ pour tout $n\in\mathbb N$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $\sum_n a_nx^n$ une série entière de rayon de convergence $\rho>0$. Montrer que $\sum_n \frac{a_n}{n!}x^n$ a pour rayon de convergence $+\infty$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $\sum_n a_nx^n$ une série entière de rayon de convergence $\rho\in[0,+\infty]$, telle que $a_n>0$ pour tout entier $n$ et soit $\alpha>0$. Quel est le rayon de convergence de la série $\sum_n a_n^{\alpha}x^n$?
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $\sum_n a_n z^n$ une série entière de rayon de convergence $R$. On pose $$b_n=\frac{a_n}{1+|a_n|}$$ et on note $R'$ le rayon de convergence de la série $\sum_{n\geq 1}b_n x^n.$
  1. Démontrer que $R'\geq \max(1,R)$.
  2. Démontrer que $R'=\max(1,R)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $\sum_n a_nz^n$ et $\sum_nb_nz^n$ deux séries entières de rayon de convergence respectif $\rho_1$ et $\rho_2$. Montrer que le rayon de convergence $R$ de la série $\sum_n a_nb_nz^n$ vérifie $R\geq \rho_1\rho_2$. A-t-on toujours égalité?
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Comparaison de rayon de convergence [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $R$ le rayon de convergence de $\sum_n a_nz^n$. Comparer $R$ avec les rayons de convergence des séries entières de terme général : $$\begin{array}{lllll} \mathbf{1.}\ a_ne^{\sqrt n}z^n&&\mathbf{2.}\ a_nz^{2n}&&\mathbf{3.}\ a_n z^{n^2}. \end{array}$$
Corrigé
Enoncé
Soit $\sum_n a_nz^n$ une série entière de rayon de convergence $\rho$. Soit $S_n=a_0+\dots+a_n$ et soit $R$ le rayon de convergence de la série $\sum_n S_n z^n$.
  1. Montrer que $R\leq\rho$.
  2. Montrer que $\inf(1,\rho)\leq R$.
Indication
Corrigé
Propriétés de la somme
Enoncé
Soit $S$ la somme de la série entière $\sum_n a_n x^n$ de rayon de convergence $R>0$. Démontrer que $S$ est paire si et seulement si, pour tout $k\in\mathbb N$, $a_{2k+1}=0$.
Indication
Corrigé
Exercice 13 - Série entière qui s'annule autour de zéro [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $S$ une série entière de rayon de convergence non nul. On suppose qu'il existe $\alpha>0$ tel que, pour tout $x\in ]-\alpha,\alpha[$, $S(x)=0$. Justifier que $S$ est identiquement nulle.
Indication
Corrigé
Exercice 14 - L'anneau des séries entières est intègre [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On note $\mathcal A$ l'ensemble des séries entières (à coefficients complexes) de rayon de convergence supérieur ou égal à 1. L'addition et le produit de Cauchy de deux séries entières munissent $\mathcal A$ d'une structure d'anneau. Montrer que $\mathcal A$ est intègre.
Indication
Corrigé
Exercice 15 - Étude pratique de la somme d'une série entière [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $$f:x \mapsto \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\sin \left( {\frac{1}{{\sqrt n }}} \right)x^n } .$$
  1. Déterminer le rayon de convergence $R$ de la série entière définissant $f$.
  2. Etudier la convergence en $ - R$ et en $R$.
    1. Soit $M>0$. Montrer qu'il existe un entier $N\geq 1$ et un réel $\delta>0$ tel que, pour tout $x\in]1-\delta,1[$, alors $$\sum_{n=1}^N \sin \left( {\frac{1}{{\sqrt n }}} \right) x^n\geq M.$$
    2. En déduire la limite de $f(x)$ quand $x \to 1^ - $.
    1. On considère la série entière $$g:x\mapsto \sum_{n=2}^{+\infty} \left[\sin\left(\frac 1{\sqrt n}\right)-\sin\left(\frac 1{\sqrt{n-1}}\right)\right]x^n.$$ Démontrer que cette série converge normalement sur $[0,1]$.
    2. En déduire que $\lim_{x\to 1^-}(1 - x)f(x)=0$.
Indication
Corrigé
Exercice 16 - Comportement au bord d'une série entière [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $(a_n)$ et $(b_n)$ deux suites de réels positifs. On note $R$ et $R'$ les rayons de convergence respectifs des series entières $\sum_n a_n x^n$ et $\sum_n b_n x^n$. Soient $f:x\mapsto \sum_n a_n x^n$ et $g:x\mapsto \sum_n b_n x^n$. On suppose enfin qu'il existe $l\in\mathbb R$ tel que $\lim_{n\to+\infty}\frac{a_n}{b_n}=l.$
  1. Montrer que $R\geq R'$.
    On suppose désormais que $R'=1$ et que la série $\sum_n b_n$ est divergente.
  2. Soit $M>0$. Montrer qu'il existe un entier $N\geq 0$ et un réel $\delta>0$ tel que, pour tout $x\in]1-\delta,1[$, alors $\sum_{n=0}^N b_nx^n\geq M$.
  3. En déduire que $g(x)\to+\infty$ lorsque $x\to 1$.
  4. Soit $\veps>0$ et $N\geq 1$ tel que $(l-\veps)b_n\leq a_n\leq (l+\veps)b_n$ pour tout $n\geq N$. Montrer que $$f(x)=P(x)+\sum_{n=0}^{+\infty}c_n x^n$$ où $P$ est un polynôme, et $(l-\veps)b_n\leq c_n\leq (l+\veps)b_n$ pour tout $n\geq 0$.
  5. En déduire que $$\lim_{x\to 1^-}\frac{f(x)}{g(x)}=l.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
  1. Montrer que la fonction $t\mapsto \frac{1-e^{-t^4}}{t^2}$ est intégrable sur $]0,+\infty[$.
  2. Soit $f$ la somme de la série entière $f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+1}x^{4n-1}}{n!(4n-1)}$. Montrer que $f$ admet une limite en $+\infty$.
Indication
Corrigé
Exercice 18 - Comportement à l'infini [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(a_n)$ une suite de réels qui converge vers $l$.
  1. Quel est le rayon de convergence de la série entière $\sum_{n\geq 0}\frac{a_n}{n!}x^n$?
  2. On note $f$ la somme de la série entière précédente. Déterminer $\lim_{x\to +\infty}e^{-x}f(x)$.
Indication
Corrigé
Exercice 19 - Théorèmes de Tauber -1 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $S(x)=\sum_{n\geq 0}a_n x^n$ une série entière de rayon de convergence $1$. On suppose de plus que $S(x)$ admet une limite lorsque $x$ tend vers $1^-$ et on note $\ell$ cette limite.
  1. La série $\sum_n a_n$ est-elle nécessairement convergente?
  2. On suppose désormais que $a_n\geq 0$ pour tout $n\in\mathbb N$. Démontrer que la série $\sum_n a_n$ converge et que $\ell=\sum_{n\geq 0}a_n$.
Indication
Corrigé
Exercice 20 - Formule de Cauchy et applications [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f(z)=\sum_n a_nz^n$ une série entière de rayon de convergence $R>0$ et soit $r\in ]0,R[$.
  1. Montrer que, pour tout entier $k$, la série de fonctions $\theta\mapsto\sum_n a_nr^n e^{i(n-k)\theta}$ converge normalement sur $[0,2\pi]$.
  2. En déduire que pour tout $k\in\mathbb N$, on a $$2\pi r^k a_k=\int_{0}^{2\pi}f(re^{i\theta})e^{-ik\theta}d\theta.$$
  3. Application : on suppose que $R=+\infty$ et que $f$ est bornée sur $\mathbb C$. Montrer que $f$ est constante.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(a_n)$ une suite de réels tel que $\sum_n a_n x^n$ soit de rayon de convergence $1$. On note $f$ la somme de cette série entière. On suppose de plus que la série numérique $\sum_n a_n$ converge et on note $$R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}a_k.$$
  1. Démontrer que, pour tout $x\in[0,1[$ et tout $n\geq 1$, on a $$f(x)-\sum_{k=0}^{+\infty}a_k=\sum_{k=0}^n a_k(x^k-1)+(x-1)\sum_{k=n+1}^{+\infty}R_k x^k+R_n(x^{n+1}-1).$$
  2. En déduire que $$\lim_{x\to 1^-}f(x)=\sum_{k=0}^{+\infty}a_k.$$
Indication
Corrigé
Exercice 22 - Théorème de Tauber - 2 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $S(x)=\sum_{n\geq 0}a_n x^n$ une série entière de rayon de convergence $1$. On suppose de plus que $S(x)$ admet une limite lorsque $x$ tend vers $1^-$ et on note $\ell$ cette limite. On suppose enfin que $a_n=o(1/n)$.
Pour $N\in\mathbb N$ et $x\in [0,1]$, on note $$A_n(x)=S(x)-\ell,\ B_N(x)=\sum_{n=0}^N (1-x^n)a_n,\ C_N(x)=\sum_{n=N+1}^{+\infty}a_n x^n.$$
  1. Vérifier que $\sum_{n=0}^N a_n-\ell=A_N(x)+B_N(x)-C_N(x)$.
  2. Soit $\veps>0$. Démontrer qu'il existe un entier $N_0$ tel que, pour tout $N\geq N_0$, $$|C_N(x)|\leq \frac{\veps}{N(1-x)}.$$
  3. Démontrer que la série $\sum_n a_n$ converge et que sa somme vaut $\ell$.
Indication
Corrigé
Exercice 23 - Zéros d'une série entière [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ une fonction développable en série entière, non identiquement nulle, dont le rayon de convergence vaut $+\infty$. Démontrer que l'ensemble $A$ des zéros de $f$ (sur $\mtc$) est un fermé constitué de points isolés?
Corrigé
Développements en série entière
Enoncé
Développer en série entière au voisinage de 0 les fonctions suivantes. On précisera le rayon de convergence de la série entière obtenue. $$\begin{array}{lcl} \mathbf{1.}\ln(1+2x^2)&\quad&\mathbf{2.}\displaystyle \frac{1}{a-x}\textrm{ avec }a\neq 0\\ \mathbf{3.}\ln(a+x) \textrm{ avec }a> 0&\quad&\mathbf{4.}\displaystyle \frac{e^x}{1-x}\\ \mathbf{5.}\ln(1+x-2x^2)&\quad&\mathbf{6.}\displaystyle(4+x^2)^{-3/2} \end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 25 - Développement en série entière d'une racine carrée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer le développement en série entière de $x\mapsto \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$.
Indication
Corrigé
Exercice 26 - DSE d'une fraction rationnelle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Développer en série entière la fonction $f$ définie par $f(x)=\frac{x^2+x-3}{(x-2)^2(2x-1)}$ et préciser le rayon de convergence de la série obtenue.
Indication
Corrigé
Exercice 27 - Rayon de convergence et somme - 1 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour les séries entières suivantes, donner le rayon de convergence et exprimer leur somme en termes de fonctions usuelles : $$\begin{array}{llllll} \mathbf{1.}\quad\sum_{n\geq 0}\frac{n-1}{n!}x^n&\quad\quad& \mathbf{2.}\quad \sum_{n\geq 0}\frac{n+2}{n+1}x^n&\quad\quad& \mathbf{3.}\quad \sum_{n\geq 0}\frac{(n+1)(n-2)}{n!}x^n\\ \mathbf{4.}\quad\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^{n+1}}{2^n n!}x^{2n} \end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 28 - Rayon de convergence et somme - 2 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour les séries entières suivantes, donner le rayon de convergence et exprimer leur somme en termes de fonctions usuelles : $$\begin{array}{llllll} \mathbf{1.}\quad \sum_{n\geq 0}\frac{x^{2n}}{2n+1}&\quad\quad&\mathbf{2.}\quad \sum_{n\geq 0}\frac{n^3}{n!}x^n&\quad\quad&\mathbf{3.}\quad \sum_{n\geq 0}(-1)^{n+1} nx^{2n+1}\\ \mathbf{4.}\quad \sum_{n\geq 0}\frac{x^{2n}}{4n^2-1}. \end{array}$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Pour $n\geq 1$, on pose $S_n=\sum_{k=1}^n\frac 1k$ et on s'intéresse à la série entière $\sum_{n\geq 1}S_n x^n$. On note $R$ son rayon de convergence.
  1. Démontrer que $R=1$.
  2. On pose, pour $x\in]-1,1[$, $F(x)=\sum_{n\geq 1}S_n x^n$. Démontrer que pour tout $x\in]-1,1[$, on a $(1-x)F(x)=\sum_{n\geq 1}\frac{x^n}{n}$.
  3. En déduire la valeur de $F(x)$ sur $]-1,1[$.
Indication
Corrigé
Exercice 30 - Méthode de l'équation différentielle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ l'application définie sur $]-1,1[$ par $f(t)=\cos(\alpha\arcsin t)$, $\alpha\in\mathbb R$.
  1. Former une équation différentielle linéaire du second ordre vérifiée par $f$.
  2. Chercher les solutions de l'équation différentielle obtenue qui sont développables en série entière et vérifient $y(0)=1$ et $y'(0)=0$.
  3. En déduire que $f$ est développable en série entière sur $]-1,1[$, et donner son développement.
Indication
Corrigé
Exercice 31 - Méthode de l'équation différentielle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ l'application définie sur $]-1,1[$ par $f(x)=\exp(\lambda \arcsin x)$, $\lambda\in\mathbb R$.
  1. Former une équation différentielle linéaire du second ordre vérifiée par $f$.
  2. Chercher les solutions de l'équation différentielle obtenue qui sont développables en série entière et vérifient $y(0)=1$ et $y'(0)=\lambda$.
  3. En déduire que $f$ est développable en série entière sur $]-1,1[$.
Indication
Corrigé
Exercice 32 - Par équation différentielle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=e^{x^2/2}\int_0^x e^{-t^2/2}dt$.
  1. Étudier la parité de $f$.
  2. Justifier que $f$ est développable en série entière.
  3. En formant une équation différentielle vérifiée par $f$, déterminer ce développement.
Indication
Corrigé
Exercice 33 - Fonction définie par une intégrale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Pour tout $n\in\mathbb N$, calculer l'intégrale de Wallis $I_{2n}=\int_0^{\pi}\sin^{2n}xdx$ à l'aide de la formule $2i\sin x=e^{ix}-e^{-ix}$.
  2. Justifier que, tout tout $u\in]-1,1[$, on a $$\frac1{\sqrt{1-u}}=\sum_{n\geq 0}\frac{1}{4^n}\binom{2n}n u^n.$$
  3. Pour tout $x\in]-1,1[$, on pose $$f(x)=\int_0^{\pi}\frac{dt}{\sqrt{1-x^2\sin^2 t}}.$$ Démontrer que $f$ est développable en série entière sur $]-1,1[$ et donner son développement.
Indication
Corrigé
Exercice 34 - Intégration ou équation différentielle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Pour $k\in\mathbb N$, démontrer que $\int_0^{+\infty}t^{2k+1}e^{-t^2}dt=\frac{k!}2.$
  2. Déterminer le développement en série entière en $0$ de $$f:x\mapsto \int_0^x e^{-t^2}\sin(tx)dt$$
    1. en procédant à une intégration terme à terme;
    2. en déterminant une équation différentielle dont le fonction est solution.
Indication
Corrigé
Exercice 35 - Une fonction non développable en série entière [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}e^{-n}e^{n^2ix}$.
  1. Justifier que $f$ est une fonction de classe $C^\infty$ sur $\mathbb R$.
  2. Montrer que, pour chaque $k$, $\frac{|f^{(k)}(0)|}{k!}\geq k^k e^{-k}$.
  3. En déduire que $f$ n'est pas développable en série entière en 0.
Indication
Corrigé
Exercice 36 - Fonction définie par une série [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $x>-1$, on pose $f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{x+n}$. Montrer que $f$ est développable en série entière au voisinage de 0.
Indication
Corrigé
Exercice 37 - une condition suffisante pour l'existence d'un développement en série entière [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $a>0$ et $f:[-a,a]\to\mathbb R$ une fonction de classe $\mathcal C^\infty$ telle qu'il existe $C,A>0$ vérifiant, pour tout $n\in\mathbb N$, $$\|f^{(n)}\|_\infty\leq C\cdot A^n \cdot n!.$$ Démontrer que $f$ est développable en série entière en $0$.
Indication
Corrigé
Exercice 38 - Théorème de Bernstein [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ une fonction de classe $C^\infty$ sur un intervalle ouvert $I$ contenant $0$ telle que $f$, et toutes ses dérivées, sont positives sur $I$. Soit $\alpha>0$ tel que $[-\alpha,\alpha]\subset I$. On veut prouver dans cet exercice que $f$ est somme de sa série de Taylor sur l'intervalle $]-\alpha,\alpha[$.
  1. Justifier que, pour tout $x\in[-\alpha,\alpha]$, $$f(x)=f(x)+x f'(0)+\dots+\frac{x^n}{n!}f^{(n)}(0)+x^{n+1}\int_0^1\frac{(1-u)^n}{n!}f^{(n+1)}(x u)du.$$ On pose alors, pour tout $x\in [-\alpha,\alpha]$, $R_n(x)=x^{n+1}\int_0^1 \frac{(1-u)^n}{n!}f^{(n+1)}(x u)du.$
  2. Démontrer que, si $|x|< \alpha$, alors $|R_n(x)|\leq |x/\alpha|^{n+1}R_n(\alpha)$.
  3. Conclure.
Indication
Corrigé
Exercice 39 - Inverse d'une fonction développable en série entière [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f(z)=\sum_{n\geq 0}a_n z^n$ une série entière de rayon de convergence strictement positif. On suppose de plus que $a_0\neq 0$. Le but est de prouver que la fonction $1/f$ est développable en série entière au voisinage de zéro.
  1. On suppose que $1/f=\sum_{n\geq 0}b_n z^n$, avec rayon de convergence strictement positif. Quelle relation de récurrence vérifie la suite $(b_n)$?
  2. Soit $(b_n)$ la suite définie par la relation de récurrence précédente. Montrer qu'il existe une constante $C>0$ telle que, pour tout $n\geq 0$, on a $$|b_n|\leq \frac{C^n}{|a_0|}.$$
  3. En déduire que $1/f$ est développable en série entière.
Indication
Corrigé
Utilisation de développements en séries entières
Enoncé
Montrer que les fonctions suivantes sont de classe $C^\infty$ :
  1. $f(x)=\sin(x)/x$ si $x\neq 0$, $f(0)=1$.
  2. $g(x)=\textrm{ch}(\sqrt{x})$ si $x\geq 0$ et $g(x)=\cos(\sqrt{-x})$ si $x<0$.
  3. $h(x)=\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{x}$ si $x\in]-\pi,0[\cup]0,\pi[$, $h(0)=0$.
Indication
Corrigé
Exercice 41 - Comparaison de deux fonctions [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Prouver que, pour tout $x\in\mathbb R$, on a $\textrm{ch}(x)\leq e^{x^2/2}$.
Indication
Corrigé
Exercice 42 - Calcul de la somme d'une série [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère la série entière $f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n(2n+1)}x^{2n+1}$.
  1. Quel est son rayon de convergence, que l'on notera $R$? Y-a-t-il convergence aux bornes de l'intervalle de définition?
  2. Sur quel intervalle la fonction $f$ est-elle \emph{a priori} continue? Démontrer qu'elle est en réalité continue sur $[-R,R]$.
  3. Exprimer, au moyen des fonctions usuelles, la somme de la série dérivée sur $]-R,R[$. En déduire une expression de $f$ sur $]-R,R[$.
  4. Calculer $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n(2n+1)}$.
Indication
Corrigé
Exercice 43 - Calcul de la somme d'une série [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère la série entière $f(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n(n-1)}x^n.$
  1. Déterminer le domaine de définition de $f$.
  2. Démontrer que $f$ est continue sur son domaine de définition.
  3. Exprimer $f'$, puis $f$, à l'aide de fonctions usuelles sur l'intervalle $]-1,1[$.
  4. Déduire des questions précédentes la valeur de $\sum_{n\geq 2}\frac{(-1)^n}{n(n-1)}.$
Indication
Corrigé
Exercice 44 - Calcul de la somme d'une série [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On se propose dans cet exercice de calculer $\sum_{n\geq 0}\frac{1}{(3n)!}$. Pour cela, on introduit $$S(x)=\sum_{n\geq 0}\frac{x^{3n}}{(3n)!}.$$
  1. Méthode 1. On note $j=e^{2i\pi/3}$.
    1. Calculer $1+j^k+j^{2k}$ pour tout entier $k\in\mathbb N$. En déduire le développement en série entière de $e^x+e^{jx}+e^{j^2x}$.
    2. En déduire $S(x)$, puis la valeur de la somme $\sum_{n\geq 0}\frac{1}{(3n)!}$.
  2. Méthode 2.
    1. Former une équation différentielle du troisième ordre vérifiée par $S$.
    2. La résoudre.
    3. Retrouver la valeur de la somme $\sum_{n\geq 0}\frac{1}{(3n)!}$.
Indication
Corrigé
Exercice 45 - Une égalité intégrale/séries [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Calculer, pour $n\in\mathbb N$, $\int_0^1 x^n \ln(x)dx$.
  2. Démontrer que $\int_0^1\ln(x)\ln(1-x)dx=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{n(n+1)^2}.$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(u_n)$ la suite réelle définie par $u_0=1$ et, pour tout $n\geq 0$, $$u_{n+1}=\sum_{k=0}^n u_ku_{n-k}.$$
  1. On suppose que la série entière $f(x)=\sum_{n\geq 0}u_nx^n$ a un rayon de convergence strictement positif $r>0$. Démontrer que, pout tout $x\in\mathbb ]-r,-r[$, on a $xf^2(x)-f(x)+1=0$.
  2. En déduire qu'il existe $\rho>0$ tel que $f(x)=\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}$ pour tout $x\in]-\rho,\rho[$, $x\neq 0$.
  3. En développant en série entière la fonction précédente, calculer $u_n$ en fonction de $n$.
Indication
Corrigé
Exercice 47 - Nombre de dérangements [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour tous les entiers $k$ et $n$ tels que $n\geq 1$ et $0\leq k\leq n$, on note $D_{n,k}$ le nombre de bijections (ou permutations) $s$ de l'ensemble $\{1,\dots,n\}$ ayant $k$ points fixes, c'est-à-dire telles que $$k=\textrm{card}\big\{i\in\{1,\dots,n\};\ s(i)=i\big\}.$$ On pose $D_{0,0}=1$ et $d_n=D_{n,0}$. $d_n$ désigne le nombre de dérangements, c'est-à-dire de permutations sans point fixe.
  1. Dresser la liste de toutes les permutations de $\{1,2,3\}$ et en déduire la valeur de $D_{3,0}$, $D_{3,1}$, $D_{3,2}$ et $D_{3,3}$.
  2. Montrer que $n!=\sum_{k=0}^n D_{n,k}$.
  3. Montrer que $D_{n,k}=\binom{n}{k}D_{n-k,0}$.
  4. Montrer que la série entière $\sum_{n\geq 0}\frac{d_n}{n!}z^n$ a un rayon de convergence supérieur ou égal à 1.
  5. On pose $f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{d_n}{n!}x^n$. Montrer que $(\exp x)f(x)=\frac{1}{1-x}$ pour $|x|<1$.
  6. En déduire que $d_n=n!\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{k!}$.
  7. Soit $p_n$ la probabilité pour qu'une permutation prise au hasard soit un dérangement. Quelle est la limite de $p_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$?
Indication
Corrigé
Enoncé
On rappelle qu'une involution de $\{1,\dots,n\}$ est une application $s:\{1,\dots,n\}\to\{1,\dots,n\}$ telle que $s\circ s(k)=k$ pour tout $k\in\{1,\dots,n\}$. On note $I_n$ le nombre d'involutions de $\{1,\dots,n\}$ et on convient que $I_0=1$.
  1. Démontrer que, si $n\geq 1$, alors $$I_{n+1}=I_n+nI_{n-1}.$$
  2. Démontrer que la série entière $S(x)=\sum_{n\geq 0}\frac{I_n}{n!}x^n$ converge pour tout $x$ dans $]-1,1[$. On note $S$ sa somme.
  3. Justifier que, pour tout $x\in ]-1,1[$, on a $S'(x)=(1+x)S(x)$.
  4. En déduire une expression de $S(x)$, puis de $I_n$.
Indication
Corrigé
Applications des séries entières à la résolution d'équations différentielles
Exercice 49 - Une équation différentielle détaillée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère l'équation différentielle $y''+xy'+y=1$. On cherche l'unique solution de cette équation vérifiant $y(0)=y'(0)=0$.
  1. Supposons qu'il existe une série entière $f(x)=\sum_{n\geq 0}a_nx^n$ de rayon de convergence strictement positif solution de l'équation. Quelle relation de récurrence doit vérifier la suite $(a_n)$?
  2. Calculer explicitement $a_n$ pour chaque $n$. Quel est le rayon de convergence de la série entière obtenue?
  3. Exprimer cette série entière à l'aide des fonctions usuelles.
Indication
Corrigé
Exercice 50 - Solutions développables en série entière d'une équation différentielle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer toutes les fonctions développables en série entière au voisinage de $0$ qui sont solution de l'équation différentielle $$x^2(1-x)y''-x(1+x)y'+y=0.$$
Indication
Corrigé
Exercice 51 - Avec des séries entières [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère l'équation différentielle $$xy''-y'+4x^3 y=0\quad\quad (E)$$ dont on se propose de déterminer les solutions sur $\mathbb R$.
  1. Question préliminaire : soient $a,b,c,d$ 4 réels et $f:\mathbb R^*\to\mathbb R$ définie par $$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} a\cos(x^2)+b\sin(x^2)&\textrm{ si }x>0\\ c\cos(x^2)+d\sin(x^2)&\textrm{ si }x<0 \end{array}\right. $$ A quelle condition sur $a,b,c,d$ la fonction $f$ se prolonge-t-elle en une fonction de classe $C^2$ sur $\mathbb R$?
    On recherche les solutions de $(E)$ qui sont développables en série entière au voisinage de 0. On note $x\mapsto \sum_{n=0}^{+\infty}a_n x^n$ une telle solution, lorsqu'elle existe, et on désigne par $R$ son rayon de convergence.
  2. Montrer qu'il existe une relation de récurrence, que l'on explicitera, entre $a_{n+4}$ et $a_n$.
  3. Pour $p\in\mathbb N$, déterminer $a_{4p+1}$ et $a_{4p+3}$.
  4. Pour $p\in\mathbb N$, déterminer $a_{4p}$ en fonction de $a_0$ et de $p$ (respectivement $a_{4p+2}$ en fonction de $a_2$ et $p$).
  5. Quel est le rayon de la série entière obtenue? Exprimer la comme combinaison linéaire de deux fonctions "classiques".
  6. Soit $S$ le $\mathbb R$-espace vectoriel des applications de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ qui sont solutions de $(E)$ sur $\mathbb R$. Préciser une base de $S$.
Indication
Corrigé
Exercice 52 - Solutions DSE puis abaissement de l'ordre [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour les équations différentielles suivantes :
  • Chercher les solutions développables en séries entières
  • Résoudre complètement l'équation sur un intervalle bien choisi par la méthode d'abaissement de l'ordre
  • Résoudre l'équation sur $\mathbb R$.
$$\mathbf{1.} \ xy''+2y'-xy=0\quad\quad \mathbf{2.} \ x(x-1)y''+3xy'+y=0.$$
Indication
Corrigé
Exercice 53 - DSE, changement de variables, raccordement [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(E)$ l'équation différentielle $$2xy''-y'+2xy=0.$$
  1. Trouver les solutions développables en série entière en 0. On les exprimera à l'aide de fonctions classiques.
  2. A l'aide d'un changement de variables, résoudre l'équation différentielle sur $\mathbb R_+^*$ et $\mathbb R_-^*$.
  3. En déduire toutes les solutions sur $\mathbb R$.
Indication
Corrigé