$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Exercices corrigés - Permutation limites et intégrales

Permutation suites et intégrales
Exercice 1 - Théorème de convergence dominée - 1 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer la limite, lorsque $n$ tend vers $+\infty$, des suites suivantes : $$\begin{array}{lll} \displaystyle \mathbf 1.\ \left(\int_0^{\pi/4}(\tan t)^n dt\right)&\quad\quad&\mathbf 2. \displaystyle\left(\int_1^{+\infty}\frac{dt}{1+t^n}\right)\\ \mathbf 3. \displaystyle\left(\int_0^1 f(t^n)dt\right),\ f:[0,1]\to\mathbb R\textrm{ continue}. \end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Théorème de convergence dominée - 2 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $x\geq 0$ et $n\geq 1$, on pose $f_n(x)=\left(1+\frac xn\right)^n$.
  1. Démontrer que, pour tout $x\geq 0$, $f_n(x)\to e^x$ et que $|f_n(x)|\leq e^x$.
  2. En déduire, pour $b>1$, la limite de $\int_0^{+\infty}\left(1+\frac xn\right)^n e^{-bx}dx$.
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Majoration un peu subtile [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $n\geq 1$ et $x\in [0,1]$, on pose $f_n(x)=nx(1-x)^n$.
  1. Démontrer que, pour tout $x\in [0,1]$ et tout $n\geq 1$, on a $|f_n(x)|\leq 1/e$.
  2. En déduire $\lim_{n\to+\infty}\int_0^1 nx(1-x)^n dx$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Déterminer la limite des suites suivantes : $$\begin{array}{lll} \mathbf{1.}\ \left(\int_0^{+\infty}\frac{dx}{x^n+e^x}\right)&\quad\quad&\mathbf{2.}\ \left(\int_0^{+\infty}\frac{dx}{(1+x^2)\sqrt[n]{1+x^n}}\right) \end{array}$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Déterminer la limite des suites suivantes : $$\begin{array}{lll} \mathbf{1.}\quad \left(\int_0^{+\infty}\arctan(nx)e^{-x^n}dx\right)&\quad\quad& \mathbf{2.}\quad \left(\int_0^{+\infty}\frac{x^n}{1+x^{n+2}}dx\right) \end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 6 - Avec les bornes qui varient [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer la limite, quand $n\to+\infty$, de $$\int_0^n \left(1-\frac{x}{n}\right)^n dx.$$
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Après un changement de variables [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[0,+\infty[\to\mathbb R$ continue.
  1. On suppose que $f$ admet une limite $\ell$ en $+\infty$. Déterminer $$\lim_{n\to+\infty}\frac 1n\int_0^n f(t)dt.$$
  2. On suppose que $f$ est bornée et que $f\geq 0$. Déterminer $$\lim_{n\to+\infty}\int_0^{+\infty}nf(t)e^{-nt}dt.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f:\mathbb R_+\to\mathbb R$ une fonction continue et bornée.
  1. On pose $I_n=n\int_0^{+\infty}f(x)e^{-nx}dx$. Déterminer $\ell=\lim_{n\to+\infty}I_n$.
  2. On suppose de plus que $f$ est $\mathcal C^1$, de dérivée bornée, et vérifie $f'(0)\neq 0$. Déterminer un équivalent de $\ell-I_n$.
Indication
Corrigé
Enoncé
On pose, pour $n\geq 1$, $$I_n=\int_0^1 \frac{1}{1+t^n}dt.$$
  1. Déterminer $\ell=\lim_{n\to+\infty}I_n$.
  2. Déterminer un équivalent de $\ell-I_n$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit la fonction $\Gamma$ définie pour $x>0$ par $$\Gamma(x)=\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}dt.$$ En introduisant $I_n(x)=\int_0^n \left(1-\frac{t}{n}\right)^n t^{x-1}dt$, démontrer que $$\Gamma(x)=\lim_{n\to+\infty}\frac{n! n^x}{x(x+1)\dots(x+n)}.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $]a,b[$ un intervalle non-vide de $\mathbb R$. Soient $(a_n)$ et $(b_n)$ deux suites de nombres réels. On suppose que pour tout $x\in]a,b[$, $$\lim_{n\to+\infty}\big(a_n \sin(nx)+b_n\cos(nx)\big)=0.$$ On souhaite prouver que $(a_n)$ et $(b_n)$ tendent vers $0$ lorsque $0$ vers $+\infty$. On raisonne par l'absurde et on suppose que ce n'est pas le cas.
  1. Démontrer qu'il existe une suite strictement croissante d'entiers $(n_k)$ telle que, pour tout $x\in]a,b[$, la suite de fonctions $$f_k(x)=\frac{\big(a_{n_k}\sin(n_kx)+b_{n_k}\cos(n_kx)\big)^2}{a_{n_k}^2+b_{n_k}^2}$$ tende vers 0 pour tout $x\in]a,b[$.
  2. En calculant de deux façons différentes $\lim_{n\to+\infty}\int_a^b f_k(x)dx$, trouver une contradiction.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(a_n)$ une suite de $]0,+\infty[$ qui converge vers 0. Soit $f:\mathbb R^+\to\mathbb R$ continue et bornée. Déterminer la limite de $\displaystyle \int_0^{+\infty}\frac{a_nf(x)}{a_n^2+x^2}dx$.
Indication
Corrigé
Permutation séries et intégrales
Enoncé
    1. Démontrer que $$\sum_{n=0}^{+\infty}\int_0^1 x^{2n}(1-x)dx=\int_0^1\frac{dx}{1+x}.$$
    2. En déduire que $$\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{k}=\ln 2.$$
  1. En calculant de deux façons $\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\int_0^1 x^{2n}(1-x)dx$, déterminer la valeur de la somme $$\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)(2n+2)}.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(a_n)$ une suite de nombres complexes telle que $\sum_n a_n n!$ converge absolument. Démontrer que $$\int_0^{+\infty}\left(e^{-x}\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n\right)dx=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n n!.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
  1. Démontrer que $\int_0^{+\infty}\frac{t}{e^t-1}dt=\sum_{n\geq 1}\frac 1{n^2}$.
  2. Plus généralement, démontrer que, pour tous $a,b>0$, on a $$\int_0^{+\infty}\frac{te^{-at}}{1-e^{-bt}}dt=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac 1{(a+bn)^2}.$$
Indication
Corrigé
Exercice 16 - Après un développement en série entière [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer que $\int_0^{+\infty}\cos(\sqrt x)e^{-x}dx=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n \frac{n!}{(2n)!}$.
Indication
Corrigé
Exercice 17 - Sans le théorème d'intégration terme à terme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs.
  1. Pour $t\in ]0,1[$, écrire $\frac{t^{a-1}}{1+t^b}$ comme somme d'une série $\sum_{n\geq 0}u_n(t)$.
  2. Déterminer la nature de la série $\sum_{n\geq 0}\int_0^1 |u_n(t)|dt$. Que peut-on en déduire?
  3. On pose $S_N(t)=\sum_{n=0}^N u_n(t)$. Démontrer que $$\int_0^1 \frac{t^{a-1}}{1+t^b}dt=\lim_{N\to+\infty}\int_0^1 S_N(t)dt.$$
  4. En déduire que $$\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{a+nb}=\int_0^1 \frac{t^{a-1}}{1+t^b}dt$$ puis la valeur de $\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^n}{3n+1}$.
Indication
Corrigé
Exercice 18 - Somme trigonométrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\theta$ un réel non congru à $0$ modulo $2\pi$.
  1. Démontrer que $$\Re e\left(\int_0^1 \frac{e^{i\theta}}{1-e^{i\theta}x}dx\right)=-\ln\left|2\sin\frac{\theta}2\right|.$$
  2. Démontrer que $$\sum_{n=0}^{+\infty}\int_0^1e^{i(n+1)\theta}x^n=\int_0^1 \frac{e^{i\theta}}{1-e^{i\theta}x}dx.$$
  3. Conclure que $$\sum_{n\geq 1}\frac{\cos(n\theta)}{n}=-\ln\left|2\sin\frac{\theta}{2}\right|.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Le but de cet exercice est de démontrer la remarquable identité : $$\int_0^1\frac{dx}{x^x}=\sum_{m=1}^{+\infty}\frac1{m^m}.$$
  1. Justifier la convergence de chacun des membres de l'égalité précédente.
  2. Pour $p$ et $q$ des entiers naturels, on pose $I(p,q)=\int_0^1 x^p(\ln x)^qdx$; justifier la convergence de cette intégrale.
  3. Calculer $I(m,0)$ pour $m\in\mathbb N$.
  4. En déduire la valeur de $I(p,q)$ pour tout couple $(p,q)\in\mathbb N^2$.
  5. En développant $\frac{1}{x^x}$ en série, justifier que $$\int_0^1\frac{dx}{x^x}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n!}I(n,n).$$
  6. Conclure.
Indication
Corrigé
Théorème de convergence monotone
Enoncé
On rappelle que les fonctions $\Gamma$ et $\zeta$ sont définies respectivement sur $]0,+\infty[$ et sur $]1,+\infty[$ par $$\Gamma(x)=\int_0^{+\infty}e^{-t}t^{x-1}dt\textrm{ et }\zeta(x)=\sum_{n\geq 1}n^{-x}.$$ Démontrer que, pour tout $x>1$, $$\zeta(x)\Gamma(x)=\int_0^{+\infty}\frac{t^{x-1}}{e^t-1}dt.$$
Indication
Corrigé