$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Exercices corrigés - Tribus, fonctions mesurables, mesures

Tribus
Enoncé
Soit $\Omega=\mathbb Z$. On considère $\mathcal T$ la tribu engendrée par les ensembles $S_n=\{n,n+1,n+2\}$ avec $n\in\mathbb Z.$ Quels sont les éléments de la tribu $\mathcal T$?
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Tribu image réciproque [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ et $F$ deux ensembles, $\mathcal T$ une tribu sur $F$ et $\phi:E\to F$ une application. Montrer que $\mathcal T'=\{\phi^{-1}(A);\ A\in\mathcal T\}$ est une tribu sur $E$.
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Tribu engendrée par une partition [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $X$ un ensemble non-vide et $A_1,\dots,A_n$ une partition de $X$. On note $$\mathcal T=\left\{\bigcup_{i\in J}A_i;\ J\subset\{1,\dots,n\}\right\}.$$ Démontrer que $\mathcal T$ est la tribu engendrée par $A_1,\dots,A_n$.
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Tribu engendrée par une partition [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un ensemble infini et $(A_n)_{n\in\mathbb N}$ une partition de $E$. Pour toute partie $J$ de $\mathbb N$, on pose $B_J=\bigcup_{j\in J}A_j$.
  1. Démontrer que $\mathcal T=\{B_J;\ J\in\mathcal P(\mathbb N)\}$ est une tribu sur $E$ et que c'est la plus petite tribu contenant tous les $A_n$.
  2. Trouver une partition $(A_n)_{n\in\mathbb N}$ de sorte que, pour tout $n\in\mathbb N$, $A_n$ n'est pas fini.
  3. Trouver une tribu incluse dans $\mathcal P(\mathbb N)$, de cardinal infini, dont tous les éléments, sauf l'ensemble vide, sont de cardinal infini.
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Tribu borélienne de $\mathbb R^2$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Soit $\mathcal R$ l'ensemble des rectangles ouverts de $\mathbb R^2$ à extrémités rationnelles. Démontrer que $\mathcal R$ est dénombrable.
  2. Soit $\mathcal U$ un ouvert de $\mathbb R^2$. Démontrer que $\mathcal U=\bigcup_{R\in\mathcal R,\ R\subset \mathcal U}R$.
  3. En déduire que la tribu engendrée par les rectangles ouverts de $\mathbb R^2$ coïncide avec la tribu borélienne de $\mathbb R^2$.
Indication
Corrigé
Exercice 6 - Tribu des parties finies de $\mathbb R$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\mathcal T$ la tribu engendrée par les parties finies de $\mathbb R$, et $\mathcal C$ l'ensembles des parties $A$ de $\mathbb R$ telles que $A$ est dénombrable ou $A^c$ est dénombrable.
  1. Démontrer que $\mathcal C$ est une tribu.
  2. Démontrer que $\mathcal C$ et $\mathcal T$ sont égales.
  3. Comparer $\mathcal T$ à la tribu borélienne $\mathcal B$.
  4. Soit $f$ une application de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ injective. Montrer que $f$ est mesurable lorsqu'on munit $\mathbb R$ de la tribu $\mathcal T$ (au départ et à l'arrivée).
  5. Donner une application $f$ qui est mesurable de $(\mathbb R,\mathcal B)$ dans $(\mathbb R,\mathcal B)$ et qui ne l'est pas de $(\mathbb R,\mathcal T)$ dans $(\mathbb R,\mathcal T)$.
Indication
Corrigé
Ensembles mesurables, boréliens
Enoncé
  1. Démontrer que $A=\{x\in\mathbb R;\ \exists n\in\mathbb N^*,\ |x-n|<1/n\}$ est un borélien de $\mathbb R$.
  2. Démontrer que les ensembles suivants sont des boréliens de $\mathbb R^2$.
    1. La diagonale $\Delta=\{(x,x)\in\mathbb R^2;\ x\in\mathbb R\}$ de $\mathbb R^2$.
    2. $B=\{(x,y)\in\mathbb R^2;\ x^2+y^2=1\textrm{ et }x\notin\mathbb Q\}.$
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Oscillation et ensembles des points de continuité d'une fonction [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(X,d)$ un espace métrique et $f:X\to\mathbb R$ une fonction. Pour tout $x\in X$, l'oscillation de $f$ en $x$ est définie par $$\omega_f(x)=\inf_{\delta>0}\left(\sup_{d(t,x)\leq\delta\textrm{ et }d(u,x)\leq\delta}|f(t)-f(u)|\right).$$
  1. Démontrer que $f$ est continue en $x\in X$ si et seulement si $\omega_f(x)=0$.
  2. Montrer que, pour tout $\veps>0$, l'ensemble $\Omega_\veps=\{x\in X;\ \omega_f(x)<\veps\}$ est un ouvert de $X$.
  3. En déduire que l'ensemble $\mathcal C$ des points où $f$ est continue est un borélien de $X$.
Indication
Corrigé
Fonctions mesurables
Enoncé
Prouver que les fonctions suivantes sont mesurables (boréliennes):
  1. la fonction indicatrice de $\mathbb Q$;
  2. la fonction $x\mapsto x+1$ si $x>0$ et $-x$ si $x\leq 0$;
  3. la derivée $f'$ d'une fonction dérivable $f$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E$ une partie mesurable de $\mathbb R^n$ et $f:E\to\mathbb R$. Soit $g:\mathbb R^n\to\mathbb R$ définie par $g(x)=f(x)$ si $x\in E$ et $g(x)=0$ sinon. Démontrer que $f$ est mesurable si et seulement si $g$ est mesurable.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction telle que $f\circ f$ est mesurable. Est-ce que $f$ est mesurable?
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction monotone.
  1. Montrer que, pour tout $c\in\mathbb R$, $f^{-1}(]-\infty,c[)$ est convexe.
  2. En déduire que $f$ est mesurable.
Indication
Corrigé
Exercice 13 - Fonction et son module [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Donner un exemple d'espace mesurable $(E,\mathcal T)$ et d'application $f:E\to \mathbb R$ qui n'est pas mesurable, mais telle que $|f|$ est mesurable.
Indication
Corrigé
Exercice 14 - Une fonction mesurable dont la réciproque n'est pas mesurable [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Le but de cet exercice est de construire un espace mesurable $(X,\mathcal T)$ et une application bijective $f:(X,\mathcal T)\to (X,\mathcal T)$ mesurable, mais dont la réciproque $f^{-1}$ n'est pas mesurable. Pour cela, on pose $X=\mathbb Z$ et $\mathcal T$ est l'ensemble des parties $A$ de $\mathbb Z$ ayant la propriété suivante : pour tout entier $n\geq 1$, $2n\in A$ si et seulement si $2n+1\in A$.
  1. Donner des exemples d'éléments de $\mathcal T$.
  2. Montrer que $\mathcal T$ est une tribu.
  3. On pose $f:n\in\mathbb Z\mapsto n+2$. Démontrer que $f$ est mesurable, mais que $f^{-1}$ ne l'est pas.
Indication
Corrigé
Exercice 15 - Développement décimal [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\geq 1$. On note $f_n$ l'application de $[0,1[$ dans $\mathbb R$ définie par $f_n(x)$ vaut la $n$-ième décimale de $x$ dans son développement décimal propre. Démontrer que $f_n$ est mesurable.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(X,\mathcal T)$ un espace mesuré, et soit $f:(X,\mathcal T)\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))$ une application mesurable. Soit $a>0$ et $f_a$ la fonction définie sur $E$ par $$f_a(x)=\left\{ \begin{array}{rcl} f(x)&\textrm{ si }|f(x)|<a\\ a&\textrm{ si }f(x)\geq a\\ -a&\textrm{ si }f(x)\leq -a. \end{array}\right.$$ Démontrer que $f_a$ est mesurable.
Indication
Corrigé
Mesures
Enoncé
Soit $(X,\mathcal B,\mu)$ un espace mesuré et $f:X\to (\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))$ une fonction mesurable. On suppose que $\mu\left(\{x\in E;\ f(x)>0\}\right)>0$. Démontrer qu'il existe $\veps>0$ tel que $$\mu\left(\{x\in E;\ f(x)>\veps\}\right)>0.$$
Indication
Corrigé
Exercice 18 - Combinaison convexe de mesures [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $\mu_1,\dots,\mu_n$ des mesures définies sur un même espace mesurable $(X,\mathcal T)$. Soient également $a_1,\dots,a_n$ des réels positifs. On définit une application $\nu:\mathcal T\to[0,+\infty]$ par, pour tout $T\in\mathcal T$, $$\nu(T)=\sum_{k=1}^n a_k\mu_k(T).$$ Démontrer que $\nu$ est une mesure sur la tribu $\mathcal T$.
Indication
Corrigé
Exercice 19 - Tribu des ensembles certains ou négligeables [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(X,\mathcal B,\mu)$ un espace mesuré où $\mu$ est une mesure de probabilité. On note $\mathcal T=\{A\in\mathcal B;\ \mu(A)=0\textrm{ ou }\mu(A)=1\}$. Démontrer que $\mathcal T$ est une tribu sur $X$.
Indication
Corrigé
Exercice 20 - Mesure invariante par translation sur $\mathbb Z$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer qu'il n'existe pas de mesure $\mu$ finie et non nulle sur $(\mathbb Z,\mathcal P(\mathbb Z))$ qui soit invariante par translation, i.e. satisfaisant $\mu(p+A)=\mu(A)$ pour tout $p\in\mathbb Z$ et tout $A\subset \mathbb Z$.
Indication
Corrigé
Exercice 21 - Absolue Continuité d'une mesure par rapport à une autre [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(X,\mathcal B)$ un espace mesurable et soient $\mu$, $\nu$ deux mesures finies sur $(X,\mathcal B)$. On suppose que, pour tout $A\in\mathcal B$, on a $\mu(A)=0\implies \nu(A)=0$. Démontrer que, pour tout $\veps>0$, il existe $\eta>0$ tel que, $\forall A\in\mathcal B$, $\mu(A)<\eta \implies \nu(A)<\veps$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(X,\mathcal B,m)$ un espace mesuré fini (ie tel que $m(X)<+\infty$). Soit $(f_n)$ une suite de fonctions mesurables $f_n:X\to \mathbb C$ et $f:X\to\mathbb C$. On suppose qu'il existe une partie $Y\in\mathcal B$ telle que $(f_n(y))$ tend vers $f(y)$ pour tout $y\in Y$ et $m(X\backslash Y)=0$. Soit enfin $\veps>0$. Le but de l'exercice est de prouver qu'il existe $A\in\mathcal B$ telle que $m(X\backslash A)\leq\veps$ et telle que $(f_n)$ converge vers $f$ uniformément sur $A$.
  1. Pour tout entier $k\geq 1$ fixé et tout $n\geq 1$, on pose $B_{n,k}=\bigcup_{j\geq n}\{|f_j-f|>1/k\}$. Montrer que la suite $(m(B_{n,k}))_{n\geq 1}$ est décroissante et tend vers $0$.
  2. Soit $\veps>0$ fixé. Construire une suite strictement croissante d'entiers $(n_k)_{k\geq 1}$ telle que $B_\veps=\bigcup_{k\geq 1}B_{n_k,k}$ soit de mesure $m(B_\veps)\leq\veps$.
  3. Montrer que $(f_n)$ converge uniformément sur $A_\veps=B_\veps^c$.
Indication
Corrigé
Mesure de Lebesgue
Exercice 23 - Quelques propriétés sur la mesure de Lebesgue des ouverts [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Dans cet exercice, on note $\lambda$ la mesure de Lebesgue.
  1. Soit $U$ un ouvert borné. Démontrer que $\lambda(U)<+\infty$. La réciproque est-elle vraie?
  2. Soit $\veps>0$. Construire un ouvert $U$ dense dans $\mathbb R$ de sorte que $\lambda(U)\leq \veps$.
  3. Soit $A$ un borélien de $\mathbb R$. Montrer que si $A$ contient un ouvert, alors $\lambda(A)>0$. La réciproque est-elle vraie?
Indication
Corrigé
Exercice 24 - Propriété d'un grand borélien [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A$ un borélien de $\mathbb R$ tel que $\lambda(A)>1$.
  1. Démontrer que $\lambda(A)=\sum_{n\in\mathbb Z}\lambda\big((A-n)\cap [0,1[\big)$.
  2. En déduire que les ensembles $(A-n)\cap [0,1[$, $n\in\mathbb Z$, ne peuvent pas être deux à deux disjoints.
  3. En déduire qu'il existe $a,b\in A$ tels que $a-b$ soit un entier non nul.
Indication
Corrigé
Exercice 25 - Ensemble triadique de Cantor [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Le but de l'exercice est d'introduire et d'étudier l'ensemble triadique de Cantor. Cet ensemble est un exemple d'ensemble mesurable, non dénombrable, et de mesure de Lebesgue nulle. Pour cela, on définit dans $\mathbb R$ une suite de parties $(C_n)$ de la façon suivante : on part de $C_0=[0,1]$. Pour définir $C_1$, on coupe $C_0$ en trois et on enlève l'intervalle ouvert central. Ainsi, $C_1=[0,1/3]\cup [2/3,1]$. Pour définir $C_2$, on réitère la même opération sur chacun des deux intervalles composant $C_1$, de sorte que $C_2=[0,1/9]\cup [2/9,1/3]\cup [2/3,7/9]\cup [8/9,1]$. Plus généralement, $C_n$ est la réunion de $2^n$ intervalles $[a_k,b_k]$ avec $(b_k-a_k)=3^{-n}$ et on définit $C_{n+1}$ comme la réunion des $2^{n+1}$ intervalles $[a_k,(2a_k+b_k)/3]$, $[(a_k+2b_k)/3,b_k]$. Enfin, on pose $C=\bigcap_{n\geq 1}C_n$.
  1. Justifier que $C$ est un compact.
  2. Démontrer que $\lambda(C)=0$.
  3. Démontrer que $C_n$ est la réunion des $2^n$ intervalles $I_{a_1,\dots,a_n}=\left[\sum_{k=1}^n \frac{2a_k}{3^k},\sum_{k=1}^n \frac{2a_k}{3^k}+\frac 1{3^n}\right]$ avec $a_1,\dots,a_n\in \{0,1\}$.
  4. En déduire que l'application $\phi:\{0,1\}^{\mathbb N^*}\to C$, $(a_k)_{k\geq 1}\mapsto \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{2a_k}{3^k}$ est injective.
  5. Démontrer que $C$ n'est pas dénombrable.
Indication
Corrigé
Exercice 26 - Un exemple d'ensemble qui n'est pas un borélien [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère sur $]0,1[$ la relation d'équivalence $x\sim y$ si et seulement si $x-y\in\mathbb Q$. Pour chaque classe d'équivalence, on fixe un représentant et on note $F$ l'ensemble de ces représentants. Ainsi, pour tout $x\in ]0,1[$, il existe un unique $y\in F$ tel que $x\sim y$.
  1. Soit $q,r\in\mathbb Q$, avec $q\neq r$. Démontrer que $(F+q)\cap (F+r)=\varnothing$.
  2. Démontrer que $]0,1[\subset \bigcup_{q\in \mathbb Q\cap ]-1,1[}(F+q)\subset ]-1,2[$.
  3. On suppose que $F$ est un borélien. En considérant $\lambda\left(\bigcup_{q\in\mathbb Q\cap ]-1,1[}(F+q)\right)$, obtenir une contradiction.
Indication
Corrigé