$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Intégrale de Lebesgue

Exercice 1 - Majoration d'intégrales qui passe à la limite [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(E,\mathcal A,\mu)$ un espace mesuré et soit $(f_n)$ une suite de fonctions mesurables positives qui converge simplement vers $f$. On suppose qu'il existe $M>0$ tel que $\int_E f_nd\mu\leq M$ pour tout $n\geq 0$. Démontrer que $\int_E fd\mu\leq M$.
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Convergence monotone à l'envers! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(E,\mathcal A,\mu)$ un espace mesuré et $(f_n)$ une suite décroissante de fonctions mesurables positives convergeant presque sûrement vers $f$. On suppose que $\int_E f_0 d\mu$ est finie. Démontrer que $\int_E f_n d\mu\to \int_E fd\mu$. Le résultat subsiste-t-il si on ne suppose pas $\int_E f_0d\mu<+\infty$?
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Intégration par rapport à la mesure de comptage [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On rappelle que la mesure de comptage est définie sur $(\mathbb N,\mathcal P(\mathbb N))$ par $\mu(A)=\textrm{card}(A)$ si $A$ est fini, et $\mu(A)=+\infty$ sinon.
  1. Soit $f\geq 0$. Justifier que $\int_{\mathbb N} fd\mu=\sum_{n\geq 0}f(n)$.
  2. Soit $(u_{n,p})_{n,p\geq 0}$ une suite de réels positifs. Démontrer que $$\sum_{n\geq 0}\sum_{p\geq }u_{n,p}=\sum_{p\geq 0}\sum_{n\geq 0}u_{n,p}.$$
  3. En déduire la valeur de $\sum_{p=2}^{+\infty}\sum_{n=2}^{+\infty}\frac 1{n^p}$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(E,\mathcal A,\mu)$ un espace mesuré et $h:E\to [0,+\infty]$ mesurable. On définit $\nu$ sur $\mathcal A$ par $\nu(A)=\int_A hd\mu=\int_E \mathbf 1_A h d\mu$.
  1. Vérifier que $\nu$ est une mesure sur $(E,\mathcal A)$.
  2. Démontrer que si $A\in\mathcal A$ vérifie $\mu(A)=0$, alors $\nu(A)=0$.
  3. Soit $f:(E,\mathcal A)\to (\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))$ mesurable. Démontrer que $f$ est $\nu$-intégrable si et seulement si $fh$ est $\mu$-intégrable et que, dans ce cas, on a $$\int_E fd\nu=\int_E fhd\mu.$$
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Une condition nécessaire et suffisant pour la convergence en norme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(E,\mathcal A,\mu)$ un espace mesuré et $(f_n)$ une suite de fonctions mesurables qui converge presque partout vers $f$.
  1. On suppose que $\lim_n \int_E |f_n-f|d\mu=0$. Prouver que $\int_E f_nd\mu\to fd\mu$ et $\int_E |f_n|d\mu\to \int_E |f|d\mu$.
  2. On suppose que $\int_E |f_n|d\mu\to \int_E |f|d\mu$. Démontrer que $\int_E |f_n-f|d\mu\to 0$.
  3. Montrer que l'hypothèse $\int_E f_n d\mu\to \int_E fd\mu$ n'entraine pas que $\int_E |f_n-f|d\mu\to 0$.
Indication
Corrigé
Exercice 6 - Intégration par rapport à la mesure image [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(E,\mathcal A,\mathcal \mu)$ un espace mesuré et $(F,\mathcal B)$ un espace mesurable. Soit $g:(E,\mathcal A)\to (F,\mathcal B)$ mesurable. Pour $B\in\mathcal B$, on pose $\nu(B)=\mu\big(g^{-1}(B)\big)$.
  1. Vérifier que $\nu$ est une mesure sur $(F,\mathcal B)$. On l'appelle mesure image de $\mu$ par $g$.
  2. On suppose dans cette question que $(E,\mathcal A,\mu)=(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R),\lambda)$ et que $g$ est la fonction partie entière. Déterminer $\nu$.
  3. On suppose dans cette question que $(E,\mathcal A,\mu)=(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R),\delta_a)$, où $a$ est un réel fixé, que $(F,\mathcal B)=(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))$. Déterminer $\nu$.
  4. On revient au cas général, et on fixe $f:(F,\mathcal B)\to (\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))$ mesurable. Démontrer que $f$ est intégrable par rapport à $\nu$ si et seulement si $f\circ g$ est intégrable par rapport à $\mu$ et que dans ce cas $$\int_F fd\nu=\int_E f\circ gd\mu.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(X,\mathcal B,\mu)$ un espace mesuré, et soit $f$ une fonction intégrable. Démontrer la propriété suivante : $$\forall\veps>0,\ \exists\delta>0,\ \forall A\in\mathcal B,\ \mu(A)<\delta\implies \int_A |f|d\mu<\veps.$$
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Une CNS d'intégrabilité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(E,\mathcal B,\mu)$ un espace mesuré et $f:E\to\mathbb R$ une fonction mesurable. Pour chaque $n\in\mathbb N$, on pose $$A_n=\{x\in E;\ |f(x)|\geq n\}\quad\quad B_n=\{x\in E;\ n\leq |f(x)|< n+1\}.$$ Démontrer que les propositions suivantes sont équivalentes :
  1. $f$ est intégrable;
  2. la série $\sum_{n\geq 0}n\mu(B_n)$ est convergente;
  3. la série $\sum_{n\geq 0}\mu(A_n)$ est convergente.
Indication
Corrigé