$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Intégration sur un espace produit

Exercice 1 - Un calcul d'intégrales [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
En calculant de deux façons différentes $\int_K e^{-xy}dxdy$ où $K=[0,+\infty[\times [a,b]$ avec $0<a<b$, calculer $\displaystyle \int_0^{+\infty}\frac{e^{-ax}-e^{-bx}}xdx$.
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Produit de la mesure de comptage [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(\mathbb N^2,\mathcal P(\mathbb N^2))$ muni de $\nu=\mu\otimes\mu$ produit des mesures de comptage sur $\mathbb N$. On définit $f:\mathbb N^2\to\mathbb R$ par $$f(m,n)=\left\{ \begin{array}{ll} 1&\text{si }m=n\\ -1&\text{si }m=n+1\\ 0&\text{sinon.} \end{array}\right.$$
  1. Calculer $\int_{\mathbb N}\int_{\mathbb N}f(m,n)d\mu(m)d\mu(n)$ et $\int_{\mathbb N}\int_{\mathbb N}f(m,n)d\mu(n)d\mu(m)$.
  2. Qu'en déduisez-vous?
  3. Retrouver ce résultat directement.
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Calcul d'une intégrale grâce à une intégrale double [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
En calculant de deux façons différentes $\int_{\mathbb R^2}e^{-x^2-y^2}dxdy$, déterminer la valeur de $\displaystyle I=\int_{\mathbb R}e^{-u^2}du.$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f(x,y)=2e^{-2xy}-e^{-xy}$. Démontrer que $$\int_{0}^1 \int_{\mathbb R_+}f(x,y)dxdy\neq \int_{\mathbb R^+}\int_{0}^1 f(x,y)dydx.$$ Que peut-on en déduire?
Corrigé
Exercice 5 - Un calcul d'intégrale par intégrale double [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\mu$ la mesure produit sur $\mathbb R^2$ des mesures de Lebesgue. On note $D=]0,+\infty[^2$. Calculer $\int_D \frac 1{(1+x^2y)(1+y)}d\mu$. En déduire la valeur de $\int_0^{+\infty}\frac{\ln x}{x^2-1}dx$.
Indication
Corrigé
Exercice 6 - Une formule d'intégration par parties [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(E,\mathcal A,\mu)$ un espace mesuré où $\mu$ est une mesure $\sigma$-finie. Soit $f:E\to\mathbb R$ mesurable. Démontrer que $$\int_E fd\mu=\int_0^{+\infty}\mu\big(\{x;\ f(x)\geq t\}\big)dt.$$
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Volume de la boule unité de $\mathbb R^n$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $R>0$, on note $B_n(R)=\{x\in\mathbb R^n;\ x_1^1+\dots+x_n^2\leq R^2\}$ et $b_n(R)$ son volume, c'est-à-dire $$b_n(R)=\int_{\mathbb R^n}\mathbf 1_{B_n(R)}d\lambda_n.$$ Pour simplifier les notations, on note aussi $b_n=b_n(1)$.
  1. Que vaut $b_1$? $b_2$?
  2. Exprimer $b_n(R)$ en fonction de $b_n$.
  3. En remarquant que $$B_n(1)=\left\{x\in\mathbb R^n;\ x_1^2+x_2^2\leq 1\textrm{ et }x_3^2+\dots+x_n^2\leq 1-x_1^2-x_2^2\right\}$$ déterminer une relation entre $b_n$ et $b_{n-2}$.
  4. En déduire la valeur de $b_n$.
Indication
Corrigé