$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Intégration des fonctions continues par morceaux

Propriétés relatives à la construction
Enoncé
  1. Soient $m,n\in\mathbb Z^2$ avec $n\geq m$. Calculer $\int_m^n \lfloor x \rfloor dx$.
  2. Calculer $\int_{-1}^2 x|x|dx$.
  3. Calculer, pour tout $a\in\mathbb R$, $I(a)=\int_0^1 \min(x,a)dx$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ continue telle que $|f(x)|\leq 1$ pour tout $x\in[a,b]$ et $\int_a^b f(x)dx=b-a$. Que dire de $f$?
Corrigé
Exercice 3 - Intégrale de $f$ et de $f^2$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer les fonctions continues $f:[0,1]\to [0,1]$ vérifiant $\int_0^1 f(t)dt=\int_0^1 f^2(t)dt$.
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Égalité des valeurs absolues [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction continue telle que $$\left|\int_a^b f(t)dt\right|=\int_a^b |f(t)|dt.$$ Montrer que $f$ garde un signe constant sur $[a,b]$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f:[0,1]\to\mathbb R$ une fonction continue. Montrer que si $\int_0^1 f(t)dt=\frac 12$, alors $f$ admet au moins un point fixe dans $[0,1]$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$, $a<b$, une fonction continue non identiquement nulle. On suppose qu'il existe un entier $n$ tel que, pour tout $k\leq n$, on a $\int_a^b t^k f(t)dt=0$. On souhaite prouver que, dans l'intervalle $[a,b]$, il existe au moins $n+1$ points où $f$ s'annule en changeant de signe.
  1. Traiter le cas $n=0$.
  2. Traiter le cas $n=1$.
  3. Traiter le cas général.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ continue. Démontrer que sa valeur moyenne est atteinte : il existe $c\in [a,b]$ tel que $$f(c)=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(t)dt.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f:[0,1]\to\mathbb R$ une fonction continue. Pour tout $x\in\mathbb R$, on pose $$g(x)=\int_0^1 f(t)e^{tx}dt.$$ Démontrer que $g$ est une fonction continue sur $\mathbb R$.
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Lemme de Riemann-Lebesgue [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\varphi$ une fonction en escalier sur $[a,b]$. On pose $$u_n=\int_a^b\varphi(x)\sin(nx)dx.$$ Montrer que $\lim_{n\to+\infty}u_n=0$. Montrer que cette propriété est conservée si $\varphi$ est continue par morceaux sur $[a,b]$.
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Approximation d'une valeur absolue [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ et soit $\veps>0$.
  1. On suppose que $f$ est en escalier. Montrer qu'il existe $g:[a,b]\to\mathbb R$ continue telle que $\int_{a}^b fg\geq \int_a^b |f|-\veps$ et $|g|\leq 1$.
  2. Reprendre la même question si $f$ est continue.
Indication
Corrigé
Lien dérivée/intégrale
Exercice 11 - Toutes les intégrales sont nulles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ continue telle que, pour tout couple $(\alpha,\beta)\in[a,b]^2$, on a $\int_\alpha^\beta f(x)dx=0$. Montrer que $f\equiv 0$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction dérivable telle que $f'$ est $T$-périodique. On suppose que $f(T)\neq f(0)$.
  1. Montrer que pour tout $n\geq 1$, $f(nT)-f((n-1)T)=f(T)-f(0)$.
  2. En déduire que $f$ n'est pas périodique.
Indication
Corrigé
Enoncé
Déterminer toutes les fonctions continues $f:\mathbb R\to\mathbb R$ vérifiant, pour tous $(x,y)\in\mathbb R^2$, $2yf(x)=\int_{x-y}^{x+y}f(t)dt$.
Indication
Corrigé
Exercice 14 - Une drôle d'égalité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ une fonction de classe $C^1$ réalisant une bijection de $[0,+\infty[$ sur $[0,+\infty[$.
  1. Justifier que $f$ est strictement croissante.
  2. Montrer que, pour tout $x\in\mathbb R^+$, on a $$xf(x)=\int_0^x f(t)dt+\int_{0}^{f(x)}f^{-1}(t)dt.$$
  3. En déduire que, pour tous $x,y\in[0,+\infty[^2$, on a $$xy\leq \int_0^x f(t)dt+\int_0^yf^{-1}(t)dt.$$ Dans quel cas a-t-on égalité?
Indication
Corrigé
Sommes de Riemann
Enoncé
Calculer la limite des suites suivantes :
  1. $\dis u_n=\frac 1n\left(\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)+\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)+\dots+\sin\left(\frac{n\pi}{n}\right)\right).$
  2. $\dis u_n=n\left(\frac{1}{(n+1)^2}+\dots+\frac{1}{(n+n)^2}\right).$
  3. $\dis u_n=\frac{\sqrt{1}+\sqrt{2}+\dots+\sqrt{n-1}}{n\sqrt{n}}.$
  4. $\dis u_n=\sqrt[n]{\left(1+\left(\frac{1}{n}\right)^2\right)\left(1+\left(\frac{2}{n}\right)^2\right)\dots\left(1+\left(\frac{n}{n}\right)^2\right)}$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Déterminer la limite de $$v_n=\frac1n\prod_{k=1}^n (k+n)^{1/n}.$$
Indication
Corrigé
Exercice 17 - Somme presque harmonique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer la limite de $S_n=\sum_{p=n}^{2n}\frac 1p$.
Indication
Corrigé
Exercice 18 - Somme de Riemann alternée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ continue sur $[a,b]$. Déterminer la limite de la suite $u_n=\frac 1n\sum_{k=0}^n (-1)^k f\left(\frac kn\right).$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ continue et $g:\mathbb R\to\mathbb R$ continue et convexe. Démontrer que $$g\left(\frac{1}{b-a}\int_a^b f(t)dt \right)\leq \frac{1}{b-a}\int_a^b g(f(t))dt.$$
Indication
Corrigé
Intégrales et suites
Exercice 20 - Série harmonique alternée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $n\geq 0$, on définit $$I_n=\int_0^1 \frac{x^n}{1+x}dx.$$
  1. Démontrer que la suite $(I_n)$ tend vers 0.
  2. Pour $n\geq 0$, calculer $I_n+I_{n+1}$.
  3. En déduire $\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k+1}$.
Indication
Corrigé
Exercice 21 - Un équivalent de $\ln(n!)$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
    1. Montrer que, pour tout $i\geq 2$, $$\int_{i-1}^i\ln t\,dt\leq\ln i\leq\int_i^{i+1}\ln t \,dt.$$
    2. Montrer que, pour tout entier $n\geq 1$, $$\int_1^n \ln t\,dt\leq \ln(n!)\leq \int_1^n\ln t \,dt+\ln n.$$
  1. Pour tout $x>0$, calculer $F(x)=\int_1^x \ln t\, dt.$
  2. En déduire que $\ln(n!)$ est équivalent à $n\ln(n)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
Indication
Corrigé
Enoncé
On pose, pour $n\geq 1$, $$u_n=\sum_{k=1}^n \frac1k\textrm{ et }v_n=u_n-\ln n.$$
  1. Démontrer que, pour tout entier naturel $k$ non nul, on a $$\frac{1}{k+1}\leq\int_k^{k+1}\frac 1xdx\leq \frac 1k.$$
  2. En déduire que pour tout entier $n\geq 2$, on a $$u_n-1\leq \ln n\leq u_n-\frac 1n\textrm{ et }0\leq v_n\leq 1.$$
  3. Démontrer que pour tout entier naturel non nul, $$v_{n+1}-v_n=\frac1{n+1}-\int_n^{n+1}\frac{dx}x.$$
  4. En déduire que la suite $(v_n)$ converge vers une limite $\gamma$ (que l'on ne cherchera pas à calculer). Que dire de $(u_n)$?
Indication
Corrigé
Exercice 23 - Intégrales de Wallis (bis) [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $n\in\mathbb N$, on pose $$I_n=\int_0^1 (1-t^2)^n dt.$$
  1. Montrer que la suite $(I_n)$ est strictement décroissante.
  2. Montrer que, pour tout $u\in [0,1]$, on a $0\leq 1-u\leq e^{-u}$.
  3. En déduire une majoration de $I_n$ à l'aide de $J_n=\int_0^{\sqrt n}e^{-x^2}dx$.
  4. Montrer que la suite $(J_n)$ est majorée. En déduire que la suite $(I_n)$ converge vers une limite que l'on calculera.
  5. Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, $I_{n}=\frac{2n}{2n+1}I_{n-1}$.
  6. En déduire, pour $n\geq 0$, une expression de $I_n$ à l'aide de factorielles,
  7. En déduire une expression de $\int_0^{\pi/2}\cos^{2n+1}\theta d\theta$ pour tout $n\in\mathbb N$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $I_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n xdx$, pour $n\in\mtn$.
  1. Montrer que la suite $(I_n)$ est décroissante.
  2. Montrer que la suite $(I_n)$ est strictement décroissante.
  3. Soit $\veps\in]0,\pi/2[$.
    1. Montrer que $I_n\leq \frac{\pi}{2}\sin^n\left(\frac\pi 2-\veps\right)+\veps$.
    2. En déduire (proprement!) que $(I_n)$ converge vers 0.
    Dans la suite, on va chercher à déterminer un équivalent de $I_n$ au voisinage de $+\infty$.
  4. Etablir que, pour tout $n\in\mtn$, on a : $(n+2)I_{n+2}=(n+1)I_n$.
  5. Montrer que $$I_{2p}=\frac{(2p)!}{2^{2p}(p!)^2}\frac{\pi}{2}\textrm{ et }I_{2p+1}=\frac{2^{2p}(p!)^2}{(2p+1)!}.$$
  6. Montrer que $(n+1)I_{n+1}I_n=\frac{\pi}{2}$.
  7. Montrer que $\dis \frac{n+1}{n+2}\leq \frac{I_{n+1}}{I_n}\leq 1$.
  8. Montrer que $\dis I_n\sim_{+\infty} \sqrt{\frac{\pi}{2n}}$.
Indication
Corrigé
Suites d'intégrales
Enoncé
Calculer la limite de la suite $(u_n)$ dans les cas suivants : $$\begin{array}{lll} \mathbf 1. u_n=\int_0^1 x^n\ln(1+x)dx&\quad&\mathbf 2. u_n=\int_0^n \frac{dt}{1+e^{nt}}. \end{array} $$
Indication
Corrigé
Exercice 26 - Lemme de Riemann-Lebesgue pour les fonctions de classe $C^1$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction de classe $C^1$. Démontrer que $$\int_a^b f(t)\sin(nt)dt\to 0.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
On note, pour $n\geq 1$, $$I_n=\int_0^1 \frac 1{1+x^n}dx.$$ Soit également $\alpha\in [0,1[$.
  1. Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, $$\frac{\alpha}{1+\alpha^n}\leq I_n\leq 1$$ (on pourra encadrer $\int_0^\alpha$ puis $\int_\alpha^1$).
  2. Démontrer que $(I_n)$ est croissante.
  3. Déduire des questions précédentes que $(I_n)$ converge vers $1$.
  4. En s'inspirant du modèle précédent, étudier $$J_n=\int_0^{\pi/2}e^{-n\sin t }dt.$$
Indication
Corrigé
Exercice 28 - Strictement croissante [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[0,1]\to\mathbb R$ strictement croissante telle que $f(0)=0$ et $f(1)=1$. Prouver que $\lim_{n\to+\infty}\int_0^1\big(f(t))^n dt=0.$
Indication
Corrigé
Exercice 29 - Ces\`aro pour les intégrales [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[0,+\infty[\to\mathbb R$ une fonction continue admettant une limite finie $a$ en $+\infty$. Montrer que $$\frac 1x\int_0^x f(t)dt\to a\textrm{ quand }x\to+\infty.$$
Indication
Corrigé
Exercice 30 - Norme $p$ et norme infinie [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ une fonction définie, continue, positive sur $[a,b]$. Montrer que $$\lim_{n\to +\infty}\left(\int_a^b f(x)^n dx\right)^{1/n}=\sup_{x\in [a,b]}f(x).$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f:[0,1]\to\mathbb R$ une fonction continue. On pose $u_n=\int_0^1 t^n f(t)dt$.
  1. Démontrer que $(u_n)$ tend vers 0.
  2. On suppose de plus que $f$ est $C^1$ et que $f(1)\neq 0$. Déterminer un équivalent de $(u_n)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $g:[0,1]\to\mathbb R$ continue.
  1. Étudier la suite $(L_n)$ définie par $L_n=\int_0^1 t^n g(t)dt$.
  2. On suppose que $g$ vérifie $g(1)=0$. Étudier la suite $(I_n)$ définie par $I_n=n\int_0^1 t^n g(t)dt.$
  3. On suppose maintenant que $g$ est de classe $C^1$ et vérifie $g(1)=g'(1)=0$. Etudier la suite $(J_n)$ définie par : $J_n=n^2\int_0^1 t^ng(t)dt.$
Indication
Corrigé
Enoncé
On pose $\mathcal E=\{f\in\mathcal C^1([0,1],\mathbb R);\ f(0)=0\textrm{ et }f(1)=1\}$.
  1. Soit $f\in\mathcal E$.
    1. Démontrer que l'on a $$\int_0^1 e^{-t}\big(f'(t)-f(t)\big)dt=\frac 1e.$$
    2. En déduire l'inégalité $$\int_0^1 |f'(t)-f(t)|dt\geq\frac 1e.$$
    3. Discuter le cas d'égalité.
  2. Soit $n\geq 2$ un entier. On définit la fonction $f_n$ sur $[0,1]$ par $$f_n(t)=\left\{ \begin{array}{ll} n(2t-nt^2)e^{t-1}&\textrm{ si }t\in \left[0,\frac 1n\right[\\ e^{t-1}&\textrm{ si }t\in \left[\frac 1n,1\right[. \end{array}\right.$$
    1. Justifier que $f_n\in\mathcal E$.
    2. On pose $$I_n=\int_0^1 |f_n'(t)-f_n(t)|dt.$$ Montrer que $$I_n=\frac 2e\int_0^1 (1-x)e^{x/n}dx.$$
    3. Calculer $\dis \frac2e \int_0^1 (1-x)dx$ puis montrer que $$\left|I_n-\frac 1e\right|\leq \frac 1e\left(e^{1/n}-1\right).$$
    4. Que vaut $\inf_{f\in\mathcal E}\int_0^1 |f'(t)-f(t)|dt$?
Indication
Corrigé
Inégalité de Cauchy-Schwarz
Exercice 34 - Norme deux d'une fonction et de sa dérivée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ de classe $C^1$ telle que $f(a)=0$.
  1. Prouver que, pour tout $x\in[a,b]$, $$|f(x)|^2\leq (x-a)\int_a^b |f'(t)|^2dt.$$
  2. En déduire que $$\int_a^b |f(x)|^2dx\leq\frac{(b-a)^2}{2}\int_a^b |f'(x)|^2dx.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E$ l'ensemble des fonctions continues strictement positives sur $[0,1]$. Calculer, après en avoir justifié l'existence $$\inf_{f\in E}\left(\int_0^1 f(x)dx\times\int_0^1\frac1{f(x)}dx\right).$$ Cette borne inférieure est-elle atteinte? Si oui, par quelles fonctions?
Indication
Corrigé
Fonctions définies par une intégrale
Exercice 36 - Logarithme intégral au carré [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Soient $I,J$ des intervalles de $\mathbb R$, soit $a\in I$, soit $h:I\to\mathbb R$ continue, $u,v:J\to I$ de classe $C^1$ et $$F(x)=\int_{u(x)}^{v(x)}h(t)dt.$$ Exprimer $F$ en fonction de $f:x\mapsto \int_a^x f(t)dt$. En déduire que $F$ est $C^1$ et calculer sa dérivée.
  2. On considère la fonction $F$ définie sur $I=]1,+\infty[$ par $$F(x)=\int_x^{x^2}\frac{dt}{(\ln t)^2}.$$ Étudier le sens de variation de $F$ sur $I$.
  3. En utilisant la décroissance sur $I$ de la fonction $t\mapsto \frac1{(\ln t)^2}$, déterminer $\lim_{x\to+\infty}F(x)$.
  4. En utilisant l'inégalité $0<\ln t\leq t-1$ pour $t\in I$, déterminer $\lim_{x\to 1^+}F(x)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\int_x^{2x}\frac{dt}{\sqrt{t^4+t^2+1}}$.
  1. Quel est le domaine de définition de $f$? Est-elle paire, impaire?
  2. Étudier les variations de $f$, puis l'existence de limites aux bornes de l'ensemble de définition.
Indication
Corrigé
Enoncé
Étudier la fonction suivante sur $\mathbb R$ : $$f:x\mapsto\int_0^{\sin^2 x}\arcsin\sqrt tdt+\int_0^{\cos^2 x}\arccos \sqrt tdt.$$
Indication
Corrigé
Exercice 39 - Le logarithme intégral [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Question préliminaire : Soient $I,J$ des intervalles de $\mathbb R$, soit $h:I\to\mathbb R$ continue, $u,v:J\to I$ de classe $C^1$ et $$F(x)=\int_{u(x)}^{v(x)}h(t)dt.$$ Justifier que $F$ est $C^1$ et calculer sa dérivée.
On définit, pour $x\in[0,1[$, $$f(x)=\int_x^{x^2}\frac{dt}{\ln t}.$$
  1. En utilisant la concavité du logarithme, démontrer que $$\forall x\in]0,1],\ \forall t\in]x^2,1],\ \frac{2\ln x}{x^2-1}(t-1)\leq \ln t\leq t-1.$$
  2. En déduire que $f$ se prolonge par continuité en 1.
  3. Justifier que $f$ est dérivable sur $[0,1]$, et calculer sa dérivée.
  4. En déduire la valeur de $I=\int_0^1\frac{(t-1)}{\ln t}dt$.
Indication
Corrigé
Pour master MEEF
Exercice 40 - Autour du théorème fondamental du calcul intégral [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Le théorème fondamental du calcul intégral est le résultat suivant :
Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $[a,b]$, et si, pour tout $x\in [a,b]$, on pose $$F(x)=\int_a^x f(t)dt,$$ alors $F$ est dérivable sur $[a,b]$ et $F'(x)=f(x)$ pour tout $x\in [a,b]$.
  1. Pourquoi ce théorème est fondamental???
  2. Dans le programme de Terminale S, il est écrit dans les commentaires "Il est intéressant de présenter le principe de la démonstration du théorème dans le cas où $f$ est positive et croissante". Faire cette démonstration. En quoi les hypothèses $f$ positive et $f$ croissante sont utiles? Pourrait-on s'en passer (au niveau Terminale S)?
  3. Regarder la preuve de ce théorème dans votre cours de licence, ou dans un livre de math sup. Quel argument fait que l'on ne peut pas prouver le cas général en Terminale S?
Indication
Corrigé
Enoncé
Le théorème suivant est un des classiques de l'écrit du capes :
Soient $a<b$ et $f:[a,b]\to\mathbb R$ continue et positive. Alors $$\int_a^b f(t)dt=0\implies f=0.$$
  1. Démontrer ce théorème en procédant par contraposée et en utilisant des "epsilon" pour écrire la définition de la continuité.
  2. Démontrer ce théorème en utilisant la fonction $F(x)=\int_a^x f(t)dt.$
  3. Application 1 : Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, $$\frac 1n>\int_n^{n+1}\frac{dt} t.$$
  4. Application 2 : On considère $E$ l'ensemble des fonctions continues sur $[0,1]$ à valeurs réelles. Démontrer que $$\langle f,g\rangle=\int_0^1 f(t)g(t)dt$$ définit un produit scalaire sur $E$.
Indication
Corrigé
Exercice 42 - Diverses versions du théorème fondamental [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Dans votre devoir de révision sur l'intégration de Terminale S, vous avez demandé à vos élèves d'énoncer le théorème fondamental du calcul intégral. Voici quelques-une de leurs réponses, analysez-les.
  1. Soit $f$ une fonction continue sur l'intervalle $[a,b]$. Alors $F:x\mapsto \int_a^b f(x)dx$ est dérivable sur $]a,b[$ et on a $F'(x)=f(x)$.
  2. Si $F$ est une fonction définie et de classe $C^1$ sur un segment $[a,b]$, alors, en notant sa dérivée $F'$ définie et continue sur $[a,b]$, $$\int_a^b F'(x)dx=F(b)-F(a).$$
  3. Soit $f:I\to\mathbb R$ une fonction continue, soit $a\in I$. Pour tout $x\in I$, il existe une fonction $F:I\to\mathbb R$ telle que $$F(x)=\int_a^x f(t)dt.$$ On dit que $F$ est une primitive de $f$.
  4. Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I=[a,b]$. Soit $x\in [a,b]$, on note la primitive $F(x)=\int_a^x f(t)dt$ de $f$. Alors $F'(x)=f(x)$.
  5. Soit $f$ une fonction continue sur $I$ et soit $a\in I$. La fonction $F$ qui s'annule en $a$ est définie par pour tout $x\in I$, $F(x)=\int_a^x f(x)dx$. De plus, $F'(x)=f(x)$.
  6. Soit $(a,b)\in\mathbb R^2$ tel que $a<b$ et soit $f$ une fonction continue sur $[a,b]$. Alors il existe une fonction $F$ dérivable sur $[a,b]$ et de dérivée $f$. De plus on a $$\int_a^b f(t)dt=F(b)-F(a).$$
Corrigé