$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Calcul approché d'intégrales

Exercice 1 - Méthode des rectangles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
L'objectif de l'exercice est de donner un majorant de l'approximation faite sur l'intégrale d'une fonction de classe $C^1$ sur un segment par la méthode des rectangles.
  1. Question préliminaire : soit $g:[\alpha,\beta]\to\mathbb R$ une fonction de classe $C^1$. Démontrer que $$\int_{\alpha}^\beta |g(t)-g(\alpha)|dt\leq \sup_{t\in [\alpha,\beta]}|g'(t)|\frac{(\beta-\alpha)^2}2.$$
  2. Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ de classe $C^1$. On note, pour $n\geq 1$, $$R_n(f)=\frac{b-a}n\sum_{k=0}^{n-1}f\left(a+\frac{k(b-a)}n\right)$$ $$M_1=\sup_{t\in [a,b]}|f'(t)|.$$ Vérifier que $$\int_a^b f(t)dt-R_n(f)=\sum_{k=0}^{n-1}\int_{a+\frac{k(b-a)}n}^{a+\frac{(k+1)(b-a)}n}\left(f(t)-f\left(a+\frac{k(b-a)}n\right)\right)dt.$$
  3. En déduire que $$\left|\int_a^b f(t)dt-R_n(f)\right|\leq \frac{M_1(b-a)^2}{2n}.$$
  4. Application algorithmique. On considère $f(x)=e^{-x^2}$ sur $[a,b]=[0,1]$. Donner un majorant de $M_1$. En déduire un algorithme qui donne une valeur approchée de $\int_0^1 f(t)dt$ avec un écart inférieur à une valeur entrée par l'utilisateur.
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Méthode des rectangles pour une fonction croissante [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction continue croissante. Pour tout entier $n>0$ et tout $k\in\{0,\dots,n\}$, on pose $h_n=(b-a)/n$ et $x_k=a+kh$. On pose enfin $$G_n=h_n\sum_{k=0}^{n-1}f(x_k),\ D_n=h_n\sum_{k=0}^{n-1}f(x_{k+1})\textrm{ et }I=\int_a^b f(x)dx.$$
  1. Montrer que, pour tout $k\in\{0,\dots,n-1\}$, on a $$h_nf(x_k)\leq \int_{x_k}^{x_{k+1}}f(x)dx\leq h_nf(x_{k+1}).$$ Comment interpréter géométriquement ce résultat?
  2. En déduire que $G_n\leq I\leq D_n$.
  3. Démontrer que $D_n-G_n=h_n\big(f(b)-f(a)\big)$.
  4. En déduire une majoration des erreurs $|G_n-I|$ et $|D_n-I|$.
  5. Que devienne ces résultats si on suppose $f$ décroissante?
  6. Application : proposer une méthode pour encadrer $\ln 2$ par excès et par défaut à $10^{-1}$ près.
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Méthode du point médian [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ une fonction de classe $C^2$ sur un intervalle $[a,b]$ de $\mathbb R$. On pose $I=\int_a^b f(t)dt$, $I_m=(b-a)f\left(\frac{a+b}2\right)$. On note $M_2=\max\{|f''(x)|;\ x\in[a,b]\}$.
  1. Soit $\Delta(x)=\int_{c-x}^{c+x}f(t)dt-2xf(c)$, où $c=\frac{a+b}2$. Montrer que $|\Delta''(x)|\leq 2xM_2$ pour tout $x\in[0,\frac{b-a}2]$. En déduire une majoration de $\Delta\left(\frac{b-a}{2}\right)$, puis que $$\left|I-I_m\right|\leq M_2 \frac{(b-a)^3}{24}.$$
  2. Pour tout $n\geq 1$, on pose $I_{m,n}=\frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{x_k+x_{k+1}}{2}\right)$ où $x_k=a+k\frac{b-a}n$. Montrer que $$\left|\int_a^b f(x)dx-I_{m,n}\right|\leq\frac{(b-a)^3}{24n^2}M_2.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f$ une fonction de classe $C^2$ sur un intervalle $[a,b]$ de $\mathbb R$. On pose $I=\int_a^b f(t)dt$ et on note $M_2=\max\{|f''(x)|;\ x\in[a,b]\}$.
  1. Montrer que $I=(b-a)\frac{f(a)+f(b)}{2}+\int_a^b \frac{(t-a)(t-b)}{2}f''(t)dt$.
  2. Montrer que $\int_a^b \frac{(t-a)(b-t)}{2}dt=\frac{(b-a)^3}{12}$.
  3. On fixe $n\geq 1$, et on pose $a_k=a+k\frac{b-a}{n}$. On note $I_n$ la valeur approchée de $I$ obtenue par la méthode des trapèzes avec $n$ intervalles. Exprimer $I_n$ en fonction des $a_k$, puis démontrer que $$|I-I_n|\leq\frac{M_2(b-a)^3}{12n^2}.$$
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Méthode des rectangles et suites adjacentes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\phi:[0,1]\to\mathbb R_+$ une fonction décroissante et $\mathcal C$ sa courbe dans le plan muni d'un repère orthonormé. On note $\mathcal D$ le domaine délimité par $\mathcal C$ et les droites $y=0$, $x=0$ et $x=1$ et $\mathcal A$ l'aire de ce domaine. Pour $i\in\{0,\dots,n\}$, on note $x_i=i/n$. On construit sur chaque intervalle $[x_i,x_{i+1}]$ le rectangle au-dessous de la courbe de sommets $$(x_i,0),\ (x_{i+1},0),\ (x_{i+1},\phi(x_{i+1})),\ (x_i,\phi(x_{i+1}))$$ et le rectangle au-dessus de la courbe de sommets $$(x_i,0),\ (x_{i+1},0),\ (x_{i+1},\phi(x_{i})),\ (x_i,\phi(x_{i})).$$ On note $S_n$ la somme des aires des rectangles au-dessus de la courbe et $T_n$ la somme des rectangles au-dessous de la courbe.
  1. Montrer que pour tout entier naturel $n\geq 2$, on a $$T_n\leq \mathcal A\leq S_n.$$
  2. Démontrer que $S_n-T_n=\frac {\phi(0)-\phi(1)}n$.
  3. Représenter sur une même figure $S_2$ et $S_4$.
  4. Démontrer que les suites $(S_{2^n})$ et $(T_{2^n})$ sont adjacentes.
Indication
Corrigé